傅里葉級數的係數是怎麼得到的？

12-27

課本上直接給出了傅里葉級數的係數，具體的求法是什麼，如何更好的理解傅里葉級數呢？

——以下是更新答案，非通信專業請直接跳過——
啊呀呀，點贊的人數有好幾十，我很感動啊，於是決定更新點新的內容，也是答主最近學到的一點東西，就拿出來賣弄啦。
原答案解釋了傅里葉級數分析公式(傅里葉係數求解公式)的由來，但是沒有解釋其物理意義，本次更新打算講解一下傅里葉級數分析公式的物理意義。首先，這是餘弦三角函數形式的傅里葉級數
這是合成公式:

這是分析公式(n≠0):

這個分析公式同樣可以通過原答案的方法求出，在此就不贅述了。通過正交以及消項的方法，我們求出了上述公式，但是這個公式有什麼物理意義呢?我覺得可以從兩個方面解釋。
1.相關運算的角度
互相關函數是計算兩個信號時域波形相關性的一種方法
周期信號互相關函數的公式定義如下，可看做f1(t)與f2(-t)的卷積

這個卷積的過程反應了互相關函數的物理意義，即f1(t)不動，f2(t)在時域上不斷移位再與f1(t)對位相乘再相加，反應f1(t)與f2(t)在不同時間位置上的相關性。
當τ=0時，該互相關函數轉化為互相關係數，反應f1(t)與f2(t)在原點位置上的相關性(具體內容可搜索相關函數的相關內容)

那麼這個式子和傅里葉級數是不是很像呢?
實際上如果我們把f2(t)換成cosnwot就可以得到:

這個公式與我們上述定義的傅里葉級數分析公式只有常數倍數上的一點差異(目前我還沒有找到特別合理的數學解釋的原因，我個人認為無關緊要，因為如果是復指數形式的傅里葉級數分析公式，係數就完全相同了)，所以可以看出，傅里葉級數分析公式某種意義上是在求信號與不同頻率諧波的相似性，其求出的傅里葉係數某種意義上就是相關係數。
2.從線性空間基函數的角度說明:
這個也是原答案的講解思路。不同頻率的餘弦函數在線性空間上正交，構成一組完備正交基。從合成公式上看:

可看出cn是每個基函數前面的係數，那麼從線性組合的角度上解釋，cn就應該是f(t)在每個線性基地分量上的投影大小，實際上也確實如此。
那麼我們回顧一下投影定理，a在x上的投影ax為

我在原答案中證明了一件事情，即兩個周期函數在一個周期內的積分可以看做兩個線性空間向量的點乘。在此再證明一下

那麼，我們回歸傅里葉級數分析公式，可見其分子就是f(t)與cosnwot的點乘。所以傅里葉級數的另一個物理意義(最為重要，也是傅里葉變換的物理意義)就是原函數在各組基函數上的投影大小。
至此，本答案更新結束，隨著學習的深入，了解了很多，但是也仍然有很多的問題，希望廣大大佬，老師，同學批評指正，也謝謝大家對本答案的支持 ——————以下是原答案——————
說說我對於傅里葉級數的理解吧。
1.傅里葉級數定義：
傅里葉級數應該和泰勒級數一樣，是為了簡化複雜函數的分析過程而提出的一種數學方法。如果要說明傅里葉級數的係數到底怎麼求解，那就先從傅里葉級數的定義開始吧，傅里葉級數最早提出是想用三角函數的線性組合去表達一個複雜函數，既然是線性組合，根據線性代數的理論來說，我們最好用彼此線性無關的量去線性表示另一個量，這種情況下會比較方便，而三角函數系的正交性正好滿足彼此無關這一個條件。那麼三角函數的正交到底是什麼意思呢？
*三角函數系的正交
相量的正交在線性代數的理論中有非常完整簡潔的定義，兩個相量點積之後結果為0即說明兩相量正交，比如相量a（a1，a2，a3）與相量b（b1，b2，b3）正交，則a1b1+a2b2+a3b3＝0，可以看出相量的點積其實是對應分量相乘再累加的過程，而這種關係與連續函數的正交定義是有密切聯繫的，三角函數系的正交定義，比如cosx，與sinx正交，則寫成

而其實積分的過程可以看做cosx和sinx分別在某個點的取值後相乘再對應累加（積分），說具體些，假設我這裡積分周期選擇0-T，定義一個無窮小的數ξ，則積分可以近似看做

可以看出來這種關係與相量正交的形式是相同的，所以可以認為兩個函數相乘積分結果為0則兩函數正交。而可以證明三角函數系的正交關係，無論是
sinnx還是cosnx都與除了它本身外的任意三角函數正交。
那麼現在回到傅里葉級數，既然三角函數系彼此正交，把三角函數系看成一個相量空間就變得可行了，所以f（x）(周期為2π)可以做如下拆分

這就是傅里葉級數的合成形式，它的物理意義也是非常明顯的，一個周期函數可以拆分成周期為自身整數倍的三角函數的線性組合。
2.係數求解
那麼說了這麼多終於可以回到問題上來了，那麼對於上述級數，我們該怎麼樣求解各個係數呢，這個問題在我學傅里葉級數的時候也一直不能理解，直到最近詳細研究了泰勒級數才發現二者的異曲同工，求解係數的方法就是消項，比如對於a0的求解，我們只需要把除了a0以外等式所有的項全部消掉不就可以了嗎，那麼怎麼消呢，很容易，a0是唯一一個不包含三角函數的係數，而其他項的三角函數的周期均為2π(注意：我說的是周期，而不是最小周期，其實cosx的周期是2π，cos2x周期為π，……cosnx的周期為2π/n，不過大家周期的最小公倍數都是2π，所以2π是所有這些三角函數的周期)，所以我們只需要對等式兩端同時進行-π到π的一個積分，就會只留下a0，處理過程是這樣

這裡我要說明一點，很多高數書(例如同濟)上的結果與我這裡有一處不同，是因為數學數上定義的常數分量是ao/2，而我這裡是ao。
那麼ao求出來了，an和bn呢？那麼這裡就要應用到三角函數系的正交法則，舉個例子，比如我們要求解an的值，就意味我們必須把除了an以外所有項都消掉，而an和cosnx相乘，所以我們讓整個式子乘上cosnx再積分

bn的求法雷同。
另本人水平有限，如果有錯誤求大神指出，也希望沒有誤導題主啊

L^2空間中的函數一族正交基底表達。內積就是那個常見的積分內積。

http://blog.sina.cn/dpool/blog/s/blog_57ad1bd20100txgs.html

取自咕咚的sina微博，純乾貨

上面大神解釋的太專業，讓初學者看到想放棄。總結下正交函數集
例如｛sin（nwt），cos（nwt）｝
此正交集在一個周期T內
cos（nwt）·sin（nwt）的積分為0
sin（nwt）·sin（kwt）的積分k=n時為T/2，k不等於n時為0
cos（nwt）·cos（kwt）的積分k=n時為T/2，k不等於n時為0
盜用一樓一張公式圖

等式兩端同乘cos（nw0t），並在一個周期內積分。
k=n=0時，等式右邊為c0·T，同時除上T可得c0
。
k=n不等於，等式右邊為cn·T/2，同時除上T/2可得cn。
完了。
通信學渣，有錯請大牛指出。

同濟的高數教材上不是有求法么……