三國殺中甄姬洛神的期望值是幾張牌？

12-27

三國殺

如果牌數是無限張，洛神就是個簡單的等比數列。

每次洛神出黑的幾率是1/2，所以：

第1次洛神成功的幾率：1/2；成功後摸牌數：1；

第2次洛神成功的幾率：1/2*1/2；成功後摸牌數：1；

第3次洛神成功的幾率：1/2*1/2*1/2；成功後摸牌數：1；

………………

所以洛神的摸牌期望 = 1/2 + (1/2)^2 + (1/2)^3 + (1/2)^4 + …… = 1.

因為牌的數量不是無限的，是160張（界限突破加了1張，是161），有大神修正過，具體修正數字忘記了，大概是0.98左右。總之洛神的平均摸牌期望是1張左右。

更難算的是神呂蒙涉獵的摸牌期望，曹沖稱象的摸牌期望（這個有大牛算過了三國殺曹沖稱象所得牌數的期望是多少？ - 數學）等。

多年前就有的問題了，很多地方人人貼吧上很早就開始討論了，但總感覺用程序估算的方法不夠完善，也沒見到正式一些的利用數學工具的解法，因此再來重做一遍，感覺還是有點東西可以分享的。
洛神的模型還是比較簡單的，就是從牌堆頂依次抽牌，抽到黑牌繼續抽，直到抽到紅牌則停止（一般不會中途主動放棄抽牌的），那麼問題來了，平均能抽到幾張黑牌呢，也就是要計算抽到黑牌數量的數學期望。
跟樓上一樣分有限和無限兩種情況討論吧。
1.無限的情況比較方便
方法一：直接根據定義計算期望
定義隨機變數X為抽到黑牌的數量
$P(X=k)=frac{1}{2^{k+1}}, kgeq 0$
$EX=sum_{k=0}^{infty}{kP(X=k)} =sum_{k=0}^{infty }{frac{k}{2^{k+1} } } =1$
計算時需要冪級數可微性喲
方法二：利用數學期望的可數可加性（樓上就是這個方法啦，不過這個可數可加不太確定，需要學數學的同學支援）
定義指示器隨機變數Xn為[抽到第n張牌是黑牌]，意思是條件[抽到第n張牌是黑牌]為真時Xn=1，否則Xn=0。然後X的期望就等於所有Xn的期望的和：
$EX=sum_{k=1}^{infty }{EX_{k} } =sum_{k=1}^{infty }{P(X_{k}=1) }=sum_{k=1}^{infty }{frac{1}{2^{k}} }=1$
很多時候利用數學期望的線性性可以避開一些複雜的計算
其實還可以有方法三啦，見有限的情況
一般的，如果抽黑牌的概率不是1/2，比如說是p，那麼期望就是p/1-p
2.有限的情況就麻煩了，屬於古典概型
設牌堆有n張黑牌，m張紅牌，排列方式是隨機的
方法一：依然是根據定義，可煩了
$P(X=k)=frac{inom{n}{k}k!m(n+m-k-1)! }{(n+m)!} ,kgeq 0$
$EX=sum_{k=0}^{n }{kfrac{inom{n}{k}k!m(n+m-k-1)! }{(n+m)!} } =frac{m}{n+m} sum_{k=1}^{n }{frac{inom{n}{k}}{inom{n+m-1}{k}}k } =frac{n}{m+1}$
圓括弧表示二項式係數，類似組合符號Cn,k，怎麼算出來的，不太清楚，可能要用生成函數吧，不過結果應該是對的啦
方法二：期望的可加性又來了
$EX=sum_{k=1}^{n }{P(X_{k}=1) }=sum_{k=1}^{n }{frac{inom{n}{k}}{inom{n+m}{k}} }=frac{1}{inom{n+m}{n}} sum_{k=1}^{n }{inom{n+m-k}{n-k}} =frac{n}{m+1}$
這個是可以算的，需要二項式係數平行和公式，詳見Concrete Mathematics 173頁
方法三：一個可能的組合解釋
看到期望的表達式如此簡單，總使人想要找一個簡單的解釋，比如：想像m張紅牌先排成一列，然後把n張黑牌一張一張隨機插到牌堆的任意位置，可能的位置有m+1個，這樣問題就變成有平均多少黑牌被插到最左邊的位置上，然後就顯然n/m+1了。但是總感覺有點小問題，求更好的解釋。
實際情況代入看一下
標準包：n=m=54,n/m+1=0.9818...
軍爭包：n=m=80,n/m+1=0.9876...
跟楠晗在問題「數學知識在三國殺里有多大的作用？」的回答吻合。
當然當n和m以同樣的速度趨於無窮時，比值n/m+1就趨於1了，這就是無限情況的方法三啦。
最後很喜歡這種遊戲中的數學相關問題，希望同好能一起討論下。首答見諒。

0*1/2+1*1/4+2*1/8+3*1/16……
這個數列

等差和等比的混合數列，計算過程挺複雜的，。。。。不算了

賈詡：你說啥？

樓主你這麼好學，我就多告訴你點。殺的比例是30%，所以一個摸牌白平均兩輪才能摸到一張殺，所以你知道殺有多珍貴了吧；大喬平均兩輪摸一個樂，所以在後期這就是個渣將；兵糧寸斷的失敗概率是25%，所以郭嘉單挑徐晃時如果徐晃輪輪兵那麼郭嘉摸牌的期望是每輪1.5張；身份局閃電走一輪，曹植平均能撿接近兩張牌。

留個課後作業考考你：徐晃單挑貂蟬，誰佔優？徐晃單挑周瑜，誰佔優？

我認為實際上的效果是略大於1的，因為不能忽略第一輪洗牌後玩家手裡剩餘的牌，而這些剩餘的牌和裝備則更大可能是紅牌。這就像工程應用與理論知識的區別一樣，實戰中和計算也是有些許區別的

用級數算為1