微分和導數的關係是什麼？兩者的幾何意義有什麼不同？為什麼要定義微分 ?

12-27

微分和導數，我在初學的時候感覺概念雖然不複雜，但是始終有點模糊，比如以下一些問題就覺得模稜兩可：

對於導數的鏈式法則， $frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}frac{du}{dx}$ ，可以理解為 $du$ 可以約去，所以兩者相等。但假如有 $F(x,y)$ ， $frac{dy}{dx} = -frac{partial F/partial x}{partial F/partial y}$ ，通過消去我們是否可以推出 $frac{dy}{dx}=-frac{dy}{dx}$ ？
$int _ a^ b frac{dy}{dx}dximplies int _ a^ b dyimplies y vert _ a^ b$ ，這裡好像實實在在的消去了 $dx$ 。
$d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu+dudv$ ，然後說 $dudv$ 太小了，所以忽略，得到了微分的乘法法則， $d(uv)=udv+vdu$ ，難道 $udv$ 和 $vdu$ 不小！！

我當時腦袋一片混亂，到底 $dx$ 或者說 $du$ 、 $dv$ 是什麼東西？為什麼有的地方可以消去，有的地方不可以？

其實導數和微分的定義在各個歷史時期是不一樣的，要想解答上面的疑問，還得從微積分的發展歷史上去尋找答案。

我嘗試講一下微積分發展的歷史和數學思想，主要針對 $y=f(x)$ 這樣的一元函數。

1 牛頓、萊布尼茲開始的古典微積分

牛頓和萊布尼茲各自獨立發明了微積分，下面我採取萊布尼茲的微積分符號進行說明（要了解各種微積分符號，可以參看 ----維基百科）。

1.1 導數為什麼出現？

導數的出現不是牛頓和萊布尼茲發明的，之前數學家已經在對曲線的切線進行研究了，但是牛頓和萊布尼茲在解決曲面下面積的時候把導數的定義確定下來了。

曲線下的面積在微積分出現之前是一個很複雜的問題，微積分求解的主要思想是把曲線下的面積劃分成了無數個矩形面積之和：

直覺告訴我們，如果 $n$ 越大，則這個近似越準確：

無窮小量就在這裡出現了，無窮小量是建立微積分的基礎，萊布尼茲介紹微積分的論文就叫做《論深度隱藏的幾何學及無窮小與無窮大的分析》。在當時的觀點下，無窮小量到底是什麼也是有爭論的，當時有數學家打比喻：「無窮小量就好比山上的灰塵，去掉和增加都沒有什麼影響」，很顯然有人認為這是真實存在的。

在具體計算曲面下面積，即我們現在所說的定積分的時候，必然會遇到導數的問題，所以很自然的開始了對導數的定義和討論。

1.2 導數的古典定義

在曲線上取兩點，連接起來，就稱為曲線的割線：

割線可以反應曲線的平均變化率，也就是說這一段大概總的趨勢是上升還是下降，上升了多少，但是並不精確。

有了切線之後我們進一步去定義導數：

從這張圖得出導數的定義 $f$ ，而 $dx$ 和 $dy$ 被稱為 $x$ 和 $y$ 的微分，都為無窮小量，所以導數也被萊布尼茲稱為微商（微分之商)。

1.3 無窮小量導致的麻煩

上一節的圖實際上是有矛盾的：

所以就切線的定義而言，微積分的基礎就是不牢固的。

無窮小量的麻煩還遠遠不止這一些， $x^2$ 的導數是這樣計算的：

$egin{align} frac{d}{dx}(x^2) = frac{f(x+dx)-f(x)}{dx} \ = frac{(x+dx)^2-x^2}{dx} \ = frac{x^2+2xdx+dx^2-x^2}{dx} \ = frac{2xdx+dx^2}{dx} \ = 2x+dx \ = 2x end{align}$

仔細看看運算過程， $dx$ 先是在約分中被約掉，然後又在加法中被忽略，就是說，先被當作了非0的量，又被當作了0，這就是大主教貝克萊（就是在高中政治書被嘲笑的唯心主義的代表）所攻擊的像幽靈一樣的數，一會是0一會又不是0。

無窮小量和無窮小量相除為什麼可以得到不一樣的值？難道不應該都是1？

無窮小量還違反了阿基米德公理，這個才是更嚴重的缺陷，康托爾證明過，如果阿基米德公理被違背的話會出大問題。

一邊是看起來沒有錯的微積分，一邊是有嚴重缺陷的無窮小量，這就是第二次數學危機。數學的嚴格性受到了挑戰，「對於數學，嚴格性不是一切，但是沒有了嚴格性就沒有了一切」。

1.4 對於古典微積分的總結

切線：通過無窮小量定義了切線
導數：導數就是切線的斜率
微分：微分是微小的增量，即無窮小量

2 基於極限重建微積分

萊布尼茲、歐拉等都認識到了無窮小量導致的麻煩，一直拚命想要修補，但是這個問題要等到200年後，19世紀極限概念的清晰之後才得到解決。

解決辦法是，完全擯棄無窮小量，基於極限的概念，重新建立了微積分。

2.1 極限

現在都是用 $epsilon -delta$ 語言來描述極限：

可以看到，極限的描述並沒有用到什麼無窮小量。

2.2 導數的極限定義

$egin{align} displaystyle f$
維基百科

用極限重新嚴格定義了導數，已經脫離了微商的概念，此時，導數應該被看成一個整體。

不過我們仍然可以去定義什麼是微分，說到這裡，真是有點劇情反轉，原來是先定義了微分再有的導數，現在卻是先定義了導數再有的微分。

$egin{align} displaystyle lim _{Delta x o 0}frac{Delta y}{Delta x}=f$

$Delta y=f$ 可以得出， $Delta y$ 由兩部分組成，通過圖來觀察一下幾何意義：

$dy=f$ ，這是 $dy$ 的定義。

我們令 $y=ximplies dy=1Delta ximplies dx=Delta x$ ，這個 $dx$ 的定義。

最後我們可以得到 $dy=f$ ：

2.3 對於極限微積分的總結

導數：被定義為一個極限，其意義就是變化率
微分：是一個線性函數，其意義就是變化的具體數值
切線：有了導數之後就可以被確定下來了

3 疑問的解答

微積分實際上被發明了兩次，古典微積分和極限微積分可以說是兩個東西。我們再來比較一下古典微積分和極限微積分。

3.1 古典微積分與極限微積分的對比

古典微積分是先定義微分再定義導數，極限微積分是先定義導數再定義微分。
古典微積分的導數是基於無窮小量定義的，極限微積分的導數是基於極限定義的。
古典微積分的微分是無窮小量，極限微積分的微分是一個線性函數。
古典微積分的定積分是求無窮小矩形面積的和，極限微積分的定積分是求黎曼和。
古典微積分的切線是可以畫出來的，極限微積分的切線是算出來的。
古典微積分的建立過程很直觀，極限微積分的建立過程更抽象。

古典微積分最大的好處就是很直觀，不過也是因為太直觀了，所以我們一直都無法忘記它帶來的印象，也對我們理解極限微積分造成了障礙。也讓我們在實際應用中造成了錯誤的理解。

3.2 疑問的解答

之前的疑惑主要是由於古典微積分帶來的。

$frac{dy}{dx}=frac{dy}{du}frac{du}{dx}$ ，在古典微積分中可以理解為消去，但是在極限微積分中我們應該認識到，這兩個 $du$ 實際上是不同的函數。
$int _ a^ b frac{dy}{dx}dx$ 古典微積分中， $dx$ 確實表明是無窮多個矩形的底邊，消去也是合理的，而極限微積分中， $int _ a^ b dx$ 是求黎曼和，我們可以把 $int _ a^ b$ 當作左括弧， $dx$ 當作右括弧，就好比 $(2+6)=8$ ，計算完畢之後，括弧自然就消失了。
$d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu+dudv$ 在古典微積分中這麼計算沒有錯誤，只是 $dudv$ 的消去也是不嚴謹的，而極限微積分中應該重新用極限的方法進行證明，這裡不再列出。

古典微積分其實已經被摒棄了，我們應該知道這一點，重新從極限的角度去認識微積分。

3.3 古典微積分的用處

我們應該從古典微積分，以直代曲、化整為零的數學思想出發去開始認識微積分。

並且，萊布尼茲一直認為數學符號應該具有啟發性，他設計的微積分符號確實很符合直覺，我們可以繼續借用他的符號來描述微積分。

4 無窮小量的逆襲

有的數學家還是對無窮小量念念不忘，最後真的發明了既可以兼容無窮小量又不會出現問題的實數，超實數。

基於超實數，數學家又重新定義了微積分，這次定義的微積分又很像萊布尼茲時代的微積分。這門學科被稱為非標準分析（對應的，基於我們沒有無窮小量的實數體系的微積分，就是標準分析）。我對於超實數並不了解，大家感興趣可以去學習非標準分析課程。

按照歷史的話，一個是小增量，一個是比值。

按照現代的觀點可以這樣理解：

滿足f(ax+by)=afx+bfy的函數f稱為線性函數。
一元線性函數形如f(x)=a*x.
二元線性函數形如f(x_1,x_2)=a_1*x_1+a_2*x_2.

線性函數比非線性函數簡單。

微積分/分析學就是用簡單的函數去近似複雜的函數來得到結論。

微分，就是函數的局部線性近似，就是一個線性函數，局部看起來很接近原來的函數。

導數，則是這個線性函數的係數。（注意：偏導數不能完全代表導數）

說到底，確定了導數就確定了微分，確定了微分就確定了導數。
所以在現代意義上，可以不刻意區分這兩個概念。

導數一般大家都比較好接受，而微分這東西就有點兒玄乎了。沒學微分流形（或者深一點的微分幾何）之前是沒有清楚的概念把這些完全搞清楚的。
我盡量不嚴格地解釋一下吧，如果你學了多元微積分，你會知道方嚮導數的概念，每個方向都是可以求導的，不是只有偏導數。然後，如果給定一個函數的話，你會發現切向量和方嚮導數是一一對應的，所以求導（方嚮導數），幾何意義其實就是切向量。而微分（準確叫一次微分形式），其實是切空間的對偶空間中的元素，也就是切空間上的線性泛函。微分確實也可以看作是無窮小增量，但是這只是一方面，只有引入微分形式和外微分這樣的代數結構，才能很好地給jacobi行列式，Stokes定理，曲線曲面積分這些東西予以更深刻地解釋。

看了其他答案都寫的挺複雜的，我寫個簡單點兒的。
就說最簡單的一元情況下，導數是一個確定的數值，幾何意義是切線斜率，物理意義是瞬時速度。
而微分是一個函數表達式，用於自變數產生微小變化時計算因變數的近似值。

導數= 微分點乘方向

用幾何語言就是微分是共變向量場（form），導數是scalar（標量）
具體說，微分告訴你曲面（一維函數是曲線，即一維曲面）在不同方向的變化。你給出一個方向，便成了導數。這就是為什麼在二維或更高維度的時候，要知道導數不僅要知道點的位置，還要知道求導方向，才能得到導數。而微分，只要知道點的位置。

導數和微分都是從微觀上研究函數，描述物質運動的工具。導數是描述函數變化的快慢，微分是描述函數變化的程度。導數實質是函數增量與自變數增量之比的極限，幾何意義是切線的斜率。微分的幾何意義是切線縱坐標的增量。因此微分可以用來做近似運算和誤差估計。另外，導數也叫做微商。

以下是極不友善的內容.

對m維n元實值函數上某一點的一階導數和微分, 其意義如下,
導數: 是一個m×n實值矩陣;
微分: 是一個從m維空間H1到n維空間H2的線性映射.
顯然, 導數是微分在一組正交基下的矩陣.
顯然, 由二者定義完全無法直接看出高階導數和高階微分的聯繫.

至於微分的作用, 我在本科一向是選擇無視的.

我才不管你看沒看懂, 照做就是了, 不然就放棄數學吧.

簡單地說，微分(dx)是變數，它的特殊之處在於它表示的是極限變數，導數是微分變數的除法

1.微分和導數不同在於，微分是線性變換，導數是刻畫變化率的數或者數組(梯度)。

2.映射在一點處的微分就是一個線性變換，在該點局部近似於該映射。
計算導數，則需要選擇一個方向(就是一個向量)，方嚮導數刻畫了映射在這個方向上的變化率。

3.微分和導數之間的關係就是，微分給出了線性變換，選擇一組基展開這個線性變換得到的矩陣，其元素是映射在該點的一些方嚮導數。
但是在一元函數的情況，方向就只有一種，微分給出的線性變換就是過原點的直線，斜率就是導數。
所以在一元函數的情況微分和導數難以區分。

4.微分的幾何意義就是傳統的切線的推廣：回顧定義，一個高維映射在一點的微分是一個線性變換。
線性變換的圖像總是一個超平面(直線，平面的高維類似物，定義是線性變換的零點集)。
如果觀察映射的圖像和微分給出的超平面，就會發現這個超平面相差一個平移就可以與該映射圖像局部相切於一點。
比如一元函數的情況，以導數A為係數的線性函數Ax的圖像，也相差一個平移相切於該函數的圖像。

5.用系統的語言說就是，光滑映射的圖像是光滑流形，而微分給出的超平面加上一個平移就是流形一點處的切空間，導數在這時對應的是切空間里的向量，也叫切向量。
這就是微分和導數的一種幾何意義吧。

數學複習第一遍的理解是，可導即可微。
導數是曲線在呢個點的切線斜率，而微分是呢個切線的一元線性方程。
微分的幾何意義是用局部切線段近似代替曲線段，即非線性函數局部線性化（詳細看一元微分學）。
微分和導數簡單來看是一樣的，深挖卻又是不一樣的，畢竟還涉及到高階無窮小的解釋，所以微分得單獨定義。
這是高等數學微積分書本上最基本的的，等複習第二輪把微積分框架重新建立可能到時候會有更好的理解吧

來說說我的理解？可能會有些偏頗
1、可以認為導數是通過函數圖像的切線引入的，導數刻畫了函數在點的變化速度
2、微分的概念是通過引入一個線性映射來做到的，我們說，微分是函數增量的線性主要部分，提供了函數在鄰域內的最佳線性近似
兩者在實際意義上差別不大，但是導數的引入一般需要依賴於坐標系，而微分概念是作為線性映射引入的，考察可微函數的增量在所考察鄰域的性態，與坐標系無關。

在沒有給出導數定義之前，導數就是微商，就是因變數的微分和自變數微分的商，不過這種說法有問題，因為只要有一個微小的增量，那麼那條直線永遠只能是割線。

可以理解為微分是一個微小的變化量，而導數就是兩個微小變化量的比值

f"=dy/dx
f"是導數
dy是微分
dx也是微分

有本質區別，而且二階以上沒有微分形式不變性

微分是方法論的名字。
導數是這種方法論中定義的一種數的名字。
而求導是算出導數的演算法的名字。

導數就是一個從向量空間到R^1的一個map（標量場）
對應的微分是該點切空間到其像點切空間的一個光滑映射，是一個矢量場。
從更深的角度來說，微分是一個切叢到另一個切叢的光滑映射。

說說我個人的理解吧本來也是來搜更為準確的答案，對於一元函數來說微分與導數步驟與演算法都是一致的一個是求斜率一個是求微商，但對於多元函數來說導數即是關於某個未知量的偏導，微分則具有整體性 dz/dx 還有一點可導的不一定可微，即可導是可微的必要非充分條件。

如有不同觀點，提出共同改進。

微分是一個函數，是一個變數。
導數值是一個常數，是一個常量。

將開區間內的導數值集合起來，就成了導函數。
我們平時所說的一元導函數的定義中實際上有兩個變數。

考慮多元函數f在x可微（可全微分），這一屬性，是說f在x可以找到一個線性函數逼近。
顯然，如果的確可微，那麼這個線性函數只有一個。
那麼這個唯一的線性函數就叫做（全）微分（函數）
全微分函數在分量上的係數叫做（偏）導數，是（全）微分（函數）屬性的刻畫。
如果你實在喜歡一維上那些莫名其妙的「幾何意義」就想想這種定義窄化到一維情況後多了什麼特殊性質。

我的概念問題。微分和導數的幾何意義不同，在圖上可以清晰的認識到。關係是y『=dy/dx。