什麼是全導數？

12-27

全導數是多元函數中的一個概念。

我們知道一元函數的情況下，導數就是函數的變化率，從幾何意義上看就是：

但是在多元的情況下比一元的複雜，下面我用二元函數來舉例子（三元我也畫不出來），比如這樣一個曲面上的一點 $A$ ：

在曲面上可以做無數條過 $A$ 點的曲線（圖上隨便畫了三根）：

每根曲線都可能可以（也有作不出來的情況，你想想一元的時候也有作不出切線的情況）作一根切線，比如（隨便挑了一根切線來畫，都畫出來太亂了）：

全導數的意義：每一根切線都和一個全導數「相關」， $A$ 點有無數個全導數。

最精簡的回答已經完了，後面我就要講一些細節了，主要闡述下面兩個細節：

方嚮導數、偏導數是特殊的全導數
每一根切線都和一個全導數「相關」，這個「相關」是什麼意思？難道不就是切線的斜率就是全導數嗎？

順便說一下，如果所有這些切線共面的話，那麼這個平面就是切平面（全微分），可以參考我之前的回答如何直觀理解全微分？。

1 參數方程

為了繼續講下去，我們需要了解下所需要的技術手段：參數方程。

參數方程的用處很多，下面講解下我們需要了解的部分。

1.1 通過參數方程來描述所有的曲線

要描述所有這些曲線，我們就需要一些數學手段，這就是參數方程。

我們來看一下，隨便畫一條過 $A$ 點的曲線：

這條曲線也是一個關於 $x,y$ 的函數 $f(x,y)$ ，因此它與 $xy$ 平面上的曲線具有一一對應的關係：

因此我們只需要描述 $xy$ 上的曲線就可以達到描述曲面的曲線的目的，這時候就很自然的可以使用參數方程了。

舉個具體的例子，對於 $f(x,y)=x^2+y^2$ 這個二元函數，函數圖像是這樣的：

注意此時的 $x,y$ 都可以自由改變：

但是如果增加參數方程：

$egin{cases}z=x^2+y^2\x=t\y=tend{cases}$

這有什麼意義？此時的 $x,y$ 的變化就受到 $egin{cases}x=t\y=tend{cases}$ 的約束：

我們來把這根參數方程決定的直線放到三維空間去：

根據之前的描述，這根直線可以決定一根曲面上的曲線：

這根曲面上的曲線就是剛才說過的：

$egin{cases}z=x^2+y^2\x=t\y=tend{cases}$

1.2 參數方程可以拍扁三維圖像

從另外一個角度看，參數方程可以把三維的圖像一巴掌拍扁：

什麼意思，我們來看看，還是 $f(x,y)=x^2+y^2$ 這個二元函數：

增加參數方程約束：

$egin{cases}z=x^2+y^2\x=t\y=tend{cases}$

把 $x,y$ 代入到 $z$ 裡面去，可以得到 $z=2t^2$ ：

這就好比把 $xyz$ 空間的立體圖形拍扁到了 $zt$ 平面，這個特性在後面會用到，所以在這裡先預熱下。

2 偏導數、方嚮導數、全導數

講完「所有曲線」之後，我們要來講這些曲線的切線了，不同的曲線有不同的切線，也就有不同類型的導數。

2.1 偏導數

由 $xy$ 平面中平行於 $x$ 軸或者 $y$ 軸的直線決定的曲線：

這根曲線的方程也可以寫成參數方程（以平行於 $x$ 軸的曲線為例， $a$ 為常數）：

$egin{cases}z=f(x,y)\x=t\y=a+0 imes tend{cases}$

偏導數就是這根曲線的切線的斜率：

2.2 方嚮導數

$xy$ 平面不光有平行於坐標軸的直線，還有各種射線，由這些射線決定的曲線：

為什麼是射線？我們回想一下一元函數中左可導、右可導的概念：

射線可以類比左可導、右可導中的「左」和「右」。

方嚮導數也就是這根曲線的「左導數」、「右導數」：

假設 $A$ 點的坐標為 $(x_0,y_0,z_0)$ ，則該曲線方程的參數方程為（具體的意思我這裡不解釋了，自己參看書中關於「方嚮導數」的章節）：

$egin{cases}z=f(x,y)\x=x_0+tcosalphatgeq0\y=y_0+tcosetatgeq0end{cases}$

2.3 全導數

除了直線射線以外， $xy$ 平面上還有很多不同的曲線，這些曲線總可以寫成參數方程的形式：

$egin{cases}x=x(t)\y=y(t)end{cases}$

這些曲線也總能決定曲面上的曲線，比如我之前畫過的圖：

曲線的參數方程可以寫成：

$egin{cases}z=f(x,y)\x=x(t)\y=y(t)end{cases}$

講到這讓我先總結一下：

過點 $A$ 可以做無數條曲線
所有這些曲線都可以寫成參數方程的形式
偏導數、方嚮導數、全導數由不同的曲線所決定
偏導數、方嚮導數其實是特殊的全導數

總結了之後我要繼續講全導數最重要的一個問題，那就是：

一般來說（除了偏導、方嚮導數，下面說的全導全部指除了偏導和方嚮導數之外的），全導數不是這根曲線的切線的斜率。

為什麼「偏導數」、「方嚮導數」都是切線的斜率，而全導數不是呢？

2.3.1 拍扁並且變形了

之前說過參數有拍扁的特性。

在 $xyz$ 平面中，偏導數的曲線其實位於平行於 $x$ 軸的平面上：

拍扁到 $zt$ 平面：

本身也就是平面，拍扁之後也不會發生變形。

因為偏導是特殊的全導，所以我們可以認為偏導就是 $frac{dz}{dt}$ ，也就是 $zt$ 平面上切線的斜率：

因為沒有拍扁過程中沒有發生變形，所以 $zt$ 平面上切線也就是 $xyz$ 空間中的切線。

同樣的道理，方嚮導數的曲線也是位於平面之中的，所以拍扁過程也不會變形。

但是，普通的全導（也就是曲線不在平面中的），拍扁的過程中會變形，比如說還是我之前舉的決定全導數的曲線：

把它拍扁到 $zt$ 平面中去：

不得不說看起來還是有那麼一點像，不過已經嚴重變形了。所以全導 $frac{dz}{dt}$ 在 $zt$ 平面上還是切線的斜率：

但因為變形，已經不是 $xyz$ 空間中的切線（實際上要是還原回去的話是一條曲線）。

至於 $xyz$ 空間中切線的斜率要怎麼求，就是切向量的問題了，有機會我們接著說。

全導數其實就是導數，通常指多元函數的導數。
定義(可微性) 設 $E$ 是 $mathbf{R}^n$ 中的開集， $f:E omathbf{R}^m$ 是函數， ${m x_0}in E$ ，並設 $L({m x_0}):mathbf{R}^n omathbf{R}^m$ 是線性變換，如果
$lim_{{m x} o {m x_0};{m x}in Esetminus{{m x_0}}}$ $frac{|f({m x})-f({m x_0})-L({m x_0})({m x}-{m x_0})|}{|{m x}-{m x_0}|}=0$
那麼就說 $f$ 在 ${m x_0}$ 處可微，具有導數 $L({m x_0})$ ，這裡 $|{m x}|$ 是 $m x$ 的2-範數
$|m{x}|=|(x_1,cdots,x_n)|:=(x_1^2+cdots+x_n^2)^{1/2}$

有時線性變換 $L({m x_0})$ 也叫做 $f$ 在 ${m x_0}$ 處的全導數，注意從 $mathbf{R}^n$ 到 $mathbf{R}^m$ 的線性變換與 $m imes n$ 的矩陣是同構的， $L({m x_0})$ 在標準基下的矩陣就是 $f$ 在 $m x_0$ 處的Jacobi矩陣，即
$[L(m x_0)]_{alpha}^{eta}=left(frac{partial f_i}{partial x_j}(m x_0) ight)_{1leq ileq m;1leq jleq n}$
這裡 $alpha$ 和 $eta$ 分別是 $mathbf{R}^n$ 和 $mathbf{R}^m$ 中的標準基。

看到樓上搞那麼多複雜的探討，弄得好像全導數很神秘很難於理解一樣。其實要我來說，不必那麼苛求多麼深入的理解，又是從物理的角度又是從幾何的角度，弄得那麼複雜。

我來從高數學習的角度來說，非常簡單，只要理解這個就足夠了。

全導數非常簡單，其實全導數本質上就是一元函數的導數。他是針對複合函數而言的定義。比如z=f(x,y)，x=u(t)，y=v(t)。那麼z關於t的導數就是全導數。所以我說本質上就是個一元函數的導數，z本質上就是個關於t的一元函數。因此全導數沒什麼難於理解的，只不過為了複數函數的求導而被定義了出來。對於真正的多元函數是沒有全導數這一說的，只有偏導數、偏微分和全微分。

二元函數的增量定理—&>二元函數的線性化—&>全微分

可以從全微分的角度入手，全微分在物理上表達一個函數值的變化是隨各個參量變化而變化的。例如y = y(a,b),dy=dyda*da+dydb*db(dydx指代偏微分).則此時的全導數為dy/da = dyda+dydb*db/da.把函數的導數形式反映成每一個量的導數運算。