本科偏微分方程學習中如何規避大量的計算？

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目前正在修大三的偏微分方程（數學物理方程），剛學完波動方程，印象最深的就是大量的分部積分運算。其中老師在陳述正弦函數的積分正交性時，用了微分方程的技巧，在看柯朗的數理方法書的時候也看到了這個內容，不清楚課程中還有沒有類似的雕蟲技呢？

問題:偏微分方程如何避免大量計算，尤其是分部積分？

回答:偏微分方程無法避免大量計算，尤其是分部積分。

原因:偏微分方程的證明一般都是靠計算與不等式估計來驗證你的idea，涉及到導數的轉移(比如把▽從一個不方便求導的函數頭上撥到另一個方便求導的很好的函數頭上)分部積分顯然是不能缺少的工具(這大概是分部積分最重要的作用吧)。如果牽涉到震蕩積分之類的估計那就更是各種花式摳相函數的臨界點、花式分部積分。

關於計算量：

PDE有些命題的思路大概就幾句話，然而為了check這幾句話的正確性你往往會陷入繁瑣而又無聊的計算中。

比如evans第六章第三節的到邊H^2正則性的證明，說得好聽點就是「計算▽U差商的L^2範數，第n分量的導數用邊界拉直單獨算一下」這麼一句話，可是那個定理證明至少有三頁吧雖然都是些簡單而又無聊的計算與驗證，裡面輔助函數的選取我覺得應該是經過若干次試驗試出來的。像有些「構造輔助函數，Δu≥0然後極大值原理」的方法裡面那個構造輔助函數天知道是湊了多少次才湊出來。。。

又比如第七章Galerkin逼近想法也就一句話「構造有限維逼近解序列，找到自反空間X使得該序列在X中一致有界，然後Alaoglu定理表明這玩意有子列存在弱極限，然後你希望這個弱極限就是要找的解，最後去驗證解的唯一性」，雖然一點點泛函分析就給出了證明的主導思想，可是你還是得靠直接的計算去驗證你的每一句話都是對的。

至於解具體的PDE…大概方法就那麼些吧，都已經是解方程了那難道除了具體計算還有什麼方法嗎…直接看出解？那怕是神仙託夢吧。

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又想起來大三PDE期末考試某個忍著肚子痛算了快半個小時過程連自己都看不懂的題。大概就是evans8.6節例題5吧，書上寫了結果沒寫過程。大概是波方程經過某個共形變換之後求一個守恆律，其方法無非就是照著8.6節那個諾特定理算一遍反正是不難了，最後結果還長得人畜無害 $partial_tc- ext{div} vec{r}=0$ ，考前以為自己能算出來就只記了結論，考試的時候就為自己想逃避計算而感到後悔。

某天我仔細算了一遍，

然而過程卻是。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。（後來才知道那玩意就是Morawetz恆等式。。。）有人說你沒必要把過程全寫出來，恩的確你在考試卷子上肯定寫不了這麼多，可問題是你自己在草稿紙上不還得一步一步算么？

總之PDE逃不脫大量的計算，雖然計算裡面也有各種花式技巧能避免一些很頭疼的計算，可是整體計算量還是很大的。所以要在具體的計算中積累各種技巧與常見估計，久而久之你就會覺得「啊這玩意就得長成這樣」、「這不等式指標就得滿足這個等式而不能是另一個」，對這種看上去令人反胃的計算不會有太多畏懼感。

每次我碰到大量計算的時候，都會想起某九宮格的這句話

所以認命吧→_→

謝邀。

這題目看起來感覺就像是：「高中物理力學題如何避免受力分析」「列方程如何避免使用未知數」。。計算就是PDE學習中的基本功啊，不計算你還玩什麼呢？列了方程不處理，瞪大眼睛找規律么？

而且本科的數理方程計算量也根本不大啊，不就是波動方程、熱方程、調和方程這幾類二階常係數線性方程么？Sobolev空間都沒有呢（科大的本科PDE據說會講），什麼Holder估計、梯度估計都還沒影呢。這計算量都還沒起步呢，還不如大一的解析幾何計算量大呢。。多用了幾次分部積分就覺得不適應，感覺倒像是數分基礎不紮實的特徵。。

謝邀：這種計算

還有這種計算

就是偏微分方程的日常。學偏微分方程（數學物理）你不算個幾百次是學不好的。不是簡單的「有思路」就行，你計算能力不過關，有思路也都等於沒有。

沒有基礎能力，你會發現自己可以看懂「答案」的每一步，但是合上答案，你就是算不出來。

明白了吧，計算能力是剛需。

好消息是這東西你熟悉熟悉就不會頭暈，你也能算得很流利，甚至到了一定境界後，你可以「心算」（也就是不手算也能猜對大致的結果），可以統攬全局。多算幾次後，你對「偏微分方程」的感覺會變靈敏。這種類似語感的「玄學」我不好多說，不過確實是只有算過的人才能體會和提升的。

壞消息是這東西你得拿出自己的時間和精力慢慢磨練，走不了什麼捷徑。你也別不服，有些人就是可以比你算得快算得好。

等你有了基礎的計算能力，不怕計算了，你再考慮更加技巧的東西吧，不要本末倒置了。

再說了，一個問題有可以「計算」的思路就算很幸福了，還要啥自行車。有些問題壓根沒法算。

觀點再高，也要菜刀。這個菜刀就是計算能力。

兩手都要抓，兩手都要硬。如果不行，請先把基礎打好。

學那麼多微積分的計算，不就是為了到微分方程的時候能夠酣暢淋漓的計算么，畢竟實際問題需要微分方程來解。

現在有計算機可以任性的做數值解，要是讓歐拉那個年代的數學家聽見這話，都得氣死。

數學系的學生，即便教材裡面計算題少，也要比工科更重視計算。

@張辰LMY 寫過一本《我的數學分析積木》，裡面有一章，叫做「硬算是門基本功」，推薦閱讀。

我的數學分析積木（修訂版）---學習數學的經驗和感悟.pdf_微盤下載

我是學工科的，並且計算能力不咋樣，很吃虧的。

學點物理，認識到自己作為數學系學生的幸福。

無法避免。

學這個還想迴避計算，別開玩笑?_?

除非不學

生在福中要知福

偏微分方程能用積分算出個解析解來已經是萬幸了，不就多費點草稿紙嘛

不服的話，題主可以求解一下描述流體運動基本規律的納維-斯托克斯方程，求解一下湍流

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