學數學越學越灰心怎麼辦？
本人男。坐標時而國外，時而廣東。高三狗，具體學校不透露了。從小對數學非常感興趣，數感也還不錯，導致我從小對數論和數學分析特別感興趣。大大小小競賽也參加，奧數選拔冬令營的複賽因為簽證的原因實在沒趕上，但我覺得還是有1/3把握能進。
裝完小逼...講正事。高一以前，沒怎麼接觸高等數學，每次完全獨立地摸索出一個數學上的小定理，就很有成就感，對自己也有很大的激勵。知乎上的數學大神應該也有類似的感覺。但高中後，噩夢就來了，對我來說，高等數學初步還是很好理解的，學起來沒什麼問題，可是成就感就逐漸被新的知識打壓沒了。舉個例子，著名的牛頓萊布尼茨定律，我第一次看到它的時候，被它的「不可直觀理解」深深打擊了；三重積分脫離了幾何意義的過程讓我五體投地。總的來說，就是覺得這些法則、定理雖然可理解，但不直觀（或者說太驚訝於「卧槽，首先想出這方法的人怎麼做到的？」），再也沒有那種「我也能當個小數學家的成就感」。
高等數學對於知乎大神可能是小菜一碟，可數學家對高等數學的探索過程讓我細思恐極。目前在啃傅立葉變換，其內容在理解上不成問題，但以前的鑽研勁頭已被數學家的神級智商碾壓得消失殆盡，有種學到了，但自己在數學方面不可能有新突破的感覺。怎麼辦，我應該換方向嗎。
我個人認為是時候多讀一讀數學文化和數學史方面的書和文章了，比如Kodaira、Bott、Chern等人的傳記、一些數學發展史等等。或許你還得和專家們聊一聊，看看Tao和Mumford的博客，補充一些數學文化上的東西。
很多人可能不喜歡一些這種「虛」的東西，但事實上這樣的內容對於一個在數學上陷入迷茫的人來說是很重要的。例如題主試圖自己在沒有讀過的情況下推出所有經典數學，這當然是不可能的--即使是他們的發現者，也花費了難以估量的時間去得到這些。我記得我第一次讀Gromov的Filling Riemannian Manifold一文時，驚為天人，想著世界上哪有這樣的天才；但後來才知道他思考這篇文章里的數學至少思考過10年。題主你覺得沮喪，無非是你自己或許都不知道前人是如何做出這樣的工作呀。
另一方面，我個人覺得題主還展現了高中生學數學的一個弊端，就是缺少交流。比如Newton-Leibniz公式事實上是相當幾何的，但題主表示自己完全無法感受到它的幾何意義。如果題主是在大學，上老師的office hour一問即知；但高中生自學的過程中沒有這個條件。建議多利用互聯網和其他方面的資源，多與人交流。哪怕看幾個公開課，也是擴充了自己的理解。
最後，你現在離真正的研究還很遠，不宜妄自菲薄，更不要把現在自己學習的狀態當然研究的狀態。在一個好的數學系經受過幾年的訓練，可能會給你一點點感覺。當然當下或許就只能讀讀一些過來人的文章了，試圖去感知一下數學家們都在做什麼。
少上點知乎吧！有時候這幫人老是給我一種他們活不過30歲於是時不我待的錯覺。
大物理學家witten大四還在學歷史呢
學的快不如學的精，你學的再快，也恐怕沒法像陶一樣20幾拿個菲爾茲獎吧。
現在好像判斷一個人水平的方式，並不在於他是否真正理解了多少，而是在於學的有多快。
對於普通的本科生而言，再慢也慢不過witten吧，再快也快不過陶吧。細思恐極的是大部分人當不了witten，也當不了陶。
微分方程老師原話：「如果不學就能明白，豈不就是天才了？」
數學的學習是一個螺旋上升的過程，總要從最簡單最基礎的學起來，直接啃高等的內容效率很低。勸題主千萬不要好高騖遠，從基礎內容慢慢來，總會爬上去的。
題主想從頭到尾自己推出基礎數學，沒有必要這樣想，站在巨人的肩膀上能看的更遠。而且個人感覺題主讀到一些美妙的證明的時候自卑為啥自己想不到-_- 那聽李斯特你會覺得自己為啥寫不出那樣的曲子么，對吧，享受理解的過程，記下來自己覺得驚為天人的證明思路，以後能用到的。
現在的數學體系是人類幾千年的努力結果，裡面不乏高斯，黎曼，龐家萊，伯努利一家，拉馬努楊等等等等等等跟題主一樣具有數學天分的人。感覺智商被碾壓是因為題主讀的書太少，被碾壓多了也就習慣了。
我之前寫過一個閱讀計劃，現在看也還可以，貼在這供參考https://www.zhihu.com/question/31119545/answer/50731726?現代數學基本來說都是高度抽象的，拿出一本「幾何」書，找不到一張圖片，也是完全可能的。智商碾壓好像也沒什麼辦法，你就算是IMO金牌，也不可能跟全人類有史以來的智力精英較勁，什麼歐拉，高斯，在我看都跟神一樣。努力做一些自己感興趣又力所能及的事情是最現實的辦法。大多數職業數學家也不是靠智商碾壓混飯吃的，更多依靠的是持久的努力。都說天賦很重要，我越來越覺得其實持之以恆的耐心也是一種真正的天賦。
這裡講我一個學生，一個差點擦肩而過的學生。我中途接一個初二班，第一天來帶領學生搞衛生，一個很愣的學生搞完衛生之後問我高等數學的問題，我了個擦！初二啊！我那個興奮啊！講了一個多鐘頭，直到他媽媽來接他。後來才知道，這個鬼已經轉學了，因為以前這個班太差了。他媽媽了解了我們剛才這激動的一個小時後很後悔，不過木已成舟。後來，這個學生常年來找我搞這些不務正業的事，我們啃到了常微分方程，一個定理或者一個例題就是一上午。很開心。我還給他講論語，介紹易經，講歷史。
不過這樣開心的日子已經很久沒有了，因為他初三了啊！初三下期他媽媽擔心他的中考，沒讓他再來找我，這讓我頗為寂寞。再過二十幾天就要中考了，我自己的班也要中考了。
樓主聽我一句，不要因為一時的沒有成就感而放棄。因為你太年輕了，高三啊，不要妄圖把每一條定理都自我推出來證出來，一直學下去就行了。千萬千萬對自己不要要求太高，你說到fourier transform，其實這個很有意思，ft的幾何意義你搞懂沒？或者，ft在日常生活中有什麼用？(沒有ft咱們網都上不去手機也用不了，當然這只是ft應用的一個方面)，這些都是值得探究的。你看數分里的ft當然無聊了，各種求係數，也不知道幹嘛的。學完ft，還能學學lt, fft等等等好玩的東西。總之，第一，對自己要求不要太高，最怕葉公好龍，喜歡的是成就感虛榮感而不是真喜歡數學。第二，一定要學會在數學中尋找樂趣和實際應用。第三，堅持，很多數學家在大學學實變函數泛函分析時候也不是第一次就搞懂的，不要對自己要求過高。祝你好運。
你說自己的問題是慢慢遇到了一些不能夠直觀理解的數學概念，但是這是數學學習過程中十分正常的。
首先，一些比較初等的數學都是很直觀的，因為很多概念你可以從直覺上去理解，一旦在腦海中畫出大概長什麼樣了，就一下子明白了。舉個例子，在學習多元微積分和線性代數的時候，你會學到interior,closure,boundary這些概念，然後我給你一個集合S，讓你求他的interior,closure,boundary。如果這個集合是R^1 or R^2 or R^3的子集，那麼你可以畫出圖像，然後大概畫一下它的interior,closure,boundary，再"感覺"一下,答案一下就出來了。
但是如果S屬於R^n 呢？(n&>3,n為自然數)。你就畫不出來了啊。因為三維以上你就不能visualize 了啊，這個時候你跟我談直觀，直覺？你根本就不知道三維以上的東西是什麼樣子。
這就好比說，我給你看一張狗的照片，你會知道這是一隻狗是因為你見過這個動物並且你學過的知識讓你知道了這種東西叫做狗，最主要的是你接受了這個事實。如果我再拿一個未知物體的照片給你看，你不知道這是什麼，因為你沒見過而且你學過的知識也沒告訴你這是啥，然後我告訴你這跟我們一樣都是人類並且提供了一份嚴謹的證明，你肯定會覺得反直覺且無法理解，你會覺得這個東西跟我們長得完全不一樣怎麼可能是人類？
你只是無法接受這個事實，因為這和你的認知不符。你要做的就是接受這個事實，你以後還會遇到很多奇怪的數學概念一遍又一遍刷新你的認知，這時候你只能相信邏輯，用邏輯推導出答案。數學裡很多東西都是不能visualize 的，這就是它為什麼抽象，你只能用邏輯說服你自己，說服別人，並且接受這個事實。不要因為你想像不出來大概的picture就覺得自己不行了，沒有人知道十一維的物體長什麼樣呀。
數學探索可以依靠直覺，但不能依賴直觀。
數學正是因為脫離了直觀，才真正具備了邏輯性。
建議題主耐住性子多啃啃，總有一天你會突然理解「直觀根本無所謂」的意義的。
你的天賦比我以及這裡的很多答主都要好，我覺得你唯一需要磨練的就是讀書的定力，不要因為一時吃不透知識而灰心喪氣，有什麼不懂，多找大學裡各種前輩問問。
雖然現代數學的成功很大程度上來自形式化的理論基礎，但是我個人不愛強調現代數學多麼嚴謹抽象，因為你做得多了就知道有時候可能導致你做法不嚴謹的坑大概就那麼幾種，跳過去就可以繼續用直觀來做，這樣頂多遇到一些小gap，不會讓證明直接崩潰，這個過程其實類似於寫代碼而不是哲學思考，你不需要絕對的嚴格。所謂你現在看來嚴謹無比反直觀的理論其實在做數學的人眼裡是非常非常直觀的，有時候基本上就得朝這個路子思考（不過說NL公式反直觀真的有點過分了，物理意義多麼清晰的一個公式...）。
當然現代數學的直觀和別的學科的直觀完全不是一回事，有時候可能會造成很多困擾。比如說你得接受這樣的事實，有時候你得把開集想像成一個三維球，有時候你又不得不考慮它是一個形狀詭異的東西然後跳過這些坑，比如說你在構建測度論的時候一般都得這樣考慮一下集合的邊界問題，不過最後很大程度上是在做直觀的事。很多基礎課老師喜歡強調你每一步都得寫清楚是因為新生對各種坑的感知實在是不夠，但是真的做問題的時候都是在一個大框架下面填必要的細節的。不過你也可以不管球不球直接從泛函的角度來構建測度，這又是另一種直觀，基於你最終要用測度做積分的事實，而這仍然不是什麼做個夢夢到蛇咬尾巴而頓悟出來的天才奇想。
等你真的選定了一個方向去做的時候，經常會有一拍腦子，這個想法好的驚喜，然後一查，媽的，居然早就好多人做過了。但這不代表你沒事可做，對數學、科學、等等的推動，是可遇不可求的，是站在許多前人的肩膀上的，很多時候也就往前推動那麼一點點。做不了數學家，做個數學家的墊腳石也不錯。年輕人別灰心，別輕言放棄，帶著夢想往前走，說不定會有柳暗花明的那天。
剛開始也想回答本人也覺得自己是能1/3進的，後來仔細讀讀發現題主在指聯賽。。。
別太矯情，承認這本書難，換一本就是了數分實際上基本全部都是有數學直觀的
每一個學科都博大精深，每一個階段有該階段適合學的內容，你一個中學生就妄圖學明白高等數學，這純屬於不自量力。
以你的描述，你已經是中學階段數學的佼佼者了。到大學數學，才真正從基礎定義出發重新構建數學每個分支的理論體系。正常來說，你到這個階段很可能仍是同級里的佼佼者。
學習是一個過程，你現在去看大學其他專業課程里的知識，也是一樣的結果，可能更是天書一般。所以，完全不必灰心，只是你想法進誤區了。
既然邀請我了，不回答也不好，回答了作為一個高中數學老師，根本不理解高等數學的深邃。
----------以上自謙完畢-----------
x000年前，人類目前的知識總量已經達到不是一個人可以完全掌握的地步。
於是有了分科，產生了數學、文學、哲學…………。
x00年前，人類在某一個學科的知識總量已經達到不是一個人可以掌握的地步
於是有了二級學科，產生了代數學、代數幾何學、計算數學、泛函分析…………（你讓一個生物專業的數學老師舉出那麼多二級學科已經非常不容易了，不過我是百度的哈哈哈哈哈哈哈哈）
X0年前，人類在某一學科的二級學科知識總量已經達到不是一個人可以掌握的地步
於是產生了各種各樣的研究方向，比如（實在編不下去了）。
綜上所述：現在沒有人可以對「數學」很專業，現在的「數學家」不可能對數學的任何一個二級學科分類都很精通。所以，碰到一個大神的產品不要灰心，你產生的東西也有可能被別人認為是大神的產品。
題主現在才幾歲，操什麼心。歷史上這個年紀就在數學上有所突破的兩個手數的過來。除了頂尖的數學家之外，大部分數學家這個年紀就是在乖乖地上高中上大學。
你現在才高中，未來有無限可能，大學大可以選數學系，就算4年本科下來，你發現純數不是你的菜，data science cs 金融數學 統計，大把行業給你選擇。我的泛函分析教授博士畢業後都被人勸說過改研究方向。你著什麼急。希爾伯特:五遍！起碼五遍！
為什麼我覺得大學數學的技巧性比高中弱很多，很多內容簡單到隨便手推，真正天才的證明少之又少……
我高中過得挺開心快樂的，簡簡單單地讀書、踢球。現在知乎的高中生都怎麼了，急功近利，好高騖遠。
哇這個問題非常扎心了
本人數學渣，渣到徹底
渣打中國的高中已經讀不下去了被迫跑了的那種
@舉個栗子
我覺得小姐姐一定可以的，畢竟小姐姐對數學是有愛的，不像我。
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