數學中以 e 為底的指數函數 f(x)=exp(x) 求導後為什麼還是它本身？

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補充一下，我是大一新生，曾經也是物理競賽黨，我並非不知道e的x次方在x趨近於0時近似為x+1，只是求眾位講一下為什麼，這些都是書上的結論以及在已知a的x次方求導為a的x次方×㏑a的前提下知道的，但是對e的本質，以及它在微積分里的重要地位並不知道。晚生愚笨，沒有諸位大神那麼博學，只是小小的物競一等獎而已，也淺學過一些微積分，但只學了用法，其他一概不知，對各位大神指點。

這真的不是一個顯然的問題。

首先，你需要知道 $e$ 的定義。 $e$ 的定義有好幾個。很不幸的是，用最常見的定義：
$e = lim_{n oinfty} left(1 + frac1n ight)^n$
不容易推出導數的性質。所以要藉助另一個等價的定義：
$e = sum_{n=0}^{infty}frac{1}{n!} = lim_{N oinfty} sum_{n= 0}^N frac{1}{n!}$

知道了這個定義後，接著要對任意實數，定義函數 $exp(x)$ 。

首先，對於任何的正實數 $x$ ，級數
$sum_{n=0}^{infty}frac{x^n}{n!} = lim_{N oinfty} sum_{n= 0}^N frac{x^n}{n!}$
的部分和是柯西列，所以級數存在（收斂），所以對任何的實數，都可以定義：
$exp(x) = sum_{n=0}^{infty}frac{x^n}{n!} = lim_{N oinfty} sum_{n= 0}^N frac{x^n}{n!}$
因為此級數絕對收斂。

接下來，我們可以證明對任何實數 $x$ 和 $y$ ，有：
$exp(x+y) = exp(x) cdot exp(y)$
這是由於在相關級數絕對收斂的時候，有等式：
$egin{align} sum_{n=0}^infty frac{x^n}{n!} cdot sum_{m=0}^infty frac{y^m}{m!} =sum_{n=0}^infty sum_{m=0}^infty frac{x^n}{n!} cdot frac{y^m}{m!} \ = sum_{k = 0}^{infty} sum_{n+m=k} frac{x^n y^m}{m!n!} \ = sum_{k=0}^{infty}frac{(x + y)^k}{k!} end{align}$

從以上等式出發，證明函數 $xmapstoexp(x)$ 的連續性，只需證明
$lim_{x o 0} exp(x) = 1 = exp(0).$
由於函數 $xmapstoexp(x)$ 對任何 $x$ 的函數值都是相應的級數絕對收斂的級數和，所以當我們考慮求 $exp$ 函數的極限時，可以交換求極限與求級數和的符號。
$egin{align} lim_{x o 0} exp (x) = lim_{x o 0} sum_{n=0}^infty frac{x^n}{n!} \ = sum_{n=0}^infty lim_{x o 0} frac{x^n}{n!} \ = 1 + sum_{n=1}^infty frac{0}{n!} \ = 1 end{align}$

從 $exp(x+y) = exp(x) cdot exp(y)$ 和 $exp$ 函數的連續性，通過經典的柯西函數證明，可以推出：
$exp(x) = exp(1)^x = e^x$ 。
具體如下：
1.對所有的自然數 $n$ , $exp(n) = exp(1+1+cdots +1) = exp(1)^n = e^n$ .
2.對所有的有理數 $q = frac{m}{n}$ ， $e^m = exp(m) = exp(frac{m}{n}+frac{m}{n}+cdots +frac{m}{n}) = exp(q)^n$ ，所以 $exp(q) = e^{frac{m}{n}} = e^q.$
3.對所有的實數 $x$ ，通過有理數逼近，以及 $exp$ 函數的連續性，可以證明 $exp(x) = e^x$ .

同樣地，求它的導數的時候，也可以交換求極限與求級數和的符號：
$egin{align} lim_{h o 0} frac{exp (x+h) - exp (x)}{h} =exp (x) lim_{h o 0} frac{exp(h) - 1}{h}\ =exp(x) lim_{h o 0}frac{sum_{n=0}^infty frac{h^n}{n!} -1}{h}\ = exp(x) lim_{h o 0} sum_{n=1}^infty frac{h^n}{n! cdot h} \ = exp(x)sum_{n=0}^infty lim_{h o 0} frac{h^n}{(n + 1)!} \ = exp(x) cdot 1 = exp(x) end{align}$
這就證明了 $exp$ 函數的導數等於其自身。

歷史的順序不是先定義e，再發現相應指數函數的導數是它本身。
而是先考慮一個函數的導數是它本身，然後誘導出e.

也就是說，應該從微分方程 $frac{dy}{dx}=y$ 出發導出e.

具體的方法，冪級數是一種，不過大多數人都知道。
除此之外，還有一個東西叫做歐拉折線法。

假設初始值 $y(0)$ 已知,那麼你用歐拉折線法很容易得解：

$y=y(0) lim_{n oinfty}(1+frac xn)^n$

當然，嚴格講應當先檢查微分方程解的存在唯一性，以及歐拉折線法的適用性。

因為自然對數的定義其實是1/x的積分：
$ln x=int^x_1frac{1}{t}dt$
所以
$(ln x)$
自然指數是自然對數的反函數，所以
$y = e^x, x = ln y$
用反函數求導的方式得到：
$1 = frac{1}{y}y$
所以 $y$

其他的性質才是用這個性質推導出來的，比如說
$ln ab = int ^{ab} _ 1 frac{1}{t}dt = int ^{a} _ 1 frac{1}{t}dt + int ^{ab} _ a frac{1}{t}dt = int ^{a} _ 1 frac{1}{t}dt + int ^{b} _ 1 frac{1}{au}dau = ln a + ln b$
從而
$e^a e^b = e^{a+b}$
這樣才能發現原來 $e^x$ 是個指數函數，然後再推導出對應底數的值。要不然你以為我們隨便定義一個e很好玩嗎……

補充一下@運算元說的歐拉折線法的思路（這算是最直觀的想法了）（完全不嚴格請輕拍）

設
$y(0)=1,$ $frac{dy}{dx}=y$
則
$y(x+Delta x) approx y(x) + frac{dy}{dx} Delta x = y(x) + y(x)Delta x = y(x)left( 1+Delta x ight)$

將區間 $left[0,1 ight)$ 等分為 $n$ 份，用 $frac{k}{n}$ 替換 $x$ ，用 $frac{1}{n}$ 替換 $Delta x$

則有 $y left( frac{k}{n} + frac{1}{n} ight) approx yleft(frac{k}{n} ight) left( 1 + frac{1}{n} ight)$ ，或寫作 $y left( frac{k+1}{n} ight) approx yleft(frac{k}{n} ight) left( 1 + frac{1}{n} ight)$

顯然這是一個從 $frac{k}{n}$ 到 $frac{k+1}{n}$ 的迭代，直接乘上一個與 $k$ 無關的常數 $left( 1 + frac{1}{n} ight)$ 即可

又有假設 $y(0)=1$

所以，從 $0$ 迭代到 $frac{k}{n}$ 得
$egin{align*} y left( frac{k}{n} ight) approx yleft(frac{k-1}{n} ight) left( 1 + frac{1}{n} ight) \ approx yleft(frac{k-2}{n} ight) left( 1 + frac{1}{n} ight)^{2}\ ... \ approx yleft(0 ight) left( 1 + frac{1}{n} ight)^{k}\ approx left( 1 + frac{1}{n} ight)^{k}\ end{align*}$
所以
$y(x) = yleft( frac{nx}{n} ight) approx left( 1 + frac{1}{n} ight)^{nx} =left( left( 1 + frac{1}{n} ight)^{n} ight)^{x}$
令 $n o infty$
$y(x) = lim_{n o infty} left( left( 1 + frac{1}{n} ight)^{n} ight)^{x} = e^x$
令 $x = 1$ 就有
$lim_{n o infty} left( 1 + frac{1}{n} ight)^{n} = e$

記得高一時就是用這種方法理解了e的定義呢

$e$ 是數學裡面重要的無理數， $eapprox 2.718$ 對於認識 $e$ 毫無幫助，那麼多無理數，為什麼偏偏要給 $e$ 一個專用的符號？是因為 $e$ 在數學中有著各種特性， $frac{d}{dx}e^ x=e^ x$ 可以揭示出 $e$ 本身的一些特性。

根據指數函數的特性

同底指數乘法有一個特性： $a^ b a^ d = a^{b+d}$ 。那麼對於 $f(x)=a^ x$ 而言，設 $c$ 為常數， $cf(x) = c a^ x = a^{log_ a c} a^ x = a^{x + log_ a c} = f(x + log_ a c)$ ，即 $cf(x) = f(x + log_ a c)$ ：

了解了指數函數這個特性之後，我們觀察下指數函數的導數（切線斜率）：

根據上圖可以得出， $f$ ，令 $x_0=0implies f$ ，進一步簡化形式 $log_ a c = b implies f$

對於 $f(x)=a^ x$ 有 $f$ ，進一步有 $f$ 。
----馬同學的黑板書

指數函數這個特性，就是在說明一個事實，指數函數的斜率（導數）由原函數和 $f$ 決定！

可是說了這麼久，還是沒有出現 $e$ 啊，是不是我們應該進一步根據 $f$ 去證明讓 $f$ 的 $a$ 就是 $e$ ？

其實我們完全不需要這麼去做，我們關心的只是 $e$ 有哪些特性，我們可以反過來定義

對於 $f(x)=a^ x$ ，使得 $f$ 的就是 $e$ 。
----馬同學的黑板書

所以 $frac{d}{dx}e^ x=e^ x$ 源於指數函數的特性，並且 $e$ 是個非常特殊的值，使得 $f$ 。

根據e的定義

假設 $frac{d}{dx}a^ x=a^ x$ 這個方程成立，我們求解一下，a會等於多少？

由導數定義可得， $displaystyle frac{d}{dx}a^ x=lim _{h o 0}frac{a^{x+h}-a^ x}{h}=lim _{h o 0}frac{a^ x(a^ h-1)}{h}$

所以方程就可以表示為， $displaystyle lim _{h o 0}frac{a^ x(a^ h-1)}{h}=a^ x$ ，因為 $a^ x>0$ ，所以兩邊約分之後可以得到 $displaystyle lim _{h o 0}frac{a^ h-1}{h}=1$ ，簡單的移項處理下， $displaystyle a=lim _{h o 0}(1+h)^{frac{1}{h}}$ ，我們令 $n=frac{1}{h}$ ，可以得到 $displaystyle a=lim _{n o infty }(1+frac{1}{n})^ n$ 。

定義 $e$ 為： $displaystyle e=lim _{n o infty }(1+frac{1}{n})^ n$
----維基百科

在求解 $frac{d}{dx}a^ x=a^ x$ 的過程中，我們「自然而然」的遇到自然對數的底 $e$ 。所以， $frac{d}{dx}e^ x=e^ x$ 因為 $e$ 的定義。

根據線性變換的特徵向量

在線性代數中，對於一個給定的線性變換 $A$ ，有 $Av=lambda v$ ，其中 $lambda$ 為標量，則 $v$ 稱為 $A$ 的特徵向量， $lambda$ 成為特徵值
----維基百科

我們可以擴展下線性變換的定義，滿足下列兩個條件就可以稱為線性變換：

可加性： $f(x+y)=f(x)+f(y)$
齊次性： $f(ax)=af(x)$

$frac{d}{dx}$ 導數運算元很顯然符合線性變換的條件，所以導數運算元就是線性變換，線性空間的維度擴大到了無窮維。

根據 $Av=lambda v$ ，對於導數運算元而言，有 $frac{d}{dx}e^{lambda x}=lambda e^{lambda x}$ ，即導數運算元的特徵向量（這個時候更多稱為特徵函數）是 $e^{lambda x}$ 。

$e^ x$ 是線性變換 $frac{d}{dx}$ 特徵值 $lambda =1$ 時對應的特徵向量。
----馬同學黑板書

特徵向量是線性變換中的不變數（只有伸縮變換），比如下面的蒙娜麗莎，斜向拉伸之後，你還是認得出來，就是因為圖片中有不變的特徵向量。

斜向拉伸圖片。藍色箭頭代表不變的特徵向量。來自維基百科:

對於導數運算元這個線性變換而言， $e^ x$ 就是其不變的特徵向量，有個笑話：常函數和指數函數 $e^ x$ 走在街上,遠遠看到導數運算元,常函數嚇得慌忙躲藏,說：「被它算一下,我就什麼都沒有啦!」指數函數不慌不忙道：「它可不能把我怎麼樣,我是 $e^ x$ !」

假如有一天，《三體》裡面的外星人，覺得「二向箔」不過癮，發明了一個"導數箔"來攻擊地球，你唯一的選擇就是趕快把自己變成 $e^ x$ 。

補充：除了exp(x)外還有一種函數其導函數和原函數相等，就是常值函數f(x)=0。當然這並不是我們關注的。
－－－－－－－－－－－－－－－－－以下是原答案－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
因為exp(x)就是定義為導數是其自身的函數。（沒錯e的發現其實比ln晚很多，他們各自是被獨立創造的數學單位，二者之間的關係也是很晚才被認識到）

各位大神談了很多，我想說一個不是那麼「數學」的，非常直觀（但不嚴謹）的關於e的來歷：

思考 exp(x)的動機如下：
假如我們想找到一個函數，其導數是其自身。那麼我們怎麼找呢？

我把這個函數計作f(x)，那麼其導數就也是f(x).
那麼我先讓f(x)=0,
此時我們把f(x)看作導函數，
（由於常值函數f(x)=0的導函數和原函數相等，我們現在假設f(x)=0的原函數不等於0，看是否存在這種函數）
由於1的導數是0，原函數f(x)中就應該包含1,
所以我們在f(x)後面再加上1，這樣，f(x)＝0+1

這樣，f(x)=0+1又變成了導函數，我們來找原函數f(x).
由於x的導數是1，那麼f(x)的導函數中也應該包含x,，所以原函數f(x)中就應該包含x，
所以我們又在f(x)後面再加上x,這樣f(x)=0+1+x

同理，由於 $frac{1}{2} x^{2}$ 的導數是x,那麼f(x)中就應該包含 $frac{1}{2} x^{2}$ .
所以我們再加上 $frac{1}{2} x^{2}$ ，這樣f(x)就會等於f(x)=0+1+x+ $frac{1}{2} x^{2}$

按這個思路進行下去，我們就會得到如下的式子
f(x)= $0+1+x+frac{x^{2} }{2!} +frac{x^{3} }{3!}+frac{x^{4} }{4!} +......$

也就是說這是一個無窮級數，那麼這個級數是否收斂就決定了這個f(x)是不是一個函數。

我們接下來考察到這麼定義的f(x)的確是一個函數，即對於每給出一個x,上述級數都收斂。(證明從略）

而且通過f(1)=e，f(x)與f(y)的乘積是f(x+y)，以及其他的性質，我們發現f(x)=e^x。

以上就是exp(x)的直觀認識。當然學過高數的人都知道，這其實是反過來從泰勒公式反過來推倒 $e^{x}$ 。從數學上來說當然不嚴謹。但如果對於我們能了解exp(x)有幫助，又有什麼不可以的呢。

1.證明 $(ln(x))$
$(ln(x))$

2.對 $f e 0$ ,由鏈式法則
有 $frac{f$ 。
3. $f = e^{x}$

想到最初等的證明。

。。被老爹吐槽只會洛必達了呢，憂桑。。

其實本質上就是怎麼來定義 $e$ 的問題……大家在回答中寫的這些東西，高數書上都有
哦，也許不僅是高數書，有些可能會出現在實變、復變等的書上

哈哈，來一個民科證明法，勿噴
設a為整數
$left(left( 1+frac{x}{a} ight) ^{a} ight) ^{$
將a替換為無窮
$left( e^{x} ight) ^{$
$left( 1+frac{x}{infty } ight) ^{infty }=left( 1+frac{1}{infty } ight) ^{inftycdot x }=e^{x}$
夠狂放吧，大家就當玩笑看吧

我一直建議高中數學，應該引導學生自己尋找出e.
具體如下：
在學過複合函數求導法則之後，引導學生問出「什麼函數的導是 $frac{1}{x}$ ?"
因為 $(x^n)$ 唯獨解釋不了這個情況，一定會有很多同學發現這個問題。
難道還能 $(x^0)$ ？？
所以，要引導學生，就這個奇怪的地方進行探究。
首先試驗一下，設存在這種函數，形式為 $f(x)$ 。
用複合函數求導法則進行試驗，具體如下：
$f$
$f$
發現竟然非常像log函數的規則。
則設 $f(x)$ 形式為： $log_{a}^{x}$ 。
那麼，a是啥？
用剛學求導時候的定義來求，具體如下：
$frac{log_{a}^{(x+Delta x)} -log_{a}^{x} }{Delta x} =frac{1}{x} ,Delta x$ 是很小很小很小的東西。

則a是什麼。。。。？

感興趣的自己試下。

然後得到了此時 a 就是 e，e 的一個定義也就出現了。

而後，就明白了 log 和 ln 的關係，和二者的求導公式。

進而研究其反函數，自然導出 $(e^x)$

也能導出 $a^x$ 的求導公式。。

沒人看。。那就簡寫了。。。

首先你要說明是怎麼定義指數函數的，這東西有很多種相互等價的定義方法。
比如如果你把指數函數定義成微分方程 $frac{dy}{dx}=y,y(0)=1$ 的解那就不用玩了，just by definition.
如果把指數函數定義[1]成冪級數的話，那麼逐項求導即可，結果是顯然的。
還可以定義成 $e^x:= limlimits_{n oinfty}(1+frac{x}{n})^n$ ，或者把 $e^x,xinmathbb{Q}$ 延拓到 $mathbb{R}$ 上等等（我懶得算了……
總之，關鍵在於明確你定義指數函數的方法，然後再選擇不同的途徑。

至於 $e$ 在數學裡的重要性，可以說是不亞於 $pi$ 的。你以後會在各種不同的場合看到 $e$ 。不知道你是什麼專業的，所以這裡舉一個普遍一點的可能離你比較近的例子好了：你一定知道初等函數（指數、對數、三角函數、雙曲函數）的重要性，而在複數域中可以看到所有的初等函數本質上都來自指數函數 $e^x$ 。如果現在不理解 $e$ 的作用的話往下看，當你看到越來越多的 $e$ 的時候就會開始理解它的重要性了。

最後，如果想知道得稍微清楚一些的話，即使不看數學分析，至少買本好點的微積分教材，那些名字叫《高等數學（第六版）》的就算了吧……

[1] $e^x:=sumlimits_{n=0}^{infty}frac{x^n}{n!}$ ，證明它在 $mathbb{R}$ 上收斂，然後重新證明它具有「指數函數」應該有的性質。不是用 Taylor 定理，否則是循環論證。@Snorri 的回答裡面說了具體怎麼操作數學中以e為底的指數函數f(x)=exp(x)求導後為什麼還是它本身？ - Snorri 的回答。
[2] 說點無關的，繼那個你認為四大力學哪個最難學？ - 物理學之後又看到工科生（沒有歧視的意思，我三年後拿到的也是工學學士的學位）來賣萌了2333

發現知乎秀優越抖機靈冷嘲熱諷的回答越來越多了
一堆回答說題主伸手黨的，說什麼高中書上有的
真的有嗎？這個看上去簡單的問題真有那麼容易解答？
我只想說一句話：對於非專業的問題請保持敬畏之心

想必題主是對數學有興趣才有此一問，那我就當介紹下高數的內容了
本文力求從定義出發經過嚴格證明得出結論，有高中基礎的皆可了解
文章較長且定義定理及證明較多，對數學無感的請直接跳到最後看結論即可

分三個部分來解釋這個問題，一二分別為預備知識，三給出證明，最後總結

一、自然底數e到底是什麼鬼？

要回答這問題還得從極限說起，什麼是極限？先來看看數列極限

數列極限的定義
$left{ x_{n} ight}$ 為一數列，如果存在常數a，滿足對於任意給定的正數 $varepsilon$ （不論多麼小），總存在正整數 $N$ ，使得當 $n>N$ 時，不等式 $|x_{n}-a|<varepsilon$ 都成立，那麼就稱常數a是數列 $left{ x_{n} ight}$ 的極限，或者說數列 $left{ x_{n} ight}$ 收斂於a，記作 $lim_{n ightarrow infty }{x_{n}} =a$ 或 $x_{n} ightarrow aleft( n ightarrow infty ight)$

對於極限的定義可以理解為 $left{ x_{n} ight}$ 可以無限接近於a，只要n足夠大就可以了
可以用反證法證明，極限存在則必然唯一，就是說同一數列不可能有兩個不等的極限

下面介紹兩個重要的關於數列極限存在性的判定定理

夾迫定理
如果數列 $left{ x_{n} ight} ,left{ y _{n} ight} ,left{ z _{n} ight}$ 滿足下列兩條件：
(1)從某項起，即存在 $n_{0}in N$ 當 $n>n_{0}$ 時總有： $x_{n}leq y_{n}leq z_{n}$
(2) $lim_{n ightarrow infty }{x_{n}} =lim_{n ightarrow infty }{z_{n}} =a$
那麼數列 $left{ y_{n} ight}$ 的極限存在且 $lim_{n ightarrow infty }{y_{n}} =a$
證明：
因為 $x_{n} ightarrow a,z_{n} ightarrow a$ ,所以根據極限的定義，可知對於任意的 $varepsilon >0$
存在正整數 $N_{1}$ 當 $n>N_{1}$ 時有 $|x_{n}-a|<varepsilon$
同樣的存在正整數 $N_{2}$ 當 $n>N_{2}$ 時有 $|z_{n}-a|<varepsilon$
取 $N=maxleft{ n_{0},N_{1},N_{2} ight}$ 則當 $n>N$ 時可得
$a-varepsilon <x_{n}同時成立<br />且結合<img src=$ 可得到
$a-varepsilon <x_{n}leq y_{n}leq z_{n}<br />即<img src=$
根據極限的定義即知 $lim_{n ightarrow infty }{y_{n}} =a$
定理得證

夾迫定理可以理解為兩邊的數列控制著中間的數列，讓他收斂到a
所以也叫控制收斂定理

介紹第二個定理前介紹兩個概念的定義
如果數列 $left{x_{n} ight}$ 單調遞增或者單調遞減，稱數列 $left{ x_{n} ight}$ 為單調數列
如果數列 $left{x_{n} ight}$ 滿足存在某個實數M使得 $|x_{n}|leq M$ 恆成立那麼稱數列 $left{ x_{n} ight}$ 為有界數列

單調有界原理
如果數列 $left{ x_{n} ight}$ 是單調且有界的，那麼 $left{ x_{n} ight}$ 必定有極限
證明：
不妨假設 $left{ x_{n} ight}$ 是單調遞增的，即滿足
$x_{1}leq x_{2}leq x_{3}leq ...x_{n}leq x_{n+1}leq ...$
又已知 $left{ x_{n} ight}$ 是有界的，則也是有上屆的，即存在實數M使得 $x_{n}leq M$
並且存在一個最小的上界稱之為上確界
（此處用到了確界原理：即任何有界數集必有確界，定理的證明需要用到實數的連續性，將又是另一浩大工程，此處不再詳細介紹，有興趣的自行搜索）
設上確界為 $M_{0}$ 即任何比 $M_{0}$ 小的數都不再是 $left{ x_{n} ight}$ 的上界
也就是說對於任意的 $varepsilon >0$ ，存在 $Nin N_{+}$ ，使得
$x_{N}>M_{0}-varepsilon$ （不再是上界的嚴格的數學描述）
又由於 $left{ x_{n} ight}$ 是單調遞增的，所以對於任意的 $n>N$ 都是 $M_{0}-varepsilon <x_{n} leq M_{0}<M_{0}+varepsilon$
即 $|x_{n}-M_{0}|<varepsilon$
由極限定義可知 $lim_{n ightarrow infty }{x_{n}} =M_{0}$
定理得證

自然底數e的定義
好，有了上面的知識我們可以來了解e到底是個什麼鬼了
被稱為數學英雄的歐拉曾研究並證明了下面這個數列是收斂的
$x_{n}=(1+frac{1}{n} )^{n}$
於是把它的極限定義為自然底數e即
$lim_{n ightarrow infty }{(1+frac{1}{n} )^{n} } =e$
證明：
考慮 $x_{n}$ 和 $x_{n+1}$ 的展開式，根據二項式定理我們知道
$x_{n}$ 的第k-1項 $T_{x_{n}}(k-1)=C_{n}^{k} 1^{n-k}(frac{1}{n} )^{k} =frac{1}{k!}n(n-1) ...(n-k+1)frac{1}{n^{k} }$
得到 $T_{x_{n}}(k-1)=frac{1}{k!}(1-frac{1}{n} )(1-frac{2}{n} )...(1-frac{k-1}{n} )$
$x_{n+1}$ 的第k-1項 $T_{x_{n+1}}(k-1)=C_{n+1}^{k} 1^{n+1-k}(frac{1}{n+1} )^{k} =frac{1}{k!}(n+1)n(n-1) ...(n+1-k+1)frac{1}{(n+1)^{k} }$
得到 $T_{x_{n+1}}(k-1)=frac{1}{k!}(1-frac{1}{n+1} )(1-frac{2}{n+1} )...(1-frac{k-1}{n+1} )$
經比較不難發現 $T_{x_{n}}(k)leq T_{x_{n+1}}(k)$
又因為 $x_{n+1}$ 展開後還多一項，所以有 $x_{n}<x_{n+1}$ 即 $left{ x_{n} ight}$ 單調遞增
又考慮 $T_{x_{n}}(k-1)=frac{1}{k!} (1-frac{1}{n} )(1-frac{2}{n} )...(1-frac{k-1}{n} )leq frac{1}{k!}$
所以 $x_{n}leq sum_{k=0}^{n}{frac{1}{k!}} =1+1+frac{1}{2!} +frac{1}{3!}+ ...+frac{1}{n!}$
$leq 1+1+frac{1}{2} +frac{1}{2^2} +...+frac{1}{2^n}$
$<3$
即 $left{ x_{n} ight}$ 是有上界的
根據單調有界原理所以 $left{ x_{n} ight}$ 是收斂的

往下繼續前我們要先補充一下關於函數的極限，類似於數列極限

函數極限的定義
設 $f(x)$ 在點 $x_{0}$ 的某一去心領域（可理解為該點附近去掉該點的一個集合）有定義，如果存在常數 $A$ ，對於任意給定的正數 $varepsilon$ ，總存在正數 $delta$ ，使得當 $x$ 滿足 $0<|x-x_{0}|<delta$ 時，對應的 $f(x)$ 滿足 $|f(x)-A|<varepsilon$ ，那麼就稱常數 $A$ 為函數 $f(x)$ 當 $x ightarrow x_{0}$ 時的極限，記作 $lim_{x ightarrow x_{0} }{f(x)} =A$ 或 $f(x) ightarrow A(x ightarrow x_{0})$

特別的有當 $x ightarrow infty$ 時的函數極限的定義，大致意思相同，不再贅述
理解同數列極限函數值可以無限接近，只要自變數足夠接近就夠了

可以證明夾迫定理和單調有界原理同樣適用於函數極限

下面指出
$lim_{x ightarrow infty }{(1+frac{1}{x} )^{x} } =e$
證明：
任意的 $x$ ，都存在 $n$ 使得 $nleq x<n+1$ 成立，則
$(1+frac{1}{n+1} )^{n} <(1+frac{1}{x} )^{x} <(1+frac{1}{n} )^{n+1}$
由於 $n$ 和 $x$ 同時趨向於 $+infty$ 根據極限運演算法則和 $e$ 的定義
可以知道上式左右兩邊極限均等於 $e$
根據夾迫定理即可得證
註：由於未詳細介紹極限運演算法則故證明中只指出了事實並且只給出了趨向於正無窮的極限的簡要證明，趨向於負無窮略去不表

至此準備工作已經完成一半，我們還需要了解導數的本質

二、導數——瞬間變化率

導數想必大家都有所了解就不多說直接給出定義

導數的定義
設函數 $f(x)$ 在點 $x_{0}$ 的某領域有定義，當自變數增加 $Delta x$ ，相應的函數值取得增量 $Delta y=f(x_{0}-Delta x)-f(x_{0})$ ，如果極限 $lim_{Delta x ightarrow 0}{frac{Delta y}{Delta x} }$ 存在，則稱 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 處可導，極限值稱為該點的導數，記作 $f^{$ ，如果 $f(x)$ 在 $I$ 上每一點均可導，那麼可以建立一個映射 $f^{$ ，則得到函數的導函數，簡稱函數的導數，可記為 $f^{$ 或 $frac{dy}{dx}$ 或 $y^{$

下面給出一個關於反函數的導數的重要性質

反函數求導法則
函數 $y(x)$ 定義域上存在反函數，可記作 $x(y)$
由於 $frac{dy}{dx} =frac{1}{dx/dy }$ 立馬得到 $y^{$
理解此式要抓住自變數不同

ok，至此準備工作全部完成，下面來給出最終問題的證明

三、證明exp"(x)=exp(x)

首先我們來看看 $f(x)=lnx$ 的導數
$f^{$
$=lim_{Delta x ightarrow 0}{frac{1}{x}cdot frac{x}{Delta x}cdot ln(1+frac{Delta x}{x} )}$
$=frac{1}{x} lim_{Delta x ightarrow 0}{ln(1+frac{1}{x/Delta x} )}^{frac{x}{Delta x} }$
由於當 $Delta x ightarrow 0$ 時 $frac{x}{Delta x} ightarrow infty$ 所以上式
$=frac{1}{x} lne=frac{1}{x}$
由此得到了
$(lnx)^{$
下面考慮指數函數 $y(x)=e^{x}$
它的反函數為
$x(y)=lny$
根據上式所求知
$x^{$
又根據反函數求導法則知
$y^{$
則得到
$y^{$
得證！

總結

exp(x)的導數等於他本身的最最根本的原因就是在於自然底數e的定義
數學就是這麼奇妙！！！

看問題要看本質，數學也是一樣，數學的本質就是定義
數學不是一門實驗科學，任何未經嚴格證明的東西都不能算作真
數學就是這麼較真，希望能解決部分人的疑惑吧

ps
對數學有興趣的朋友可以看一看：數學橋對高等數學的一次觀賞之旅

導數是自身的函數 - Joyful Physics

看到這個問題我就想到了前兩天在http://study.163.com上看到的一個大學數學的課程。非常棒，希望可以幫到題主。關於題主的問題作者用了一節課來深入淺出的講解。
大學數學-麻省理工大學計劃詳情

不用看高數高中數學課本就有
跟我念不做伸手黨
不做伸手黨
不做伸手黨

謝謝@楊先生指出課本上沒有推導過程
但是給出了一般方法和其他簡單函數的推導過程這個推導是老師的補充內容

是我記錯了對不起

其實不是它本身，只是恰好等於它本身，這樣的邏輯才正確

我想樓主對這個事實本身沒有什麼疑問，而是對exp（x）對x求導仍為exp（x）背後的事情感到不解。或許這種感覺就是：這背後有著一種美妙的、神秘的哲學，但我道不明白
從這個角度出發，推薦樓主看看這篇高票解答，自然底數e的美妙之處：
數學裡的 e 為什麼叫做自然底數？是不是自然界里什麼東西恰好是 e？ - 冷知識

首先高等數學無窮級數中有等式

$e^{x} =1+x+frac{1}{2!}x^{2}+frac{1}{3!}x^{3}+....+frac{1}{n!}x^{n}+.....$ (1)

然後對 $e^{x}$ 求導

即( $e^{x}$ )" = 0 + 1 + $x + frac{1}{2!}x^{2}+.....+frac{1}{(n-1)!}x^{(n-1)}+....$ (2)

可以看出，(1)和(2)都是無窮級數，即(1)式和(2)式相等。

即( $e^{x}$ )" = $e^{x}$