這個向管理員挑釁的傢伙應該被禁言幾分鐘呢？

12-27

我來給一個完整的解答吧。

有人提出用 Stolz定理，於是先給出 Stolz定理的形式：

原題：
已知： $S_{n}=frac{sum_{i=0}^{n}{ln C_{n}^{i} } }{n^{2} }$ ，求 $lim_{n ightarrow infty }{S_{n} }$

解：
記 $a_{n}=n^{2}$ , $b_{n}=sum_{i=0}^{n}{ln C_{n}^{i} }$ ，對 $b_{n}$ 展開，得

$b_{n}=lnprod_{i=0}^{n}(C_{n}^{i} ) =lnprod_{i=0}^{n}(frac{n!}{i!(n-i)!} ) =lnfrac{(n!)^{n+1} }{(prod_{i=0}^{n}(i!) )^{2} }$

由 Stolz定理，所求極限
$lim_{n ightarrow infty }{S_{n} } =lim_{n ightarrow infty }{frac{b_{n+1} -b_{n} }{a_{n+1} -a_{n} } } =lim_{n ightarrow infty }frac{lnfrac{((n+1)!)^{n+2} }{(prod_{i=0}^{n+1}(i!) )^{2} } -lnfrac{(n!)^{n+1} }{(prod_{i=0}^{n}(i!) )^{2} } }{(n+1)^{2}-n^{2} }$

$=lim_{n ightarrow infty }frac{ln(frac{n!(n+1)^{n+2} }{((n+1)!)^{2} } )}{2n+1} =lim_{n ightarrow infty }frac{ln(frac{(n+1)^{n} }{n!} )}{2n+1}$

記 $c_{n}=2n+1$ , $d_{n}=ln(frac{(n+1)^{n} }{n!} )$

再由 Stolz定理，所求極限
$lim_{n ightarrow infty }{S_{n} } =lim_{n ightarrow infty }{frac{d_{n+1} -d_{n} }{c_{n+1} -c_{n} } } =lim_{n ightarrow infty }frac{lnfrac{(n+2)^{n+1} }{(n+1)!}-lnfrac{(n+1)^{n} }{n!} }{2(n+1)+1-(2n+1)}$

$=lim_{n ightarrow infty }frac{lnfrac{(n+2)^{n+1} }{(n+1)^{n+1} } }{2}= lim_{n ightarrow infty }frac{ln ((1+frac{1}{n+1} )^{n+1}) }{2}=frac{1}{2}$

故本題的答案為 1/2

吐槽：禁言半分鐘有毛意思啊！這個和不禁言有啥區別？

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很慚愧，之前高等數學學得並不深入，所以並不知道 Stolz定理，看到有人提到該定理，然後就現學現用了，真有意思啊。

P.S. 好幾年沒做高等數學的題目了，現在再做，真是酸爽啊！

（轉載請註明作者和鏈接）

謝邀。睡覺前算了一下，用兩次stolz法則就行了。答案是1/2
有空再寫答案
樓下 @趙東升的答案只有最後一步寫錯了。。

1/2

不會各種編輯器，只會stolz和stirling

Stolz，數列極限行業的L"Hospital

身為一介文盲，打開被寄予厚望的Mathematica，看了上面曾加的過程化簡了一下，才求出來。

結論：當管理員即使不知道Stolz定理，至少要懂
$C_{a}^{b}$ 是什麼才能避免被虐。

這個題有個小技巧
令 $S=prod_{k=1}^{n}k!$ ，那麼一方面有 $Sapproxprod_{k=1}^{n}k^{n-k}$ ，另一方面由Stirling有 $Sapproxprod_{k=1}^{n}k^kprod_{k=1}^{n}e^{-k}$ ，兩式相乘得 $S^2approx(n!)^n e^{-n^2/2}$ ，所以答案為1/2。
當然不這麼做就用Euler-Maclaurin或者像前幾個答案那樣用Stolz定理也是可以的。

此答要火的即視感。