如何不依靠計算器和數學用表，手動給非平方數開根號？

12-27

題主開學高三，在做高考物理題的時候出現了自己算的答案帶根號，但標準答案是開過根號，而且根號下是非平方數這樣的情況（2017年全國2卷物理第34題，【選修3-4】）
所以想請教一下，在碰到根號下是非平方數這樣的情況時，如何算出大概的開根號值？
有什麼辦法可以手開根號呢？

一般用這種看起來很像長除法的技巧。

舉例來說，現在我要給15241.5788這個數，手算開方。

那麼，第一步：

以小數點為界，從中間向兩邊，每兩位畫一條分割線。每個區塊將對應方根的一位數（http://abc.de）。

第二步：

取最左區塊，令a為滿足「a的平方≤區塊值」的最大值。比如區塊值是5，那麼a就是2（2*2=4≤5）；區塊值是16，那麼a就是4（4*4=16≤16）。這裡區塊值是1，那麼a就是1，而且沒有餘數，直接把下一個區塊（52）落下來，準備求b了。

第三步：

敲黑板，劃重點！手算開方里有一個很關鍵的套路公式：

M=x*(20*W+x)≤N。

其中x是待求的方根一位數，W是已經解出的部分方根數值，N是落下來的數，20是個常數。

其實第二步就是這個公式在W=0的情況下直接算x平方的特例罷了。

現在對應著看，W是最上面那個1，N是52，x就是我們要算的未知數b：

b*(20*1+b)≤52。

同上，還是要滿足條件的b的最大值。易得b=2（2*(20*1+2)=44≤52，取3就大了）。

這步出現餘數了：讓52減去這個M（44），和下一個區塊落到一起。

第四步：

重複以上步驟即可。注意除了常數每個都是變數，

W=12，N=841，即c*(20*12+c)≤841。

解得c=3，M=729。

W=123，N=11257，即d*(20*123+d)≤11257。

解得d=4，M=9856。

W=1234，N=140188，即e*(20*1234+e)≤140188。

解得e=5。

綜上，我們得到一個數123.45，這就是咱手動所得的方根。

計算器驗證得，15241.5788開方=123.4567892017...

受被開方數位數所限，如果需要更高精度，就得補零繼續。

想學開三次方根嘛？只要改動兩處就好了：

一，每三位數畫一條分割線；

二，套路公式改成：

（看來上面那個常數20是和要開幾次方根有關的數，應該是來自 (10a+b)^2 = 100a+(20a+b)*b 這個關係式，感謝評論區！）

我以23.3的三次方12649.337驗證一下給大家看看：

W=0，N=12，即 a^3 ≤12。

解得a=2，M=8。

W=2，N=4649，

解得a=3，M=4167。

W=23，N=482337，

解得a=3，M=482337。

完(zhen1)美(lei4)！

註：這不是任何公式生成器，是我拿PS的文字功能湊合出來的，各種沒對齊請不要在意~

emmm首先吐槽一下我這裡物理沒有寫最後答案只扣兩分而且選科不算總分所以我算不出來就不寫了
用除法代替開方啊是不是很棒棒

談祥柏《樂在其中的數學》
就這樣（

筆算方法很多，不過高考題的話，如果不是特殊數字，保留根號也不該算錯，最多扣2分。

你筆算根號的時間夠你給另一道題列公式的。

什麼？你是追求滿分的？那你還搜索不到筆算開方的方法？以前初中課本都有。

高三的話除了他們的辦法，還有一個，記住根號2=1.414，根號3=1.732，基本上用這兩個就可以湊出很多待開方的數
或者靠經驗推斷出所在區間，二分法試值

又是日經題...search都不會還怎麼research...

答第一遍是好的,答第二遍還可以忍受...答第十遍....Gunia...

考場上你再不會二分不行嗎...

公式?公式有毛用??

$M=x*(20*W+x)≤N$

20什麼鬼...怎麼來的你知道嗎...

要求 $y=sqrt{x}$ ,那麼令 $y=10 a+b$ ,代入可得 $x=100a^2+20ab+b^2$

看見100沒,看見20沒...

所以兩位數一分,然後用20算一下...

利用泰勒展開可以簡單計算，高數知識不用太去糾結，知道怎麼用就行、

自行在網上搜索一下「豎式開方」，想開到第幾位就開到第幾位。

牛頓迭代法

一般求平方根的方法有7種：
1.試演算法
2.二分法
3.牛頓法
4.微分法
5.二項式法
6.連分數法
7.佩爾方程法
針對題目而言，選擇微分法，二項式法，連分數法比較好。

靠直覺，一般試三四次就推算出來了，題目也不會太為難你，而且你不估算，直接寫戴根號的結果也不會算錯，相信我，另外，高三加油(? ??_??)?

方法可能不是最好的，但是一定是最快的
可以保證你在兩步之內算出小數點後四位
預期用時，3到10分鐘，看你算的量大小，有沒有小數

計算式如下:

Sn→根號a // a是所要開根號的數

Sn+1=1/2(Sn+a/Sn)

//先選一個大致的 s1，例如要求5的根號，就選取
s1在2-3之間，例如2.5

求s2，s3，一般求到s3就可以用了

數分方法

正經的方法是牛頓迭代
實際上你自己試幾次，每次縮小範圍就差不多啦。

原來物競老師講過，是高一開學前幾節課的時候他講的，當時還在講運動學而且學校課里也沒學多少，就碰到了有人提出這個問題，他說是

我忘了＼（〇_ｏ）／

1,牛頓迭代法。
若要開√k,先取一個近似值a1,估計誤差Δa1
再用an=a（n-1）/2+k/（2an），Δan≤（Δa（n-1））2/2（an-1）。迭代即可其中an為第n個近似值，Δan=|an-√k|.以開根號2為例。
首先因為12&<2&<22，所以取a1=1為近似值,Δa1&<1.則Δa2&<12/2=1/2,a2=1/2+1=1.5.
Δa3&<1/22/3=1/12,a3=0.75+0.66=1.41（考慮1/12≈0.1,取兩位即可）
可以優化一下誤差:注意到1.3&Δa4&<（0.02）2/2=2×10∧（-4）（分母用2替代了方便計算，因為2a3&>2所以可行。）a4=0.705+0.7092=1.4142（算到小數點後第3位時再次優化對Δa3的估計（因為小數點後第3位是準確的），從而得到Δa4&<8×10∧（-6）&<10∧（-5））.
Δa5&<（10∧（-5））2=10∧（-10）（為了方便分母直接省去，因為2a4≥1所以可行）
則a5=0.7071+0.7071135623=1.41421356229
綜上我們得到答案1.41421356229，誤差小於10∧（-10）。
a6應該精確到小數點後20位，有毅力的可算一算，會有很大的成就感。

利用極限是那個無理數的遞推數列可以大概計算。不過計算量可能略大

高考還有開立方的題呢。洗洗睡吧，這做下一題唄。

先背下來幾個簡單的開方數，比如說根2根3根5之類的，然後用這幾個推其他的高中時老師是這麼建議的hhh

2017高考考生

其實這道題直接寫根號是給分的。。。。至少在陝西是這樣

長除法技巧大家都很熟悉了，未免無趣

這裡給一種新的方法應用連分數定理，更好理解，在一些情況下運算也比長除法少很多

這是原理

這是題主給的數值的例子

整個計算過程只用了一次三位數加法一次三位數減法和一次三位數除法

回答里很多神奇的演算法。不過好像學起來都比較複雜，大都加減乘除都有了。

如果算數很好的人有個更簡單暴力的方法按位二分法。比如根號10，9＜10＜16，所以根號10＝3.x。然後計算3.5平方，大了，再算3.3平方，還大，再算3.2平方，還大，再算3.1平方，小了了，那麼根號10＝3.1x，重複以上過程求x，可以得到任何精度。原則就是按位逼近，每位數字用二分法定數字。

優點是無腦，只要做兩件事，平方和比較，（加/乘要比減/除快很多）缺點，位數越多越慢。不過筆算開方肯定不需要很多位，一般夠用。我覺得這個在少於4位有效數字的情況下占點優勢。