格林公式的幾何意義是什麼？

12-27

格林公式的幾何意義是什麼？為什麼邊界和積分值有聯繫？就像牛頓萊布尼茲公式中定積分值和兩端值有關，格林公式中區域二重積分和邊界曲線積分有關。

格林公式闡述了一個簡單而又重要的物理事實，守恆。

比如，打撞球：

它的能量守恆是這樣的：

擊球的能量產生在桌面上，所以調整一下守恆式，就得到了格林公式：

下面讓我們一步步建立物理模型來解讀上面的描述，並推導出格林公式。

本人不才，下面的物理都主要重視直觀理解，不求嚴格性，懇請物理大咖指點糾正。

1 關於旋轉的物理問題

在劍橋大學的小路上，正在思考的喬治·格林被一個學生攔住了，學生愁眉苦臉的說：「老師，您好，有個問題我一直沒有想清楚，您幫我合計合計。」

學生繼續說道：「這個問題就是，我應該怎麼去分析水流中，螺旋槳的做功情況？」

「這是一道應用題，」格林眉毛一擰：「肯定是先建模啊。」

2 模型的建立

首先，水流作用到螺旋槳上，表現為力，因此先把水流轉為力場 $vec{F_{}}=Pvec{i_{}}+Qvec{j_{}}$ ：

把這樣的螺旋槳：

抽象一下，放入到力場中去，就會旋轉起來（手動移動下螺旋槳的位置，還會發現在不同的位置旋轉速度不一樣）：

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

進一步簡化一下，我們只研究其中某一個點的在旋轉中的做功：

等價於研究某一點在圓形路徑上的做功：

格林說：「問題就被轉化為了沿路徑做功了，我們看看物理層面怎麼解答。」

3 物理的解答

3.1 旋轉方向與有向路徑

首先，規定逆時針旋轉為正方向：

旋轉有了方向之後，此點走過的路徑也就有了方向，我們稱為「有向路徑」。

根據旋轉的正方向，就可定義點走過的路徑的正方向：

點要是反著轉，那麼走過的路徑自然就是 $L^-$ 。

3.2 做功分析

根據微積分的思想，我們把路徑切成無數個微小的曲線段：

根據我們已知的兩個知識（已知的意思，其實是我不想解釋了）：

根據微積分「以直代曲」的思想，這些微小的曲線段可以用切線來代替
根據物理知識，我們知道，力只在路徑方向做功

結合上述兩點，我們可以得到，每個微小的曲線段上做的功為：

那麼，很明顯，整段封閉曲線做功可以表示為如下：

$oint _{L^+}vec{F_{}}cdot dvec{r_{}}$

「哇，清晰多了！」同學搓搓手，遞上一隻大前門香煙：「老師，可是怎麼計算呢？」

格林抽出筆來，刷刷地寫道：「就這麼算！」

4 數學計算

4.1 矢量形式轉為標量形式

矢量形式 $oint _{L^+}vec{F_{}}cdot dvec{r_{}}$ 不太好計算，讓我們轉為標量形式。

根據我們一元微積分的知識，我們知道 $dvec{r_{}}$ 在 $vec{i_{}},vec{j_{}}$ 方向的分量為：

那麼，有 $vec{F_{}}=Pvec{i_{}}+Qvec{j_{}}$ 和 $dvec{r}=dxvec{i}+dyvec{j}$ ，所以， $vec{F_{}}cdot dvec{r_{}}=Pdx+Qdy$ ，所以：

$oint _{L^+}vec{F_{}}cdot dvec{r_{}}=oint _{L^+}Pdx+Qdy$

4.2 非常簡單的加減運算

我們給出一個簡單的力場，這個力場的特點是：

只有水平方向的力
在同一個垂直高度上，力的大小一樣
隨著垂直高度的增加，力逐漸減小

畫出來就是這樣的（矢量的方向表示力的方向，矢量的長度表示力的大小）：

計算在此力場中，某點圍繞正方形路徑一圈所做的功，已知：

正方形邊長為3
上邊受力大小為1，下邊受力大小為4
力與左右兩邊垂直，所以在這兩邊不做功

如圖：

所以，算出某點圍繞正方形路徑一圈所做的功為：

把正方形均分為9宮格，每塊都是變長為1的正方形，每條正方形的邊所在力場的大小我也標註在圖裡了：

可見，兩種運算方法得到的結果都是一樣的。

這是一個簡單的演算，可以推廣為，任意的路徑邊界上的功，等於路徑圍成的區域內的所有微分矩形（矩形也符合「以直代曲」的微積分思想）的邊界上的功之和：

這也就是我剛開始說的守恆，雖然功和能量還不是一回事，不過也算緊密相關，允許我這個物理民科這麼去直觀理解。

4.3 計算微小矩形邊界上的功

怎麼計算微分矩形上做的功呢？讓我取一個微分矩形出來，我把矩形的邊和頂點、以及矩形的區域都標註出來了：

下面是代數推斷了，我覺得過程還是很清晰明了的。

首先，注意到在 $L_1^+,L_3^+$ 上 $dy$ 為0（因為 $y$ 方向沒有變化）， $L_2^+,L_4^+$ 上 $dx$ 為0，然後我們繼續推下去：

$egin{align*} oint _{L^+}Pdx+Qdy =int _{L_1^+}Pdx+int _{L_2^+}Qdy+int _{L_3^+}Pdx+int _{L_4^+}Qdy\ =int _{a_0}^{a_1}P(x,b_0)dx+int _{b_0}^{b_1}Q(a_1,y)dy+int _{a_1}^{a_0}P(x,b_1)dx+int _{b_1}^{b_0}Q(a_0,y)dy\ =int _{b_0}^{b_1}[Q(a_1,y)-Q(a_0,y)]dy+int _{a_0}^{a_1}[P(x,b_0)-P(x,b_1)]dx\ =int _{b_0}^{b_1}int _{a_0}^{a_1}frac{partial Q}{partial x}dxdy-int _{a_0}^{a_1}int _{b_0}^{b_1}frac{partial P}{partial y}dydx\ =int _{b_0}^{b_1}int _{a_0}^{a_1}[frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial y}]dxdy\ =iint _{D_1}[frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial y}]dxdy end{align*}$

微分矩形的邊界做功求出來了，結合我們之間的結論，邊界的做功＝微分矩形做功之和我們可以得到最終的結論：

$oint _{L^+}vec{F_{}}cdot dvec{r_{}}=oint _{L^+}Pdx+Qdy=iint _{D}frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial y}dxdy$

其中 $D$ 為 $L^+$ 圍成的區域。

同學之前聽得屏息凝視，現在才有機會長出了口氣：「真是精彩啊！」

格林反問道：「你知道 $oint _{L^+}vec{F_{}}cdot dvec{n_{}}$ 會得到什麼嗎？」

$dvec{n_{}}$ 是法向量。

5 通量

$vec{F_{}}cdot dvec{r_{}}$ 代表力在運動方向做功，但是力並不會在與運動的垂直方向做功，那麼 $vec{F_{}}cdot dvec{n_{}}$ 代表了什麼？

如果把 $vec{F_{}}$ 看作流速，或者電流密度，那麼 $vec{F_{}}cdot dvec{n_{}}$ 就在流體力學、電磁學中被稱為通量。

關於通量更詳細的可以看我另外一個回答散度和旋度的物理意義是什麼，其中回答了為什麼是法向量方向。

比如，對於我們頭頂上的太陽：

我們要計算穿過（包括射出和進入）太陽表面的能量總量：

這就是通量，記作：

$oint _{L^+}vec{F_{}}cdot dvec{n_{}}$

太陽內部時時都在發生核聚變，以及其他的能量活動：

根據能量守恆，內部的能量總量，必然等於穿過太陽表面的能量總量。

也就是說，通量和內部能量總量相等。

定了這個基調之後，然後按照之前分析做功的方式，最終我們可以得到：

$oint _{L^+}vec{F_{}}cdot dvec{n_{}}=oint _{L^+}Pdy-Qdx=iint _{D}frac{partial P}{partial x}+frac{partial Q}{partial y}dxdy$

格林說完之後，突然發現，自己發現了不得了的東西，對於數學有重要的意義，相當於把封閉曲線的線積分轉為了二重積分。所以，趕快去發表論文吧。

6 總結

喬治·格林（1793 — 1841），英國科學家，格林公式的發明者。

根據不同的物理意義，格林得到了兩種格林公式的形式：

做功的形式（電磁學、流體力學也可以把 $vec{F_{}}$ 看作流速，下面就稱為環流量）：

$oint _{L^+}vec{F_{}}cdot dvec{r_{}}=oint _{L^+}Pdx+Qdy=iint _{D}frac{partial Q}{partial x}-frac{partial P}{partial y}dxdy$

通量的形式：

$oint _{L^+}vec{F_{}}cdot dvec{n_{}}=oint _{L^+}Pdy-Qdx=iint _{D}frac{partial P}{partial x}+frac{partial Q}{partial y}dxdy$

旋度和散度也出現在公式中了。

本文輕度調侃了喬治·格林，並非不敬。在我眼中科學家才是真正的英雄，希望我可以寫出這些科學大咖風采的一二，借用《紅樓夢》中的一句話，但使大家知道「科學界歷歷有人」。

看了一下各位答主的回答，都很專業和清楚，我嘗試用我的方式來解釋格林公式，給出一個不一樣的理解角度。
另外，有一個答主說格林公式用旋度來解釋，是我最贊同的，不過目前可能大家還沒有理解旋度的本質，所以我先不引入旋度了。

格林公式有點難以理解，因為它確實有些反直覺，「我們為什麼能夠用內部的情況來描述外圍的情況？」看到公式後很多人會產生這個疑問，公式是一步登天的，是對最終結論的簡潔描述，所以在我們得出結論之前，不妨先解決一個個的小問題，給自己搭一個個小台階，最終完美的理解問題。數學如此，科學上任何事物皆是如此。

所以在正式討論格林公式之前，我們先用語言來描述這個奇怪的公式：
有一條光滑連續的封閉曲線L，這個L是封閉的所以肯定會圍成一個區域叫做D，同時這塊區域上存在著一個力場F，根據坐標的不同力場中每一點都會收到力的作用，如下圖所示：

好，讓我們來提出一個問題，作為我們的目標。請求出沿著曲線L的力們做的總功。
這是一個很實際的問題，現實生活的運動中不可能永遠是高中物理題中的直線運動或者完美的圓周運動，所以還沒有微積分的時候，這種問題都是難以解決的，而現在我們有了微積分這個武器，所以聰明的我們立刻想到了一個解決方案：
把這個封閉曲線L分解成無數個小段，每個小段近似直線，在這條直線上的力F可以看成不變，求出每一段直線上的做功，然後在求一個和，問題迎刃而解！我們用一張圖來描述這個解決方案：

受過高等教育的我們發現，即使簡化到這一步，我們依然難以用一個數學表達式來描述這個總功，因為F力的方向和小直線段的方向不一樣且夾角也未知，於是我們進一步的把力F分解成沿x方向和沿y方向，同時也將線段這麼分解，到這裡我們可以寫出總功的公式了：

問題看似已經解決，但是我們出現了一個問題：該如何求這個積分呢？
你可能會想到用y=f(x)來將這個積分化簡為一元函數積分

但是很遺憾這不可行，因為這是一個封閉曲線，他違反了函數的垂直線校驗（不知道的自行百度函數的垂直線校驗），這意味著你壓根不可能寫出一個y=f(x)的式子，遇到這個大麻煩了，該如何解決呢？喬治·格林同志將運用他天才的大腦給出我們一個解決方案，而我將猜測性的復盤他的思維過程。

休息一下，累死我了。
格林同志認為，複雜的事情可以先從簡單的模型入手：

他假設這麼一個矩形，求矩形上力們沿著矩形做功，然後，他跨出了重要的一步，他把兩個矩形拼到了一起：

你可能還沒有意識到這一步有多麼重要，那我就要提示你一下，看到這兩個矩形重合的那條邊了嗎，注意，這條邊上的每個點的力都完全相同，唯一不同的是做功的方向正好相反！這意味著這一段的做功抵消掉了，於是這兩個矩形的總功可以簡化成這樣：

你可以繼續疊加成三個矩形、四個矩形，你會發現當多個旋轉方向相同的矩形疊加在一起時，他們內部的做功全部抵消掉了！只剩下最外圍那個輪廓做的功！

也許格林同志意識到這一點的時候笑出了聲，你是不是還沒有意識到他為什麼笑了，這只是一個矩形的簡單模型啊，我們要求的問題是複雜的不規則光滑封閉曲線啊！但是你看看格林用他的微積分知識畫了這樣一張圖：

與我們用微積分把曲線分解成無數個小直線段不同，格林用微積分把這個區域分解成了無數個小矩形！還記得我們之前那個簡單模型嗎？這一大堆拼湊在一起的矩形的最外邊緣的做功就是所有小矩形做功的總和！

到目前為止，我們的小台階已經搭起來了，現在離我們最終解決問題已經不遠了，我們迫切的想要知道，對於分解出來的小矩形，做功應該如何求？

又累了，再歇會。

我們取任意一個微小的微分矩形：

這就是一個任取的微分矩形，我在四個頂點處將該點所受的水平方向力P(x,y)和垂直方向力Q(x,y)標註出來了，運動方向是逆時針，由於是微分矩形，我們可以假設在沿著某一邊運動時，力的大小是不變的，於是我們可以求出這個微分矩形上力做的功為：

對於這個式子，不僅是我們，連格林也一籌莫展，不過我們之前說過，這個矩形是微分矩形，當力沿著直線移動時並不改變大小，於是這個式子我們可以進行如下改造：

這張圖有一處筆誤，我等會糾正。
這就是這一個微分矩形做的功，那麼所有的微分矩形做的功呢？積分就可以啦。再根據我們前面搭的台階：矩形們的總功之和就是外圍輪廓上做的功，那麼不就得吃結論了嗎！
喬治·格林寫下了最終結論：

以上。

是這樣的，函數P(x,y),Q(x,y)兩個函數構成了格林公式的核心
我們可以將兩個函數組裝為一個復向量，即一個新的函數
$W(x,y) = P(x,y)+iQ(x,y)$ 。
這樣就是2維平面上的每個點都對應一個復向量
這就像一個地圖上的水流流速圖（或者風向圖，想想一張圖上布滿了小箭頭），如果我們說P，Q都是連續的，即地圖上的水流在相應方向是連續的。
有了這個有現實意義的理解我們就來看格林公式吧：
$int_{}^{} int_{d}^{}(frac{partial Q}{partial x} -frac{partial P}{partial y} ) dxdy = oint_{L+}^{}(Pdx + Qdy)$
$(frac{partial Q}{partial x} -frac{partial P}{partial y} )$ 這個東西是什麼，他是複變函數W(x,y)的C-R方程。也許你不懂？那你知道一點就好了，如果這個東西等於0，則說明這個點以及周圍所有點都是是可導的（暫且先這麼理解，不準確）。所以積分結果就是所有不可導的點的C-R和。

知道這些我們就可以說說格林公式的幾何含義了：
P和Q組成了W，即一個水流流速圖。
如果某個點水流的流速和周圍不是連續的，它就是一個出水口或者入水口，他的C-R方程值是流入流出水流的速度。
格林公式就是這樣的：
對於一個水流流速圖，區域內所有出水口入水口的流入或流出的水的速度和，就是你在區域邊界所得到的流入或流出的水的速度和。

用數學語言來講：對於一個有源流量場，其區域內流量源流入流出速度的和，等於區域邊界流速的和。

個人理解，勿噴。

如果要統一的話有個統一公式叫做斯托克斯定理。

其實就是「降維打擊」，這種「降維」是保持了面積(體積)這種性質不發生改變。

在一個矩形上。

題主去理解一下微分形式的話，這些公式的意義一目了然。

牛頓 – 萊布尼茲公式

$int_{a}^{b} f$

其中

$f$

將牛頓 – 萊布尼茲公式寫為

$int_{a}^{b} [df(x)/dx]dx=f(b)-f(a)$

也就是， $f$ 在1維區間[a,b]上的積分可以用它的原函數在區間的邊界，即點a和b處來計算，即將線上的運算簡化到線的邊界點上來計算.我們知道，點構成線，線構成面，面構成體.所以將線上的運算簡化到點，即線的邊界上來計算是一種簡化.

同理，我們要將面上的運算簡化到面的邊界，即面的邊界線上來計算.這就是格林公式的邏輯.

簡化過程如下：

設閉區域D由分段光滑的曲線圍成，函數P(x,y)及Q(x,y)在D上具有一階連續偏導數，則有

$[iintlimits_D {(frac{{partial Q}}{{partial x}} - frac{{partial P}}{{partial y}})dxdy = oint_L {Pdx + Qdy} }]$

上面是數量值函數表達式，用向量值函數表達式更能看出其中的含義，我們來推導.

$F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j$

$dr=dxi+dyj$

$F(x,y)cdot dr=[P(x,y)i+Q(x,y)j]cdot (dxi+dyj)$
$=P(x,y)icdot dxi+P(x,y)icdot dyj+Q(x,y)jcdot dxi+Q(x,y)jcdot dyj$
$=Pdx+Qdy$

從而格林公式等號右邊是

由牛頓 – 萊布尼茲公式可知，需要簡化的積分的被積表達式 $f$ 是 $f(x)$ 的微分，同樣地，面積分中，被積表達式 $(partial Q/partial x-partial P/partial y)dxdy$ 是 $F(x,y)$ 的微分，不過注意 $F(x,y)$ 是二元向量值函數，是向量；

$[iintlimits_D {(frac{{partial Q}}{{partial x}} - frac{{partial P}}{{partial y}})dxdy = oint_L {Pdx + Qdy} }]$

用向量表示為

哈哈，一點淺見，大家參考一下吧。

大家好，我是寶刀君，是一名將軍，也許你不了解我，但你只要知道我是像令狐沖大俠那樣瀟洒自由的將軍就足夠了，很高興，我們又在知乎上見面了。

是不是有點看不清晰？

算了，重新上傳個高清的吧，諾，就是這樣：

在攻打完上一仗：洛必達法則失效的情況有哪些？ - 知乎 之後，我和我的小夥伴們經過短暫的調理休息，我們又重新出發了。

本來我們大部隊是按計劃繼續往前走的，但誰知走到五霸崗這個地兒，我們就收了同伴發來的的大雕傳書。

雕哥平時很威猛的，不知為啥，這次一見到我們，顯得很疲憊，我們走進去一看，才發現大雕哥的腳丫子那兒充滿了血跡，帶來的傳書也被鮮血浸泡的成為了黑紅色。

「辣眼睛啊，好怕好怕」！助理驚叫了一聲。

此情此景，我馬上吩咐助理：「讓隊伍停止前進，就地安營，等候前進命令」，我自己走到雕哥面前，伸手打開了傳書，看看夥伴到底是遭遇了什麼事？

信紙打開，上面的第一行「第二型曲線積分的計算」赫然在目，緊跟其後的第二行字是「含奇點的格林公式怎麼破？」！

剎那間，我突然明白為什麼夥伴們會發出求助信號了，我突然明白為什麼雕哥會疲憊不堪的躺在那兒了。

又是那魔頭考研數學派的小弟！

真沒想到這廝這次竟然大下黑手，派出對大部分人來講都挺難的傢伙（格林公式）來坑害我的同伴！真是可惡至極！

不行，我不能坐視不理，我的同伴既然能像我發出求救信號，這說明他信得過我，畢竟人在危難時刻發出求救時的對象，都是他自己覺得最能幫他的人。

原來這就是信任的力量！我瞬間覺得自己有一種使命感！

「助理，去叫一下咱們的智囊團，我們接下來研究研究對策，記住，一定要把格林前輩請來」。

「是的，將軍」

不一會兒，我的營帳里坐滿了所有的智囊團，所有數學系的頂尖大牛聚集在一起，場面異常壯觀！

很快，我就發表了自己針對此事的觀點：

「各位數學系的大牛老師們，咱們這次遇到了了同行夥伴的求助，這次敵人「考研數學」派出了2大悍將，一個是「第二型曲線積分的計算，另一個是含奇點的格林公式怎麼破？相信諸位已經看到了，同伴已被敵方打的傷痕纍纍，既然咱們都是同道中人，那就應該同仇敵愾，互相幫助，本將軍打算先就地解決完這個問題再走，不知各位前輩意下如何？諸位給出點意見!」

「第二型曲線積分的計算，根據我的研究，它在真題中歷年只考2個點」。格林前輩堅定的說道。

「哦，2個點，哪2個點呢？」

「一個是考利用格林公式來計算曲線積分的問題，另一個是考做功與路徑無關的問題，敵人雖然拋出來的是第二型曲線積分的計算，但是但凡真正遇到敵人（真正考試）那一天，要考這個點，那肯定是考格林公式的相關應用」

「格林老師，您的意思是：其實最終還是在圍繞著格林公式在考？」

「對的，是這樣的呢」。

格林前輩說完後，我馬上陷入了沉思，我在回憶當初格林老師教我那套他自己自創的「格林公式」的刀法套路。

我還記得格林老師當時教完我之後，順便給我說了他這套刀法的使用條件：

條件1是封閉且正向，條件2是保證函數及其偏導數在域內連續有定義，這些我都還能記得。

「格林前輩，我記得您上次講過你創造的這套刀法，我課後親自用過，確實很方便呢，要不我現在就拿你這套刀法上陣殺敵？」

「將軍，萬萬不可啊！實不相瞞，我跟敵人（考研數學）也打交道了多年，對方每年怎麼給我使絆子，我是一清二楚啊」

「哦，使絆子？這個怎麼講？」

「哎，將軍有所不知啊！早年我在磨坊工作時，白天工作，晚上自學從布朗利(Bromley)圖書館借來的數學書籍，經過自己的潛心研究，終於自成體系！研究出專門針對第二型曲線積分的計算辦法—格林公式法，這套刀法，對第二型曲線積分的計算時帶來了大大的方便！」

「恩恩，格林前輩勤勉的工作，大家有目共睹，我一直很欽佩！」

「可是漸漸的，我發現，我的這套刀法使用起來有條件限制，不能隨隨便便亂用，如果亂用，只會導致練武之人自己走火入魔！況且近一二十年來，敵方考研數學也發現了我這個刀法的使用限制，因此經常給我使絆子」。

「奧，原來是這樣啊，那老賊給你使啥絆子呢」？

「將軍請看，他們經常這樣限制我」

我仔細看了下，原來對方是以牙還牙啊。格林公式是用來計算第二類曲線積分的，由於它的使用有兩個條件，因此敵人經常去破壞這兩個條件，

「格林前輩，那您有辦法破解這個嗎？」

「有是有，只不過我需要支持」

「需要什麼你隨便講，無論是人力、資金，我都可以盡全力去支持你」

「資金上倒是不需要，我只需要個援手，援手先給我打頭陣，先幫我掃清了前方的障礙之後，我就可以施展拳腳，展現我的刀法了！」

「哦，原來是這樣，那就由我來打這個頭陣吧，不管怎麼說，最後一次和敵人（考研數學）應戰時，都是我一個人去解決的，該來的躲不去，未來這場未來3小時的廝殺，在所難免，倒不如現在就開始和他過過招！」

「將軍說的在理，不過將軍不要擔心，只要你接下來按我說的做，咱們兩聯手，就可以順利解決這類問題的呢」

「好的，沒問題」

接下來，營帳里一片安靜，都在聽格林前輩講話。

「老夫創造的這套刀法，凡練武之人在使用時，一定要摸著胸口問自己三個問題：

一 封閉嗎？

二 正向嗎？

三 連續嗎？

如果不封閉，那就加線減線，如果不正向，那就添個負號就可以，這兩個都不會給我造成什麼困難，真正會給我造成威脅的，其實是第三個條件的破壞—不連續！」

助理，你將大雕兄弟傳來的題目拿過來，我給將軍解釋什麼是第三個條件的破壞」。

助理呈上了敵人給的這道題：

「諸位請看，敵人這套題，積分函數是一個分式，這個函數在積分區域D內不連續，甚至無定義，這個原點就是大家平時聽到的「奇點」（qi dian），我把它稱為內奸。

這個內奸的存在啊，極大地限制了我這套刀法的使用，於是身邊有同僚建議，把這個內奸給我挖去，把這個內奸給扣掉，把這個內奸給我閹割了！

同僚們怎麼做的呢？

老夫是個有菩薩心腸的人吶，同僚們閹割奇點閹割內奸的做法讓我下不了手啊，雖然同僚們是想讓我出出風頭，去解決這個二型曲線積分的問題，但是手刃二型曲線積分的原始辦法是轉化成定積分，犯不著因為要重用我一個人而造成不必要的傷亡啊！

後來，我在夜晚油燈下，仔細研究同僚的招數，驚人的發現，原來他們所謂的「挖去、扣掉、閹割」並不是真正意義上的「挖去、扣掉、閹割」啊，這只是虛晃一槍，這裡面有個循序漸進的過程，給大家造成了錯覺。

諸位不妨回想一下第二型曲線積分產生的物理背景：變力沿曲線做功！

功等於什麼？力乘以位移。

對於上面這個題，假設力沿著曲線做功，從起點A出發開始走，走到B點時，它其實是沿著向下的那條線往下走，繞著咱們構造的這個曲線C一圈，然後回到B點，再繼續沿著原來的方向走！因為力沿著曲線向下，轉一圈後又沿著曲線向上，力的大小相等，方向相反，所以這兩段一下一上做功剛好抵消掉。因此，這就給大家造成一種錯誤的感覺：「哇，這是個奇點我取不到，所以我把它給挖去了啊」！

用圖表示就是這樣：

因此，事實上這裡根本就沒有「挖掉奇點」這一說，它本質上是對做功相等的一種路徑的恆等變形！因為對於同樣一個力，沿著曲線L和沿著曲線L+C做功，數值是相等的！即：

「格林前輩，我有個問題：你裡面的這個橢圓，沿著沿著圖中標的逆時針方向，這是正向還是負向啊？」

一旁的助理答道：「逆時針為正向，順時針為負向」

「這種回答是錯誤的」，格林前輩振振有詞的說道，「正負向的判別不是以順時針逆時針來看的，而是根據你這條曲線圍成的區域，你沿著曲線走時，你的左手是不是一直在區域D內！如果是，那就是正向，如果不是，那就是負向！與順逆時針沒有一點關係！」

用圖表示，就是這樣：

聽到這裡，我明白自己該怎麼做了，「前輩，我去打頭陣，我在L內補這樣一個曲線C，就按你的同僚的打法做」

於是乎，我和格林前輩聯手在眾人面前打出了如下的刀法：

「不錯不錯，真是精彩！大將軍和格林前輩並肩作戰，真是勇猛！分分鐘滅敵人！」助理連連拍手稱讚道。

「格林前輩，小女子跟隨將軍多年，對您的這套刀法也有所耳聞，也曾學過一段時間，不知小女子可否和您合作，就這道題發表下我的看法？」

「完全可以啊！都知道大將軍勤學好問，沒想到就連身邊的助理也都熏陶養成了如此好的習慣，這對於提升部隊的整體實力，有很大的鼓舞啊！」

「謝謝前輩，小女子獻醜了！」

話說完，只見助理騰空一躍，用手中的劍勾勒出如下的破解法：

我仔細查看助理的劍法，發現和我的非常像啊，只不過他這裡使用的是特殊值，取得橢圓方程很特殊，就用一個常數就可以了，看著更簡單一些，最終答案也和我一樣，哎，我要是早知道這個題還可以這樣做，我想我會選助理的方法，它的太簡單了.

「對了，好奇怪啊，為什麼曲線方程要這樣添加呢？為啥要添加一個橢圓？我添加正方形、長方形、三角形或者任意的曲線不行嗎？」我的心裡突然頓生出這樣的疑問。

格林前輩好像看出了我在思考什麼，這個老頭，不得不服，每次我想啥，他好像都知道，尤其是他熟悉的東西。

「將軍，你是不是在思考輔助曲線方程添加的原則是什麼？」

「恩恩，是的呢」

「哈哈，被我猜中了，其實呢，理論上說，我們在曲線L裡面可以添加任意的曲線C，只要你這個曲線方程C是在這個L內就行，但是我們不能忘記添加曲線C的目的：簡化計算！

像之前給將軍講授的曲線積分、曲面積分，它們和二重積分、三重積分最大的不同就是：

「我的被積函數方程f(x,y)是可以用曲線方程y=y(x)代替的！」

因為這個被積函數f(x,y)是定義在某段曲線、某個平面上的，既然是定義在這裡，那麼當然可以帶進去計算！而且是必須得代入，否則你沒法算。

因此，出於簡化計算的考慮，我們添加什麼樣的曲線C，就取決於這個曲線L的分母長什麼樣！

換句話說，在曲線L裡面

添加曲線C的核心目的是：去掉被積函數中的分母！

輔助曲線方程添加的原則是：分母長啥樣，我就添加啥樣的曲線C！

「格林前輩，您今天講的內容比較多，像您創的這套刀法，為什麼讓別人幫你打個頭陣（內部取同方向的曲線C）就可以了呢？您可以從理論上給證明下嗎？」

「完全可以」，格林前輩說完，快步走向前方，用大刀揮灑自如的給出證明：

揮舞完大刀，格林前輩對著大夥說道：如何選取這個輔助曲線C0（L1）呢？

選取的標準就是你可以把那個被積函數的分母給去掉！

說完後，繼續表演，給出了結論：

看著格林前輩精彩的表演，我突然意識到：原來這就是所謂的轉化啊！

一條路走不通了，我試著換一條路，兩條路走的「功效」是一模一樣的！

「感謝格林前輩精彩的講解！您講的這套刀法的使用條件、如何除掉內奸、轉化的思想我已完全弄懂，非常感謝！」

「哈哈，將軍不用客氣，懂了就好，現在快去解救你的同伴吧！」格林前輩哈哈大笑。

「好的」，順著剛才的格林前輩的教導，我又重新推演了一遍，將信紙交給雕哥的愛侶—雕妹，讓她寄給我的同伴。

「好了，現在同伴的危難已經解除，今天下午大家也耗費了不少精力，尤其是格林前輩，現在臨近晚飯時間，不如開始準備晚飯吧！今天請大家吃羊肉！，助理，順便再來3大壇上等的女兒紅，奏上笑傲江湖！，明天繼續趕路！」

好嘞！

在大家一篇歡歌笑語中，我注意到一個細節：雕兄和高斯前輩一直在交談，從今天雕兄和我們匯合後，他好像就一直和高斯前輩探討什麼問題，而且最關鍵的是：格林前輩在給大家講解那套刀法的限制使用條件時，高斯前輩在那一刻好像也露出一絲焦慮。

這一切，我都看在眼裡。

哎呀，難道是那個？我頭腦中迅速閃過一個想法：

格林公式是將第二類曲線積分（也叫對坐標的曲線積分）轉化成二重積分來計算；

高斯公式是將第二類曲面積分（也叫對坐標的曲面積分）轉化成三重積分來計算；

換句話說，現在是將這種單獨的曲線、曲面積分轉化成了他們所圍成的某個區域的積分。

難道說，明天敵人會來騷擾高斯前輩？

算了，先讓本將軍在五霸崗吃了這壇酒和羊肉，保持充足的體力，再迎接明天未知的戰鬥吧！

備註：

1 這篇文章的正經的講法在寶刀君之前發的帖子挖洞法？摳點法？閹割法？格林公式究竟怎麼玩？(含奇點的第二類曲線積分，格林公式如何用？) - 知乎專欄）中，由於在準備高斯公式的講法，為了保持連貫性，故這裡又將舊文重新改版，寫成了武俠范兒，純屬娛樂，考研學習中的潤滑劑，希望大家能夠喜歡~

2 這篇文章在微信公眾號上的形式為（內附視頻）：急報！雕兄傳來書信：計算第二型曲線積分的格林公式怎麼破？

****************************************************************************************************

哈嘍，大家好！我是寶刀君，微信公眾號：考研擺渡人寶刀君，ID:BDJ0501，專註考研數學、自動控制原理的輔導，有料、有趣、有深度！

我的知識點講解文章會首發在微信公眾號

在那裡，內容展現形式會更精彩（有音樂、有短視頻）~

在那裡，每天有全國各地的小夥伴們留言和我互動~

在那裡，你可以通過查看歷史消息，系統的學習知識點~

歡迎大家的關注~

如果您覺得我的文章對您理解知識點有幫助，麻煩伸出可愛的指頭順手幫我 點個贊 ，鼓勵我繼續創作，如果您這樣做了，非常感謝~~~

格林公式有兩種形式，同濟版教材中的是旋度形式，更容易理解的形式是散度形式，一塊區域中的散度的積分，就是邊界的的通量。
主要的問題是同濟版的教材在完全不涉及場論的情況下講完了曲面積分和格林公式，光讓你會做題，不讓你理解。

考研狗高數複習到這，試著來回答一下，首先感謝 @苗加加的答案。

然後開始試著扯淡，純屬找物理感覺或者幾何意義，沒有嚴密的推導和公式。

我們先拆一個出來 $int_{}^{} int_{}^{} (partial P/partial y)dxdy$ ，我們假設P是電動勢， $partial P/partial y$ 就是y方向的電場，把D分成一個小塊塊找一下感覺， $int_{}^{} int_{}^{} (partial P/partial y)dxdy$ 就是對於每個小區域y方向電場的積分，也就是上邊界電動勢的積分減掉下邊界的電動勢的積分、、、x方向同理，只不過注意一下方向，碼字太麻煩我發圖片吧、、、

工科生非專業一己之見，如有錯誤請指出

挖墳，感覺幾何意義十分明確，但是一直不能理解數學表達的推導。
雖然有面積分這個概念，但是解的時候還是把dS 化成dxdy，再把上下兩條曲線方程帶入。這就已經明確了曲線和場是對面積分起決定作用的。再複雜的面，也都是用線畫出來的，格林公式以數學形式進行了說明。
也許是個人的問題，總感覺大學課本對其的證明太（巧），不太能接受。個人認為表達一條曲線使用帶k參數方程更有普遍性，嘗試過使用有周期性參數方程表達格林公式，但一直沒有結果。就把見解這個問題下先

把直角坐標系下的 $(P,Q,0)$ 看成一個三維空間中的場，則它的旋度（ $abla imes (P,Q,0)$ ）為 $(0,0,frac{partial Q}{partial x} -frac{partial P}{partial y})$ 。
這個公式的可以理解成：一個連續光滑的平面場繞邊界一周的旋量等於其旋度在邊界內部區域的累積。

幾何意義沒聽說過，但是物理意義是非常有趣的。只需六七個小時，絕對可以初步理解梯度、散度、旋度以及Stokes公式、Gauss公式

材料：

《費恩曼物理學講義》第一卷+第二卷

筆記本

主要內容：

《費恩曼物理學講義》第二卷第一到三章

第一章電磁學

第二章矢量的微分運算

第三章矢量的積分運算

輔助內容：

《費恩曼物理學講義》第一卷第十一章矢量

具體方法：

1.確保具備高中的基本物理知識（這個估計應該沒問題）

2.先讀第二卷第一章電磁學，全部瀏覽但沒必要把每個物理知識點都弄得很懂（畢竟不是專業的），主要是為後面兩章做一個預備

3.讀第一卷第十一章矢量，同樣不需要把所有的物理知識點都弄懂，著重看費恩曼對於矢量這個物理量的解釋

4.讀第二卷第二章和第三章，可以略去其中熱流的微分方程一部分的例子，但其餘部分一定要精讀，確保理解整個過程、涉及到的模型、概念的引入等等

5.邊讀邊記筆記，回頭結合高數課本進行總結歸納，再做做習題思考練習，基本上對於Stokes公式、Gauss公式以及梯度、散度、旋度等有一個較為清晰的認識了。

其他：

1.親測可用，一步步來，讀完感覺身心巨爽，畢竟費恩曼就不多介紹了，最擅長把複雜的東西搞得簡單有趣

2.最好是中英文對照（主要答主的水平看全英文太費事），個人感覺中文翻譯的有些地方比較不舒服，直接讀英文更好理解些

3.上面說到閱讀中可以略去的部分主要是由於本人物理水平只是一般高中生，只是為了輔助更好的理解數學內容，答主要是懂的話當然更好了

4.圖書館應該能借到，要是借不到 https://pan.baidu.com/s/1slRlcc9

個人覺得費恩曼講得非常的妙了，讀完興奮的三點睡不著覺。前兩天剛從這一章中走出來，有不當處還請大佬們指教。

學爽了之後記得回來點攢哦！

搬運工，反正自己也沒怎麼看懂。。。。

如圖，等於Q(x,y)在yoz、xoz平面上的投影面積。

………………………錯誤的分割線…………………………

上面有些不對，只適用於Q是單調函數的情況，事實上大概是帶符號的投影面積。。。也就是重疊的投影可能會相互抵消。。

挖墳寫個人見解，用水流量作為例子。高斯公式可以類似理解。

Stokes Theorem
才是真相

一個定義在閉區域上，性質足夠好的函數，它的邊界性質（在邊界上的積分）與它的內在性質（其導數在區域內部的積分）產生聯繫。相由心生，相由心生，相由心生。就如前面回答者提到stokes公式一樣，Green公式可視為N-L公式的推廣。
另外，想聯繫一下二維調和函數（n維也可以）的平均值性質。調和函數的邊界上的數值大小定下來了，那麼它內部的數值也就定下來了。特別地，當考慮邊界為圓周時候，那麼調和函數在圓心的值就是邊界上取值的平均（用定積分表達無窮個數的平均數）。感覺這和Green公式有異曲同工之妙！學到複變函數就會感受到它們的聯繫了。

我說句題外話，別摺疊我---嚶嚶嚶---
stokes定理的幾何意義我覺得是挺明顯的，高維流形被線性流行截出低維流形，低維上的流形滿足stokes定理，就能歸納出高維的。
最低維的就是牛萊公式。高一維格林公式，stokes公式......
我想說的是我真的震驚於竟然有很多人完全不關注幾何意義，那估計也理解不了什麼證明了，看來高數只有計算。
什麼高數不就是為了計算之類的，我是反對的，形式化沒必要，但基本的原理總得明確吧，否則還不如下個matlab。

幾何意義正如樓上所說，是曲面在xoz平面和yoz平面的投影面積