為什麼幾何意義十分明顯的數學定理要複雜地去證明？
最值定理，有界定理，介值定理等等這些畫一張圖就可以直觀、簡潔地看出來的結論，用高深的數學理論去嚴格證明，是不是有種對簡單平易之美的褻瀆和不信任呢？雖然「看出來的」好像和科學的嚴謹格格不入，但這樣的的確確不會被推翻、不能找出反例、不會再有猜測成分的東西，幹嘛非要刻板地去讓這種簡潔的美感變得不徹底呢？
嚴謹很重要的，僅憑直觀可能會導致錯誤。比如，
處處連續處處不可導的實值函數，畫圖好像不存在這樣的函數(因為這樣的函數是一種無法用筆畫出任何一部分的函數，因為每一點的導數都不存在，畫的人無法知道每一點該朝哪個方向畫)，但這樣的函數是存在的，比如魏爾斯特拉斯函數。在魏爾斯特拉斯函數未被發現之前，人們會直覺上認為連續的函數必然是近乎可導的，即使不可導，所謂不可導的點也必然只佔整體的一小部分，處處連續處處不可導的函數是不存在的，可是反例是存在的。
因為你畫個圖，看圖說話什麼的，根本談不上是幾何直觀， 這些東西只是「實驗數據」。如果說這個函數有間斷的話，那麼介值定理就不成立。 更重要的， 如果實數軸上有個洞的話， 介值定理也不成立。 真正的幾何直覺是能看到支持實驗數據的最本質的東西。 所以我們需要「連續函數」的概念來描述函數沒有跳躍，更重要的是， 要發現實數最重要的性質「完備性」來描述實數沒有洞這個事實。而如果你清晰的描述了這兩件事的話， 那麼證明幾乎是平凡的。 而 連續性 和 實數的完備性 才是經過錘鍊的真正的幾何直觀， 才能幫助你去去理解更抽象更複雜的東西。
所以我想說數學證明的意義， 不完全在於甚至大部分不在於所謂嚴格。 更重要的是從初級的直觀中發現更本質的直觀。正是因為有這些更本質的直觀為基礎我們才能觀察更抽象的空間。如果你只是保持畫畫圖那種， 基本上你的直觀就限於一元實函數了。 就永遠沒法去理解現代數學中高度抽象的概念，以及在這些概念上面建立直觀。不止一個學生問過我這個問題以及類似的問題，我的回答總是——
考慮狄利克雷(Dirichlet)函數……
然後世界就安靜了～
所以「是不是有種對簡單平易之美的褻瀆和不信任呢」？
答案是——是的，因為這種所謂的美既不簡單，也不平易，更不能信任。至於「褻瀆」……我完全沒覺得，但這說法讓我聞到了一股濃濃的中世紀宗教專制時期那「上帝」的味道。。。
它全部的意義在於直觀（肉眼可見），然而直觀的只是一小部分，不直觀的才是大多數……
而無論如何，數學家是不會永遠對不直觀的事情袖手旁觀的——
為了人類心智的榮耀！1.因為你不知道你所謂的直觀是否有漏洞；
比如一組對邊等長，一組對角等大的四邊形是不是平行四邊形。
2.因為我們也許需要推廣。
比如最值定理，有界定理，介值定理在區間上都成立。
可以進一步證明，在緊空間上的實值連續函數，最值定理和有界定理仍然成立。
在連通空間上的實值連續函數，介值定理成立。
這幾個定理依賴的條件是緊性和連通性，凡是具備了相應性質的，可以期望具有相應結論。
鈍角其實等於直角嗎？矛盾在哪裡？
現代數學做的是純理性不是直覺。當你發現能有種方式能簡單地在理性和直覺建立聯繫，你應該驚嘆這種理性能被直接感知而不是返回去質疑它。
我忘記是誰說的，但有句話我一直深信，送給你。
「欣賞美不需要訓練，但是沒有經過訓練肯定不知道怎樣創造美。」
數學不是物理學、化學、生命科學。
數學不是實證科學。
數學與科學不同。狹義的科學主要包括物理學、化學、天文學、生物學等自然科學。科學的研究對象是真實世界，討論的一般都是具象的實體的性質。如果一套科學理論與真實世界不吻合，即使是這套理論本身是自洽的，那麼它也是錯的。從這個意義上講，通過實驗獲取確切的知識對科學來說是不可或缺的。如果將來發現某些實驗現象不能用現有理論解釋，則現有理論就要進行修正或推翻。
數學是人類構造的純粹抽象的產物。定義和邏輯是構成數學體系的兩大基石。數學家通常並不關心數學的概念與推導與現實世界有何聯繫。數學上的結論也未必能夠在真實世界中找到原型。不過隨著科技與社會的發展，一些原先被認為沒有實際意義的結果也會變得有意義。譬如物理學中「反物質」與二次方程負根的關係、數論與計算機圖形學的關係等等。
數學的定義與研究對象通常具有抽象性和一般性，一種數學概念可能包含無限多種不同的情形。例如有無數個自然數，有無數個質數，有無數種不同形狀的三角形。對一種數學概念所包含的一部分具體對象進行驗證所得到的認識，一定適合其他情況嗎？這是藉助有限的實例回答不了的問題。因此，一般地，數學命題的正確性不能通過不完全歸納加以論證，而需要具有一般性和抽象性的方法，其中包括證明。
數學證明的實質是從一系列定義、公理、定理出發，通過演繹推理得出結論。
儘管實證科學最終由實驗來檢驗，但數學作為一種手段，在所有領域都是可以使用的。最近讀書的時候又想到了樓主的問題，如果你想表達的是討厭ε語言，那麼確實情有可原。
我也討厭ε語言,很多人都討厭，詳情參見第三代的微積分
原答案：
我的理解是這樣的，想要明白這個問題，先要思考一下，人的「幾何直觀」是怎麼培養起來的。首先，矩形的面積是底乘以高，因為矩形的四個角固定，只能平移底和高，所以底和高決定面積的結果很直觀。但是三角形的面積公式就不那麼直觀了，圓的就更不行了……記得小時候我相當不服三角形的面積公式，因為他就是「幾何直觀」出來的。其實嚴格的三角形面積公式就是要依靠微積分推導出來，圓的就更是了。
其實，肉眼上的幾何直觀，就是對數學定理的一種承認。最早的幾何直觀源於實踐，後來數學家想知道結合直觀為什麼是對，數學家將代數和幾何建立意義對應的關係，然後用最基礎的幾何直觀(實踐結果)，來推導出肉眼所看到的各種幾何直觀，這說明了代數是有效的，然後就可以依靠代數再往更深入的放下走，去探索那些人類肉眼看不到的世界了……
舉個不恰當的例子，你看到的三角形、圓形和梯形，就想一種語言的例句或者單詞，你在學習的時候，先背下這些例句和單詞，據此追溯語法和構詞法，在可以根據語法和構詞法自己去理解句子和單詞了。數學也差不多，只不過數學規律基於邏輯，所以比其他基於統計的規律要準確。
最後，其實，總有一些直觀是無法證明的，只是實踐結果。比如為什麼微積分能求出曲線下的面積呢？因為底(數軸X)是確定的，兩條垂線是確定的，只要我了解最上面一條曲線的信息，自然能夠得到面積信息。也就是說，如果圍城一個圖形的邊的信息足夠多，我就必然能夠得到面積的信息，但是，這又是為什麼呢？沒人知道。
直觀是最原始的狀態，當費馬看到
主要是堅固。直觀的或者幾何的東東不一定可靠，細微的差別都會讓經過多少次推論以後變得不可辨認。理論是要給用的，如果不夠堅固可能會出問題。
另外，理論發展過程中會越來越抽象，直觀的東西只能表達簡單的東西，在研究更加抽象的層次時，直觀的解釋無法深入，意味著數學理論發展受限記得當時第一堂數學分析課上教授就強調畫圖不能作為證明。我很贊同這種說法。數學是人創造的體系，是以定義和公理構築的大廈。如果不服從規則，你做出的結果就不是這個演繹體系下的結果。說白了，在數學中我們不認為畫圖是一種合理的方法，因此用幾何直觀驗證的命題不認為是正確的命題。
現在問題歸結為為什麼幾何直觀被排除在正確的證明方法之外。樓主提出的問題都可以歸結為連續性的問題。為什麼連續性要定義得如此抽象呢？因為除了幾何圖形，還有許多其他的連續量，如時間、流體。。。為了研究形形色色的這類問題，我們才引入了分析學(包括微積分)。分析學的核心問題是提供一個連續量的計算體系。在上述分析問題中，我們的研究對象是連續函數，這是對連續量之間關係的高度抽象。幾何直觀只是這個問題的特例，從邏輯上講，特例正確當然不能證明一般情況正確。
另外，這些結論的證明其實並不複雜。只要有了嚴謹的習慣，你會發現其中的魅力的。
一開始數學家是這樣想的，後來發現了有矛盾，不得不用更複雜的方法去證明，但最後發現，總不能完美解決，因為無限本來就是不存在的。
因為從在你的觀測條件下出現的現象，不一定在其他情況下也會出現. 比如說，在二維平面上兩條不相交的直線一定會平行. 但是放在三維空間里，這就不會成立.
如果單純畫圖像給別人看那就像魔術一樣，發生一些不可能的事情但是背後卻是的工作確實符合規律的。
或許是證有與證無的關係。幾何圖形畢竟不能被窮盡畫出，怎麼著都是特例，因此用幾何圖形否定一個命題是可以的，但想得到一個嚴格的數學定律還是要用更為一般或原始的方式。
唯像的經驗離科學性還較遠，他的適用度和可信度還較差，很簡單的問題，你畫個圖說明，但是很多情況圖是畫不出來的，即使畫出來了，你又怎麼能科學而準確地定位出你所看到的最高點呢？你的唯像觀察經驗又如何能夠普適的去應用到其他領域呢？所以你談到的方法都只是經驗，從表面而來，而數學嚴謹的推導證明是從機理而來，是從根源上的確定，更具有科學性和普適性。
這就是數學抽象性的優越之處啊，越抽象越遠離原型，然而越能精確地反映原型的本質。
有些定理你可以畫一張圖用幾何的方法看，但你默認在歐式空間畫這張圖了，其他空間呢？其他參照系呢？你還能直觀簡潔地看出來嗎？
為什麼說數學是上帝的宇宙的永恆的語言？就是他是這個宇宙最純粹的真理，從宇宙誕生之始就確定了。不以空間參照系維度的變化而變化。什麼？你說他變了？那隻能說人類只是還沒把數學理論統一到更高的程度。
另外有句話，越簡單的東西就越複雜。
首先，可以直觀，簡潔得「看」出來的定理，證明一定也很簡單；否則，或許你還沒有理解「連續」或其他概念的定義~
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