如何能更好的理解（ε-δ）語言極限的定義？

12-27

我是一名數學系小渣子，前幾天學微積分，學到了這個定義。但是即便是深入淺出的外文教材，我依舊難以明白這個極限定義的使用方法。在中文網上搜索，得到的信息也非常有限。懇請各位大牛指導！

關於極限，之前我寫過一個回答，請問如何理解極限的精確定義？，這篇專門講講 $epsilon -delta$ 語言，也算是對上篇文章未盡之處的補充。

$epsilon -delta$ 語言是描述函數極限的（數列極限用的是 $epsilon -N$ 語言），這個定義可能是高中跨越到大學的第一記悶棍，偏偏函數極限定義又是所有高等數學的基礎中的基礎，要是不理解這個真的就輸在起跑線上了。

其實對函數極限， $x$ 越接近 $c$ 點， $f(x)$ 越接近某個常數（感謝 @好肥糾錯），這個直覺還比較容易建立。只是描述接近的 $epsilon -delta$ 語言應該怎麼建立直覺呢？

本文主要給出一個我自己思考得到的 $epsilon -delta$ 的幾何模型來幫助建立這種直覺。

這個模型主要強調的不是嚴格性，而是著重於如何幫助理解。

1 $epsilon -delta$ 的幾何模型

1.1 $epsilon -delta$ 的定義

$epsilon -delta$ 極限定義的描述方式很多，我這裡選一個比較簡單易讀的（相對而言）:

$c$ ， $L$ 皆為實數， $f:$ 可去 $c$ 的區間 $o {mathbb {R}}$ ，當 $x o c$ 時， $f(x) o L$ 當且僅當︰ $forall epsilon >0$ ， $exists delta > 0$ ，使得若 $0 < left|x-c ight| < delta$ ，則 $left|f(x)-L ight| < epsilon$ 。
維基百科

看著頭疼是吧，我們下面來拆解，映射到幾何模型上去。

1.2 幾何建模

先把定義划下重點：

下面一個個說， $c$ ， $L$ 皆為實數， $f:$ 可去 $c$ 的區間 $o {mathbb {R}}$ ：

$0 < |x-c| < delta$ 是什麼：

之前劃的重點是 $L-epsilon < f(x) < L+epsilon$ ，首先什麼是 $L-epsilon$ 與 $L+epsilon$ ：

$f(x)$ 是什麼？ $f(x)$ 表示去心鄰域 $(c-delta ,c)cup (c,c+delta )$ 對應的所有函數值，即下面的綠色線段。我覺得你不如手動拖到下 $delta$ 就知道我在說什麼了（ $c$ 點也是可以拖動的，並且拖動條 $delta >0$ 的哦）：

此處有互動內容，需要流量較大，最好有wifi處打開，土豪請隨意。
點擊此處前往操作。

知道綠色線段是去心的就可以了，之後的圖為了簡潔，就不再標註綠色線段的藍色去心點了。

我們引入一個紅色線段：

所以 $L-epsilon < f(x) < L+epsilon$ 表示，紅色線段包含綠色線段（本圖的 $L$ 和上圖的 $L$ 不是一個值了）：

然後，什麼是 $forall epsilon > 0$ ：

最後，在幾何模型裡面， $L$ 是極限值的條件就變成了：

所有的紅色線段，是否能找到一個合適的 $delta$ ，使得綠色線段始終全部包含在紅色線段內。

費了這麼多口舌終於建立好了模型了，下面就來見證下模型怎麼運轉的吧。

2 驗證幾何模型

2.1 普通連續函數

根據上面的定義，下面的函數就是存在極限的。

看圖說話，這樣的紅色線段，可以找到合適的 $delta$ ，使得綠色線段始終包含在紅色線段內：

紅色線段短點：

紅色線段再短點：

都可以找到綠色線段包含在紅色線段之內，所以 $displaystyle lim _{x o c}f(x)=L$ 。

但是，如果 $L$ 移動了，就是 $L$ 的值改變了，雖然這樣可以找到綠色線段:

但是這樣就不行了：

所以 $displaystyle lim _{x o c}f(x) e L$ 。

2.2 分段函數

下面這個 $L$ 就不可能是 $c$ 點的函數極限，如圖所示紅色線段就找不到合適的綠色線段：

如果 $c$ 點正好是分段函數的分段點，很顯然也沒有極限，因為紅色線段只包含了綠色線段的一部分（注意 $delta >0$ ）：

2.3 震蕩函數

用這個模型可以輕易判斷 $f(x)=sinfrac{1}{x-2}+1$ 這樣的震蕩函數，在 $x=2$ 點是沒有極限的，可以看到哪怕 $delta$ 再小，綠色線段的長度始終為1：

下面是完整的互動操作，你可以切換函數、可以拖動 $delta ,epsilon ,c,L$ ，並且嘗試思考這幾個問題：

$delta ,epsilon$ 都必須大於0嗎？
感受下 $forall epsilon$ 和 $exists delta$
$L$ 可以拖動說明什麼？
為什麼震蕩函數在震蕩中心沒有極限？
分段函數的左極限右極限可以表示嗎？

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對於性質比較好的函數（連續，可導……）在某一點的極限，可以這樣大致地來理解：

你在函數圖像上選一點，在那個點上建個平面直角坐標系(就當這點是原點)。

然後以這點為中心，在縱軸上取個區間，讓區間的上下界距離這點都為 $varepsilon$ ，這就是所謂的 $varepsilon$ -鄰域。類似地，在橫軸上這麼作一個 $delta$ -鄰域。
　　然後把這兩個鄰域想像成一個可以調倍率的瞄準鏡/放大鏡/顯微鏡，這個「極限鏡」的玩法是：用它大致圈定一個包括了函數圖象的區域，裡面包含了函數的極限點。你先定一個 $varepsilon$ 值（它決定了在上下方向上進入你視野的函數圖象的多少），然後開始調 $delta$ 值（ $delta$ 值調越小，函數曲線左右方向進入你視野的部分就越少）。那麼函數極限的定義其實是說——無論你怎麼調 $varepsilon$ 值（無論多大多小，只要你定下一個），最終你總能調出一個 $delta$ 值，使得這段函數圖象完整地通過你的視野，沖著那個極限點呲去（我為什麼要用呲字？）！
　　題主可以自己想一想，如果一個函數的性質不夠好，圖象充滿了「鋸齒」、「斷崖」和「坑窪」，那麼極限鏡里是什麼景象，還能不能「完整地呲向」某個點……

木木老師の三分鐘極限定義小課堂～～

讓小夥伴們瞬間理解ε-δ定義的本質！！前方高能預警！！

最近有一款叫H1Z1的遊戲，風靡大江南北，遊戲玩家可以任意的組隊、殺戮，誰活到最後就是勝利。而大逃殺模式中，玩家還遇到所謂的毒氣，隨著時間的推移，毒氣控制的區域會不斷擴大，安全區越來越小～

於是，木木老師發明了一種新遊戲，叫極限—H1Z1～

這個遊戲的規則很簡單，只有一個玩家，他可以選擇「限時模式」或者「無限模式」兩種玩法。無論是哪種玩法，都遵循如下設定：

首先，在遊戲結束前，毒氣每時每刻都在向一個中心點a集聚，而安全區域則是位於以a為中心，以ε為半徑的圓之中，顯然隨著時間的推移，ε會越來越小，安全區也隨之縮小～

同時，木木老師把遊戲時間稱為x，把玩家在某時刻所處的位置稱為f(x)，那麼顯然，在這一時刻，玩家與中心點的距離為If(x)-aI。那麼根據前面的規則，玩家要想活下來，必須在安全區之中活動，換句話說，即玩家只能在圓內到處亂跑，否則就會輕易地狗帶～

接下來，木木老師就要分類討論了。

在「限時模式」中，我們假設當時間為x0時，遊戲結束，那麼顯然遊戲剩餘時間是Ix-x0I。我們再根據安全區的半徑ε，設置一個新的時間參數δ，即遊戲結束前δ分鐘，安全區的半徑為ε，顯然此時玩家的活動範圍為If(δ)-aI≤ε。

由於毒氣不斷擴散，玩家的活動範圍不斷縮小。換句話說，如果剩餘時間小於δ分鐘（0&

反過來說，如果毒氣不斷擴散，導致安全半徑ε變小了，這就意味著玩家的剩餘時間δ也變少了，玩家也越趨近於a點。顯然，在遊戲結束之前，無論安全區範圍為多大，上述「續一秒定律」總是成立的。

所以，對於任意的安全區半徑ε（無論ε有多小），總是存在著一個剩餘時間δ，使得當剩餘時間小於δ分鐘時（0&

而在「無盡模式中」，我們只要把參數δ看作是與ε對應的遊戲時間就好了，換句話說，對於任意的安全區半徑（無論ε有多小），總是存在著一個遊戲時間δ，使得當遊戲時間大於δ分鐘時（IxI&>δ），玩家的活動範圍必然比此刻的安全區域小（If(x)-aI&<ε）。

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只需要記住一條，函數隨自變數變化，自變數趨於某一點時，函數相應的趨於某一個值；自變數無限接近某一點，函數也會無限接近某個值，那個定義就是描述這個過程的。一定要注意，是先自變數變化；

?ε, ?δ: |x - c| &< δ -&> |f(x) - L| &< ε
若暫時忽略量詞, 則很直觀 |x - c| &< δ -&> |f(x) - L| &< ε
關鍵在於理解為何是先任意取 ε 才能給出 δ. 因為我們要結果是 f(x) 能任意趨近 L, 所以 ε 必須是任意決定的, 要多小有多小. 而在決定 ε 後, 要能在定義域找到個鄰域, 這個範圍是什麼都可以, 只要存在就行了.

以你書中的函數 y = f(x) 為例, 我們來看看滿足什麼條件時我們才能說 $lim_{x ightarrow a}{fleft(x ight)}=L$ (x 趨向於 a 時y的極限為L)
為了便於理解, 我們對函數 y = f(x) 額外附加一些限制:
(1) y = f(x) 在 x = a 處有定義且 f(a) = L
(2) y = f(x) 是連續函數(如果還沒學到連續的概念, 可以大致理解成函數曲線平滑無中斷)
(3) x 和 y 都是實數.
注: 這些附加條件是為了便於理解和描述而額外添加的, 實際的函數極限定義中不一定要滿足.

對照函數 y = f(x) 的圖像, 我們可以看到: 當自變數 x 的取值從點 x = a 左右任意一側無限接近 (或者說逼近)a 時, 函數值 y 就會無限接近(或者說逼近)L, 即 x 趨向於 a 時y的極限為L. 對極限的這種自然語言描述通常我們都能很容易地理解, 那麼如何用數學語言來描述呢?
首先描述 "x接近a": 兩個實數 x 與 a 之間的接近程度可以用 | x - a | 來度量, | x - a | 越小, x與a就越接近.
然後描述 "x無限接近a": 如果對於任意(小)的正數 $delta$ , 都有 | x - a | &< $delta$ , 那麼就可以說 x 無限接近 a.
以相同的方式描述 "y無限接近L": 如果對於任意(小)的正數 $varepsilon$ , 都有 | y - L | &< $varepsilon$ , 那麼就可以說 y 無限接近 L.
連起來差不多就是書中 1.4.1中極限的定義: 如果對於任意(小)的正數 $varepsilon$ , 都能找到正數 $delta$ , 使得 | x - a | &< $delta$ 時, | y - L | &< $varepsilon$ , 那麼就說 $lim_{x ightarrow a}{fleft(x ight)}=L$ (x 趨向於 a 時y的極限為L)
去掉我們前面額外附加的條件(1), 就得到與你書中完全一樣的定義: 如果對於任意(小)的正數 $varepsilon$ , 都能找到正數 $delta$ , 使得 0 &< | x - a | &< $delta$ 時, | y - L | &< $varepsilon$ , 那麼就說 $lim_{x ightarrow a}{fleft(x ight)}=L$ (x 趨向於 a 時y的極限為L). 對照自然語言描述: 如果x無限接近a時, y無限接近L, 那麼就說 $lim_{x ightarrow a}{fleft(x ight)}=L$ .
另外可以進一步看看下面的問題中何新宇給出的回答(尤其是他給出的鏈接 Precise Definition of Limit 中的內容)
請問如何理解極限的精確定義？ - 數學

極限是為了描述在自變數的某種變化趨勢下，因變數的變化趨勢，我們最終是要用極限的概念來求導和積分的，我們是要解決取無限小的間隔時變化率的問題的。我們來證明這種樸素含義與柯西語言定義的等價性。以數列極限為例來說明。這個極限語言說的是：數列可以要多接近極限值就可以多接近，因為對任意所要求的精確度總存在一個有限的項數，（有限是本定義的核心）使得該項數之後所有項都落在該精確度的鄰域內。
1:由柯西定義推出極限所要求的樸素含義成立：該語言換言之就是只要項數足夠大，數列可以任意接近極限值。這裡的足夠大可以理解為很大很大之後，精確的理解是超過相對於任意的精確度所要求的那個有限的項數。正是因為任給精確度都存在一個有限的項數，我們才說數列項數無限大以後，數列無限接近極限值。
2:由極限樸素涵義推出柯西定義成立：我們來證明逆否命題：即柯西定義不成立，則樸素涵義不成立。極限定義的否定形式是：存在某一個精度，使得數列項數再大，在後續項數中都會有超出此精度的項。這當然不滿足我們所直覺所理解的極限的樸素涵義。
綜上，柯西定義成立則極限涵義成立，柯西定義不成立則極限涵義不成立，所以兩者完全等價。柯西語言完全恰當地表達了我們理解中的極限，既不太過也無不足。

這就是數學分析上對極限的定義啊樓主怎麼學的

要多小有多小，比你說的還要小。

我寫一個最簡單的吧，假設函數f（x）在x=a處取得極限。我們隨便在a附近取一個點b，取ε=A-f（b），我們一定可以取一個點c，使得丨f（c）-A丨＜ε，如何證明？
請看下圖，若A為極限，只要ε＞0，則必然可以取到相應的b點，那麼在b和a之間必然可以取到點c，使得丨f（c）-A丨＜ε。

反證一下，如果A不為a的極限，則當取ε=A-f（a）＞0的時候，不會有相應的δ成立，如圖，無論δ取多少，只要大於0，則相應的f（c）和A的差值必然大於ε。

今兒我也在學習極限的定義。推薦看下國立清華大學開放式課程，高淑蓉老師講的微積分。第三節課就有講到樓主所問的內容。

作為高中生，從未接觸過ε-δ語言，剛一上來可能會被教材的定義搞混。但其實，以湘教版高中數學選修2-3為例，其實已經隱含了極限定義的伏筆，我們看

這裡已經與大學教材的定義非常相像

也就是說任意取ε＞0，都有|f（x）-a|≤ε（a為f（x）極限）。可以理解為它小於ε的最小值，而ε的最小值無限趨近於零。ε只是一個大於零的數

要弄清楚ε-δ語言，簡單講就是要弄清楚ε-δ定義中的兩個問題：
① ε-δ符號語言對應的實質數學含義是什麼？
② ε-δ符號語言前後的邏輯關係是什麼？
簡單的回答是：
① 數學家利用一個任取的正數ε，配合不等符號，得到了所謂『f(x)無限接近極限A』的效果。而另外一個δ，實質上是指代『 $x_0$ 的某個去心領域』，只要該去心鄰域(半徑為δ)取值範圍內的x，能使得其f(x)均『無限接近極限A』，則極限定義完成。
這裡的δ無需規定大小，只要存在即可，因為能夠滿足極限定義要求的δ，在不同函數中的取值範圍不同。
譬如f(x)=sin(x)時 → 要使得 $forallvarepsilon>0，|f(x)-A|<varepsilon$ 成立，必然 δ 只能無窮小，但是存在即可。
而當f(x)=1 時 → 要使得 $forallvarepsilon>0，|f(x)-A|<varepsilon$ 成立，δ的取值範圍就可以無窮大了。因為無論是在鄰域半徑為1，2，3，亦或是無窮時，f(x)的極限均能夠取到1.
故在極限定義中，對δ的要求是存在即可，因為只要存在，對於取得極限而言就已經足夠。（極限只要求某個局部的趨近即可，並不要求任意局部都趨近）
② 就邏輯關係而言，ε-δ語言實質上是四個條件推出一個結論
四條件分別是：
$forallvarepsilon>0$ ———————A式
$existsdelta>0$ ———————B式
$0<|x-x_0|<delta$ ——C式
$|f(x)-A|<varepsilon$ ———D式
結論是：
$lim_{x ightarrow x_0} f(x) = A$
就描述的數學對象而言，A式與D式可以合在一起，B式和C式可以合在一起。
A為D的條件，B為C的條件，
而AD和BC兩個組合式又成為極限定義的前提條件。
————————————分割線——————————————
① 對ε-δ定義的切割理解
如果將ε-δ定義中涉及ε和涉及δ的部分，分割成獨立兩部分進行理解，就分別是：

$forallvarepsilon>0，|f(x)-A|<varepsilon$ 均成立 ———————————————— ①式

翻譯成漢語，就是：
函數值f(x)與極限A之間的距離，總是小於一個任意正數 ε。
這就意味著，f(x)與A之間的距離可以無限小，也就是f(x)與A可以"無限接近"。這正是數學語言中描述兩個量無限接近的方法：即『兩個量之間的距離小於一個任意正數』。
同樣的，我們可以知道數學語言中描述兩個量無限疏遠的方法，即『兩個量的距離大於一個任意正數』。這裡所謂"無限接近"和"無限疏遠"，本質上是來源於"不等符號"和"任意(正數)"的聯合作用

$existsdelta>0,且0<|x-x_0|<delta$ ——————————————————②式

翻譯成漢語，就是：
在 $x_0$ 的無數個去心鄰域中，只要存在某個半徑為δ的鄰域，使得其中的x均滿足①式，則極限取得。
這就意味著，定義描述的是自變數x在 $x_0$ 的一個『局部』範圍內的變化，也就是極限表達式 $lim_{x ightarrow x_0} f(x) = A$ 中， $x ightarrow x_0$ 的含義。
※ 注意：δ 的含義
從表達上看，在極限定義中 δ "應該"指一個小量。畢竟在②式中，x的取值範圍被規定在了
(x-δ,x)∪(x,x+δ)之中，如果 δ 可以任意大，那還談何" $x ightarrow x_0$ "。只有 δ 足夠小時，x距離x0足夠近，才有所謂的" $x ightarrow x_0$ "
但在極限定義中，這裡的 δ 並沒有在形式上規定其範圍，為什麼呢？
因為即便 δ 無窮大，①②式的條件也足以保證 $lim_{x ightarrow x_0} f(x) = A$ 。使得極限定義成立時，δ 的取值範圍僅表示出函數值的『變化劇烈程度』。

微積分一 - 第3講極限的數學建模看看這個？

看n遍高等數學數列極限定義視頻。

哈哈，要怪就怪Weierstrass吧。這個ε-δ語言的描述就是他給的。
前面人已經解釋的很清楚了，不過讓我最有感覺的還是這四句話中if的那一句：
「if 0&<|x-a|&<δ」
「|x-a|&<δ」說的是x永遠落在a為圓心δ為半徑的領域內無論δ有多小；
「|x-a|&>0」說的是x又不能等於a。
完美解釋「x趨近於a」這個概念。

將極限的定義分成兩個部分去看。ε是函數(數列)與極限無限接近的的各種情況，後面看成是對前面的證明。極限用通俗的話來說就是函數(數列)在一個趨勢下無限接近的那一個數。而在數學中是需要用嚴謹的，摸得著的，能夠客觀判斷的語言來描述的，所以必須要用另外的定義代替。如何精確的去定義這種關係。不討好的方式有：將全部的可能性都列出來，告訴你我確實跟它無窮接近，你看只差0.01隻差0.02～就差與它相等了，但這個真的好麻煩了，能不能簡化的表達這種意思。剛好數學中量詞就能完成這個任務。任意量詞和存在量詞。你看極限的定義，對於任意的ε，就等於將無限接近的各種情況都列舉出來0.01 0.02，然後後面就等於是一個證明，你只要大於某一個數或者在某一個區間之間，你列舉的各種情況都成立，所以A即為函數或者數列的極限。

就算給我整個世界（epsilon），
我的心（delta）卻從未走遠，
因為我（f（x））只在你（A）身旁。
------張宇

當年就沒怎麼在意

感覺這個書莫名的眼熟。。。
好了，言歸正傳，簡單的說就是：
? ε＞0，?δ＞0， ? x∈N*（x0，δ），恆有I f（x）-A I＜ε，簡稱lim（x→x0）［x］＝0
呃，有幾個爪機戳起來略奇怪
[圖片未上傳成功]

大概就是這樣(? ??_??)?

如果我沒猜錯你在上calc1？好好學習，等到real analysis再說

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