大學數學系學什麼？

在此拋磚迎玉一下：
大學數學系學什麼？學完以後幹什麼？
關於第一個問題，我根據復旦大學數學科學學院官網上公布的2006級的本科生培養方案，就所學課程所屬的數學分支做了一個分類和圖表，簡單做一個梳理：

其中，
課程安排參考鏈接：復旦大學數學科學學院

各課程所屬數學分支參考：中華人民共和國學科分類與代碼國家標準

將各科目所佔學時，按數學分支的類別分別累加，再除以總學分，得到各分支課程具體佔比
為了簡化分支類別，又將分析類課程做了合併，科目對應分類的表格由於字數過多，一會兒貼上來。

由於部分課程會涉及不同數學分支的交叉，所以分類不準確，當然也有因本人不夠專業導致的分類錯誤，請各位大神輕拍。

歡迎指正！

第二個問題，學了有什麼用？

從感覺上說，數學系的學生給我一種很聰明的印象，而數學系，其教學目的貌似就是為了培養聰明的學生。

這種聰明能幹什麼呢？

29%的學時用來教授分析類課程，主要是微積分，解各種方程，研究函數性質
19%的學時用來教授應用數學，主要是用來建模，涉及交叉學科，用數學方法解決問題等
16%的學時用來教授概率和統計，這個貌似還是比較有社會學意義的
13%的學時用來教授計算數學，主要是各種編程，用計算機運算解決數值問題
7%的學時用來教授代數學，主要是解方程組，以及研究代數結構
6%的學時用來教授幾何拓撲，主要是研究曲線、曲面、空間性質
剩下10%的學時用來教授運籌學、控制論、數論、組合數學等

有誰能解釋一下，這些類別課程學好了有什麼用？

題主還真是有心人，專門整理了本院的課程。。我先回答第一個問題——復旦數院本科生在學什麼？

我直接粘貼題主的課程列表了：

所有數學專業學生必修課程：
數學分析III analysis calculus 5
數學分析III analysis calculus 5
數學分析III analysis calculus 5
高等代數II algebra algebra 5
高等代數II algebra algebra 5
程序設計 CS cs 4
常微分方程 analysis ODE 3
抽象代數 algebra algebra 3
複變函數 analysis 函數論 3
實變函數 analysis 函數論 3
數學模型 applied math applied math 3
概率論 PS probability 3
泛函分析 analysis 泛函分析 3
數理方程 analysis PDE 3
基礎力學 applied math applied math 3
畢業論文(含專題討論) applied math applied math 6

數學與應用數學專業必修課程：
以上＋
拓撲學 geometry topology 3
微分幾何 geometry geometry 3

信息與計算科學專業分4個方向，每個方向要求的課程不一樣，比如說計算數學方向要求學 微分方程數值解法 以及其他一些計算類的選修課程。

總的來說，必修課就是數學專業本科的一些骨幹課程，是所有合格的數學專業本科生都應當掌握的基礎知識。所以也沒什麼挑肥揀瘦的。。本院的課程設置，信計方向的學生不用修拓撲與微分幾何。

至於選修課程，本人上過的都組合數學、數論基礎，旁聽過抽代續論、應用偏微分方程、複分析， etc.其實雖然列表裡面有這麼多選修課，但並不是都能開出來。比如說多複變函數論，本院能開多復變的老師大概也就一兩個。。而且實際上本科生能聽的課程資源不僅僅是本科課程，研究生課程也可以隨意旁聽。本人也旁聽過一兩門研究生課。

所以這些課程都在學什麼呢？
其實作為一個數學學生，感覺這個問題還挺難回答的。因為這些東西對我們就像加減乘除四則運算一樣自然。同時這些課程內容又很多。我沒辦法用幾句話很好地總結每門課大致在學什麼，我就隨便說說分析、幾何／拓撲、代數3個大方向大致在幹些什麼吧。說得很粗略，也都是個人見解，不一定準確。不過話還是說在前面：要掌握某個數學分支的內容和方法，只能是通過自己的學習和探索，聽別人的介紹不過是走馬觀花，自己並不能得到真正的理解。

分析方向：極粗略地講，就是分析 函數／分布／微分方程的解 等一類數學對象的性質。比如說PDE裡面對解進行先驗估計，對解的正則性的分析；比如說古典的Fourier分析裡面分析某個函數的Fourier級數的收斂性。這個方向的特點在於使用的工具比較細緻，主要表現形式在於運算和不等式估計。運算過程中的細小錯誤有可能導致整個結論的錯誤。這種錯誤甚至在一些大師的權威教材裡面也時常出現。所以分析適合細心同時又有耐心的人學。

幾何／拓撲方向：本人比較感興趣的方向。主要是研究曲線、曲面、高維流形、代數簇、scheme等幾何對象的定性的或者定量的性質。拓撲關注的是比較「軟」的性質，也就是在同胚（或者微分同胚）或者同倫變換下不變的東西。微分幾何則更具有「剛性」。微分幾何考慮的是在拓撲流形（有可能帶奇點，所謂的orbifold）上加個度量（可以是Riemann也可以是Lorentz也可以是Finsler），再去考慮跟度量有關的一些幾何現象（所謂度量你可以理解成一把尺子，在流形上可以量曲線的長度，在一般的拓撲空間上是沒有這樣一把尺子的）。至於代數幾何，考慮的對象的「剛性」比微分幾何更強。復代數簇相當於複流形，複流形之間的全純變換是非常剛性的變換。所謂剛性，你可以直觀地理解為「自由度」，剛性越強，可以選擇的餘地就越少。

代數方向：本人弱項。主要是研究各種代數結構，比如群環模域等等，以及這些代數結構的「表示」。初次接觸本科抽象代數的同學，可能會覺得代數比較形式化，比較抽象，事實上各種代數對象都是有「數學意義」的，比如說交換代數可以被納入到（經典的）代數幾何的框架內，從而交換代數中的結論都有幾何含義。

樓主還提到第四個方向，應數方向。但本人不是學應數的，一點都不了解，沒什麼發言權。不過虛的東西還是可以扯一扯的。應數的philosophy就是「把數學應用出去」。應用在什麼領域？物理化學生物，經濟金融，社科，甚至是音樂藝術，只要能用到數學的地方都有應數的身影。用什麼數學工具？無所謂，不管高端低端，直觀還是抽象，只要用起來方便且管用就行。

必須指出的是，以上說的數學方向，並不是嚴格的數學分支，只是一些大的思想和方法技巧而已。不同數學領域並不是互相孤立的，相互之間也會有很多聯繫，有些聯繫還是很深刻的。不過本人才疏學淺，也不能多說什麼。

以上都是個人極粗略的理解，只是為了給非數學科班學生一點點感覺，各位數學大神請手下留情，求輕虐。。

OK,第二個問題：學了有什麼用？
最簡單的答案是：沒什麼用。

追求純數的人，基本都不太會關注自己學的東西在實際生活中到底有什麼用，就是好玩而已。在這裡我突然想quote這個問題：為什麼有人喜歡數學？ - 為什麼有人喜歡 X。排名第二的答案是一篇我覺得寫得還不錯的英語文章，同時也很好地解釋了包括我在內的相當一部分人學數學的動機。如果真想了解數學專業學生的想法的話，這篇文章值得一讀～

其實很多時候我都感覺學數學和學藝術有點像。藝術是對美的追求，數學是對真理的追求。兩者好像都沒什麼實際應用價值，但是如果社會上沒有這兩樣東西，又總覺得少了些什麼～

我來簡單說一下典型北美數學專業的課程分布吧 （參考我所在學校/以及其他大學）
基礎的幾門就是：
微積分1 （導數之類的）Calculus
微積分2 （積分啊泰勒啊什麼的）
微積分3 （多元微積分）Multivariable Calculus
線性代數 Linear Algebra
統計 （不是強制要求 Statistics
計算機科學專業的一節課 CS intro這種

然後再上去就是:
離散數學 Discrete Mathematics
數學分析
抽象代數 Abstract Algebra
然後一些學校會要求一些
Analysis
Senior thesis

選擇性學的就有: (以下部分是與國內數學專業朋友交談後的綜合課程
Probability 概率
Combinatorics 組合數學
Differential Equations 微分方程
Graph Theory 圖論
Number Theory 數論
Complex Analysis 複分析
Geometry 幾何學
Differential Geometry 微分幾何
History of Mathematics 數學史
Topology 拓撲學
Dynamical System 動力系統
Partial Differential Equation(PDE) 偏微分方程
Group Theory 群論
Real Analysis 實分析
Algebraic Geometry 代數幾何