你有哪些在考試或競賽中現場推導一條新定理，使用其答題並回答正確的例子？

12-27

只要是你自己之前不知道的定理就算，不一定要是全新的

高一的時候參加高中數學聯賽，這是二試最後一題。
（寫回答的時候腦抽了，應該是取小數部分不是取整）

當時我定義了一種東西叫「密集性」：｛an｝在[0，1］內密集當且僅當｛an｝與其任意開區間之交不為空集。

然後再用an發散，秒了這個五十分的題。

在當時那個年代，一百八十分就初步具有有保送TOP2的條件了。（對於高三學生來講。）

後來才知道，這個基本上就是是數學分析裡面的「稠密性」，只不過是把開集改成了開構成區間，還有隻在一維有限區間考慮了。

所以結果上，在高一的時候用此題背景秒了此題，得意了好久。(=?ω?=)

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類似的事兒還干過兩件。

分別在高中和本科時期僅用初等方法證明了：

1、平面內有限步尺規作圖能確定的點只依靠平面內任一給定圓和直線依舊能在有限步內確定。

2、sinx的泰勒展開式。

雖然吃力不討好，而且極耗時間，但是做出來就是爽。

上大學之後，寫作業和考試的時候基本上都在做這些事情。。

很多都是回過頭才發現，卧槽，這個問題的結論居然是有名字的。。

高二的時候，有一道極其難纏的數列求和題，標準答案給的方法需要好幾步錯位相消，裂項，經過大量的計算才能得出結果
而習慣劍走偏鋒的我在思考再三之後靈光一閃，把兩種方法結合起來，一步到位的解決了這個問題
之後我又意識到，這個新方法可以解決一大類用課本方法很難算的求和型數列題，可以看做是強化版的錯位相消
當然，告別了中二期的我立刻認識到，雖然對我來說是個新方法，但一定有人已經發現過了
於是不久我就知道了它的名字，就是阿貝爾求和公式的離散形式

不過等到老師講題的時候，我依然可以開始自己的表演(*￣︶￣)

念宇宙初中的時候，一次測驗，解決了一個微小的問題：走直角三角形的兩直角邊比直接走斜邊多走多少？有沒有直觀的感覺？（後一個問是我加的）

我推導出了這個多走的距離其直觀解釋：直角三角形內切圓的直徑。

寫成數學公式 a+b-c=d

這個問題還可以改成高中版本：如果直角邊a比另一條直角邊b大了不少，那麼此時大約多走出多遠？答案是b - b^2/(2a)

高中和大學之間版本的距離差估計可以見下圖的IMO試題，這個估計思路的複雜在於這是構造性的。

兩天沒看400+贊了，受寵若驚…

評論區很多覺得答主很厲害還問初中的…你們是想不到一個初中生是能有多閑…

吶…還是感謝大家
（話說為什麼我被隔壁物競的認出來了…）
--------8.8更新--------睡一覺起來這麼多贊，大家都是在修仙么233

--------一條可愛的分割線--------
小學的時候，發明了一種極其方便的解題方法，應用題無所不通，自詡為「韓某解題法」。

後來上了初fn中老師告訴我那叫函數。

初中由於班級特殊，卷子全是老師自己出，數學奇難無比，當時剛講完柯西不等式，期中附加題就是柯西的三維變形，我現場推導出來柯西不等式的n維形式，自詡為「韓某第一定理」。

然後老師告訴我你這就是卡爾松不等式吶。

從此我就對數學學習失去了興趣…

上了高中，我成為了一隻化競狗。

有機機理一個都不會寫，自創了一套「韓某機理書寫法」，以標記原子和成斷鍵為核心。

直到我發現了《書寫有機反應機理的藝術》

總覺得我晚生了那麼幾十年…

就是一個數學題2≤（1+1/n）的n次方＜3
n≥1
高中學二項式定理時的題，就是展開放縮什麼的。
然後我取了對數n

然後我內心十分震驚，t是分母啊，怎麼可能為零，而且分母很小時這個數不就很大嗎？
然後我將t＝△x代了進去，得到了這

(lnx)"＝1/x
這不就是1嘛
然後我就證出了
2≤（1+1/n）的n次方＜e

我一直用這個方法解高中的函數
當0取到極限時就用△x代替
後來我發現這就是洛必達0比0型啊
如果我再把它普及一下我就發現了這個法則啊
可惜當時用它解函數題沒想這麼多

關於(lnx)"＝1/x還有一個小故事

當時高中裡面不有一堆公式的求導公式嗎？
我試著推導
基本都推出來了
只剩下可惡的兩個公式
一個就是這個
另一個是它的兄弟（e^x）"＝e^x
沒一點頭緒
我甚至發現了它倆的關係，只要一個成立我都能證出來另一個，然後我冥思苦想，還是一個都證不出來。
然後我發現了這個神奇的e
e這麼神奇它是怎麼來的呢
會不會就是一個使函數求導後還是原函數的特殊值
一查是最上面那個式子n取無窮大得到的那個值定義為e，然後才有了(lnx)"＝1/x

嘿，真有趣。

剛剛教高中數學的時候經常會有李氏第x定理。
後來就不說了，因為這些東西連推論的推論都算不上。
去他媽的，二級定理！
最煩學生拿起一個二級定理就用，那些不明白原理，不知道為什麼的，都打????????????????

以下是增加的內容
我為什麼痛恨二級結論啊，那是我高考丟了20分。
2005年浙江高考理綜生物，設計實驗判斷牛有角和沒角基因是顯性還是隱性的
嗯，尼瑪，我是知道結論公牛有角是顯性，母牛有角是隱性啊，而且是常染色體遺傳的。
你看，這回我設計的實驗是不是超過答案範圍了啊！！！！尼瑪啊！！！20分一分沒給哇！！！

安培力的衝量：

$mv-mv_0=BLQ$

高2做模擬考試，大概就是那種導體棒在磁場中運動的題。記不得是已知電荷求速度，還是已知速度求電荷了，當時比較迷茫，因為之前電磁感應的題目中，和電荷有關的公式，只學了一個：

$DeltaPhi=RQ$

當時題目中並沒有電阻啊，而且也沒有說導體棒跑了多遠，這個東西完全用不上。

於是先放棄此題，等做完了，再想，但沒想通。

好吧，我也不要這分數了，但我就想知道這題答案是多少，怎麼辦。

超綱，直接解微分方程！

結果一算， $Q=frac{mv_0}{BL}$ ，咦， $BLQ=mv_0$ 是這麼回事啊，電流累積就是電荷，力累積就是衝量啊，結果這題就告破了，而且那一堆微分方程結果並沒有任何卵用。

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看到高票答案有提到數列的，我也說個數列的事吧，不是考試的時候臨時想的，是高一自學《高等數學》最後一章常微分方程時想到的，不過後來考試居然用上了，意外驚喜。

一階線性非齊次方程不是有個解法叫常數變異法嗎（當然高階也有，不過複雜一點）。當時也正好發現常係數線性微分方程和常係數線性遞推方程的解法驚人的相似：

1.都是先列出一個一元n次的代數特徵方程；

2.通解都是指數形式（指數函數、等比數列）的和，特解滿足疊加原理；

3.微分方程的解里，特徵方程的根在指數上做係數；遞推方程里，直接做底數；

4.特徵方程有n重根，指數形式前的常數變成(n-1)次多項式。

於是就想那麼變係數方程解法的常數變異法可不可以解變係數的遞推方程呢？還真可以：

設 $a_{n+1}=f(n)a_n+g(n)$ ，先去掉g(n)，解齊次方程 $a_{n+1}=f(n)a_n$ ，易得：

$a_n=f(n-1)...f(1)a_1=a_1prod_{k=1}^{n-1}f(k)=Cprod_{k=1}^{n-1}f(k)$

現在把常數變成數列：

$a_n=C_nprod^{n-1}_{k=1}f(k)$

帶入原方程得：

$C_{n+1}=C_n+frac{g(n)}{prod^{n}_{k=1}f(k)}$

容易解出：

$C_n=a_1+sum^{n-1}_{k=1}frac{g(k)}{prod^k_{i=1}f(i)}$

$a_n=a_1prod^{n-1}_{k=1}f(k)+sum^{n-1}_{k=1}frac{g(k)}{prod^{n-1}_{i=k+1}f(i)}$

最後就連非齊次方程的通解等於齊次方程的通解加非齊次方程的一個特解這一點都是一樣的！

又要提到我的抽代考試了（微笑）

因為那年期末考試很簡單，我很快做完了試卷（真的很簡單，大家都提前做完了），開始在草稿紙上算一些亂七八糟的東西。

$e^{frac{2pi i}{2}} =e^{pi i}=-1$

$e^{frac{2pi i}{3}}+(e^{frac{2pi i}{3}})^{2}=e^{frac{2pi i}{3}}+e^{frac{4pi i}{3}} =-1$

$e^{frac{2pi i}{4}}+(e^{frac{2pi i}{4}})^{3}=e^{frac{2pi i}{4}}+e^{frac{6pi i}{4}} =e^{frac{pi i}{2}}+e^{frac{3pi i}{2}}=0$

$e^{frac{2pi i}{5}}+(e^{frac{2pi i}{5}})^{2}+(e^{frac{2pi i}{5}})^{3}+(e^{frac{2pi i}{5}})^{4}=e^{frac{2pi i}{5}}+e^{frac{4pi i}{5}} +e^{frac{6pi i}{5}}+e^{frac{8pi i}{5}}=-1$

$e^{frac{2pi i}{6}}+(e^{frac{2pi i}{6}})^{5}=e^{frac{2pi i}{6}}+e^{frac{10pi i}{6}} =e^{frac{pi i}{3}}+e^{frac{5pi i}{3}}=1$

看著那麼複雜的等式左邊，再看看那麼簡潔的等式右邊。我知道自己一定發現了新大陸！

後來考完試在計算機上窮舉了100個式子，發現自己猜的沒有錯——

$sum_{q=1,(q,n)=1}^{n}xi_{n}^{q}=mu(n)$

其中 $xi_n=e^{frac{2pi}{n}}=cosfrac{2pi}{n}+icdot sinfrac{2pi}{n}$ ， $mu(n)$ 是 $Mobius$ 函數， $(q,n)=1$ 的意思是 $q$ 與 $n$ 互素。

這個 $Mobius$ 函數是什麼呢？

$ullet$ 首先， $mu(1)=1$

$ullet$ 當 $n$ 存在平方因子時， $mu(n)=0$

$ullet$ 當 $n$ 是素數或奇數個不同素數之積時， $mu(n)=-1$

$ullet$ 當 $n$ 是偶數個不同素數之積時， $mu(n)=1$

考完試翻了一下抽代書，並沒有發現這個結論，網上搜了一下也搜不到，據說某保送生考試題里出現過類似的，不知道真假23333。

話說這個結論我在另一個回答里提到過，但這確實是考試的時候推出來的……算是搬運過來了。

破破：數學中有哪些巧合讓人眼前一亮？

當時我就覺得很厲害。

現在我依然覺得很厲害。

上學期期末考試有道題需要知道sin^5x在0到π/2上的定積分。於是我開始試圖現推華里士(Wallis)公式
也就是下面這個。。。。。。

後來。。。。就沒有後來了。。。。這個公式還是直接記住比較好。。。。

考數學時全部寫完後還剩很多時間，就開始神遊了。於是電光火石間想到勾股數的排布很有規律！！！
3 4 5
5 12 13
7 24 25
……
於是十分激動地推導出了勾股數的規律:
2n+1 2n^2+2n 2n^2+2n+1
後來上網一查，已經有結論了......
（新人知乎首答?）

自己推導一個定理、證明一個結論，應該是學習物理人的基本功。所以在學習物理過程中自己獨立推出很多新結論是很正常的現象啦

初中學光學的時候，推出了1/f=1/u+1/v這個公式，而且還嘗試自己做了組合透鏡的實驗（後來高中學競賽發現這不就是光具組嘛！）。初一已經自學了微積分，而且也了解到了費馬原理，所以很直接的就推出了光折射的公式

初二初三的時候，對數學物理的興趣極其濃厚，天天思考一些問題，還專門用本子記錄下來...

那時候思考得出比較有意思的結論有：
1.發現壓強x體積具有能量的量綱，然後建立了能量密度的概念，並且推出流體壓強和1/2密度x速度平方有關，並且建立王氏定理解釋為何速度大的地方壓強小（只和伯努力公式差了一個高度頭）
2.研究自行車的避震裝置，然後總結出了可以通過假設做功來求懸掛處的受力（虛功原理）
3.猜出了多普勒效應的公式

再講講高中競賽時候的例子吧：
高中時候，對於數學物理學習更加系統了，發散的思考也少了，雖然一份競賽卷做到後面經常接近滿分；都是都是在題目框架里發揮，找出比較有意思的解法，真正有「新發現」的感覺很少...
有一次印象很深刻，暑假在浙大物理實驗室做實驗，在示波器上玩李薩如圖形，然後總結出了頻率比和李薩如圖形的一套規律
還有就是自己找出了計算包絡線的方法

再就...越往後感覺越難找到那種天馬行空的感覺了

我來說一個不是考試的時候乾的。記得不知道是小學三年級還是什麼時候，我在學習如何用圓珠筆在硬紙板上畫展開圖，最後剪出來摺疊黏貼成變形金剛。難點在於要把機關埋好，以便於能夠真的實現變形合體。說到學習，其實也只是我瞎琢磨，琢磨著琢磨著就知道怎麼畫了，也沒人教。

那個時候要做的形狀不是很複雜，但是需要計算長方體對角線的長度。由於年輕的時候看競賽的書，首先學習了勾股定理的二維的版本，我經過簡單的計算，發現三維的版本的形式也是一樣的。然後我就直接用計算器算出來，在紙板上畫好，剪完一拼，發現果然剛好一樣長（逃

後來我發現這個簡單的事實竟然到高中上立體幾何才在課本里被指出，還有同學沒有馬上搞懂。

其實很多很多的基礎數學稍加思考，都可以想像出另一個世界。比如勾股定理，比如三角函數，或者是擲硬幣這種簡單模型都可以構造一些有意義的定理。

比如阿貝爾變換等式，隨手畫大小依次遞減，相接的幾個矩形，橫豎一分就能看出來。

我昨天晚上寫了很多，又感覺跑題了，因此刪掉了。

但是現在，我向讀者提一個小問題好嗎？這個問題初中生都能想出來，但是需要稍微動一點腦筋：

橢圓曲線y^2=x^3+ax+d的整數解是有限的。但是其有理數解是無限的。

進一步的，我們可以用有限個有理解的和式推導出橢圓曲線上的所有有理解。當時我證明它的時候，我也不知道什麼莫代爾定理。

（是不是裝的太過了........）

————————————————原答案的分割線————————————————

我沒有經歷過幾次考試，因此也沒有在考試中推導出什麼新定理。

但是，十三歲的時候，思考了一個小問題

就是一個人沿著一條直線走，每次走的距離固定，N步以後回到原點的概率是多少，進一步思考，來到M點的概率是多少。

後來我發現，這個概率是個階乘，但是很明顯的在奇數步的時候回到原點的概率是零。當時我沒太明白為什麼階乘解還能解出0解。想把這個階乘展開一下，以我當時的能力很顯然的失敗了。

我還想擴展到二維和三維情形，可是失敗了，解出了一些很奇怪的東西。

直到去年，我才知道那是傅立葉方程的一維形式解。。。。

同時做個小變換可以做出高斯分布的一維形式。

還有我解一個函數題時，獨立推導出了琴生不等式。。。。

當時可把我牛逼壞了。我以為就自己知道這個關於函數的普適定律呢。

很多技術性的東西，特別是一些比較初等的數學，比如二項式定理，因式分解，平面幾何的各種定理，甚至稍微低級一點的分析，萊布尼茲積分法，插值定理這些東西說實話，很容易被人發現，只要問題一提出，要解決就容易了。

但是像群論，集合，測度這些東西，我個人覺得發現這些東西的難度遠勝於那些初等數學最為花哨的技巧，這是一種思維方式，此即為重劍無鋒，大巧不工。

謝邀。

這裡講一個很簡單、很常用的定理（其實是不等式）。

在某次高中數學考試的時候需要證明一個不等式，然後現場推了這樣一個不等式：

如果 $x$ 是大於 $-1$ 的實數， $n$ 是正整數，那麼 $(1+x)^ngeq 1+nx$ .

在考場中簡單用歸納法證了一下：

當 $n=1$ 的時候，不等式成立。

假設對於所有 $x>-1,$ $kinmathbb{N}$ , $(1+x)^kgeq 1+k x$ ，

那麼 $1+xgeq 0, kx^2geq 0$ ，

$(1+x)^{k+1}=(1+x)^k(1+x)geq(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx^2geq 1+(1+k)x$ .

後來，上了大一學習實數分析的時候，才知道，這個小定理原來叫做伯努利不等式（ Bernoulli"s Inequality), 是Jacob Bernoulli於1689年在他的論文「Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis」中發表的。

但 Joseph E. Hofmann 在 über die Exercitatio Geometrica des M. A. Ricci 提出其實這個不等式是由Sluse 在1668年第一次提出。

下面講一下這個定理的推廣

如果 $x>-1$ ，那麼

若 ${displaystyle rleq 0}$ 或 ${displaystyle rgeq 1}$ ， ${displaystyle (1+x)^{r}geq 1+rx}$ ；

若 ${displaystyle 0leq rleq 1}$ ， ${displaystyle (1+x)^{r}leq 1+rx}$ 。

推廣的證明用 Rolle"s Theorem (羅爾定理)。

如果對我其他關於數學方面的回答感興趣的話，請關註：

如何評價清華附中校長王殿軍叫停女兒奧數？

有哪些學術性強的笑話/段子？

你最喜歡的數學定理是什麼？

在競賽中，我們叫它引理，比較難的題目經常是引理一二三這樣寫下來

經評論提醒我可能寫的是「*氏定理」不然可能會被認成作弊...

高二開學跑去物理競賽浪一把
現場推了個柯尼希定理
當時作為引理寫在前面
後面引用的時候不要臉寫了個「***定理」
然後...

可能是可憐我，給了我個省二

現在高三，就記得小學五年級還是四年級那時數學還沒超出我智力範圍，有一次做卷子最後一題，臨場發揮通分了一下_(:з」∠)_
兩個星期後才學。

我是08年高考的全國一卷

當年高考的答案截圖來了，來自百度文庫，閱讀理解題目是最後20題56-75

英語交卷的最後幾分鐘我還是不確定兩個閱讀理解的答案，兩篇文章我都有一個答案不確定

然而，一剎那間我注意到另外三篇文章的答案都是ABCD的亂序，不重不少

所以我立即總結出一條臨時定理：閱讀理解每篇文章答案都能構成集合{A,B,C,D}

我對其他的答案非常確定，於是這倆不確定的也根據這個定理得到了唯一解，最後一分鐘塗卡改了答案

高考完對答案果然如此，而這倆閱讀理解也是拯救我高考的救命稻草，因為我當年分數只比北大線高了4分，沒改的話就意味著落榜了

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怎麼還有說我編故事的啊，那多說點

我當年英語並不好，我們省高考英語聽力不算分，是其他的120分乘以1.25算總分，所以這倆閱讀理解題目實際上代表的是5分。而我改對倆選項也才132的英語，那時候好點的學生英語都是140起的，我只是一偏科學生勉強進去的

至於說不考上北大就落榜，因為當年我們省還是估分報志願，也沒有平行志願。第一批志願只能摸黑填一個學校，你還看不到成績也不知道別人的成績。第一批志願落榜你只有倆選擇，要麼滾去復讀要麼去上二本，這和落榜有沒有任何區別？聽說這些年都是出分了才報志願一批還能同時報多個平行志願，大概都不懂被估分支配的恐懼了

答主就是一普通(無任何情感色彩)北大學生，普通是說沒有任何競賽加分沒有自主招生加分純裸分還省排名靠後進去的。也是因為大家見太多了渾身光環的清北學生，我等拉低母校水平的普通學生就顯得不合格了，涉及這種需要報上母校名字的題目只好匿名了

問我為啥匿名的看看評論後面就是了，我都寫這麼具體了還是各種質疑，質疑我省報志願的方式質疑我偏科怎麼能進北大質疑能考北大的英語怎麼還要用這種小手段。我已經承認自己菜拉低母校平均水平了啊，所以都主動匿名了。而且我雖然英語爛可數學好啊，當時的情況是無論高考數學出什麼我都能保證不低於145，無論什麼。又不是xx狀元，偏一門課並不致命

哈哈，知乎小白第一次收到這麼多贊，多謝各位的贊啦

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再補充點好笑的，當時處于欣喜狀態的我還在糾結這個新常數應該以"方周率"這樣簡單明了的方式命名，還是以發現者名字命名，例如祖沖之有個"祖率"，我再把這個數精確到後面幾位小數是不是該有個"傑率"哈哈哈哈……too young,too naive！

以下是原回答

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寫個比較蠢萌的，小學四年級看課外書看到了圓周長的計算公式，並且了解到了π的定義，起源和發展歷史，後來有次在做題時遇到了正方形對角線長度問題，當時就想起了π的定義，我突然想既然有圓周率，是不是也有方周率呢？趕緊拿上尺子量周長與對角線只比，果不其然，無論哪個正方形周長和對角線比例都是2.8，這個老師上課都沒講過的，可把我高興壞了，尋思著這個常數是不是我第一個發現的呢，直到了我後來又看到了勾股定理……