數學中的充分條件、必要條件如何理解？

12-27

以下說法都來自網路搜索：

說法1：
由A可以推出B，由B不可以推出A~~則A是B的充分不必要條件
由A不可以推出B，由B可以推出A~~則A是B的必要不充分條件

說法2：
充分條件：如果A成立，能推出B成立
必要條件：如果A不成立，則B一定不成立

哪種說法是數學中準確的說法？
我覺得說法2更符合語文邏輯，好像說法2更對，但說法1也是大量存在的，請幫幫忙吧各位大俠。

要說都對，那說不過去。
比如「偶數」和「整數」，用兩種說法可以得出一個結論。
但是「大於1」和「大於2」，用第一種說法就好像有問題。

謝邀。

「A推出B」＝"如果A成立，那麼B成立"＝「A是B的充分條件」＝「B是A的必要條件」；

「如果A不成立，那麼B不成立」＝（逆否命題）「如果B成立，那麼A成立」＝「A是B的必要條件」＝「B是A的充分條件」。

「充分」的含義是，一個命題A的成立足夠保證另一個命題B的成立——如果我們知道A成立，那麼我們可以「充分」認為B成立。必要條件的意思是，要使得某個命題B成立，我們必須要有A成立（因為A是B的推論，A的不成立將會否定B，所以把A稱為B的必要條件）。

我覺得這種基礎邏輯的東西，不僅僅在數學裡面要講，在語文裡面也要作為必修內容，要出題考察。這已經不僅僅是做數學題的問題了，如果一個人連充分必要這樣的因果邏輯關係都搞不清楚，那他們何以通過語言來準確表達自己的意思？準確表達也是語文教育的一項基本但是重要的功能，在邏輯關係不清楚之前不要談什麼修辭，談什麼文采。學數學的人，最不能容忍的就是邏輯混亂，因為邏輯的一致性，是我們所做的所有工作的基石。

我到現在都記得高中的時候有一個數學很好的女孩子，但她不論如何也搞不清楚充分條件和必要條件。
我當時聽別人說起的時候，很是詫異。因為這兩個名詞，我小學的時候開始接觸，剛看到名詞的時候，甚至不需要看定義便已經知曉其意思，還一直認為書上花個兩三頁去講是浪費。當時我的想法是，充分條件，就是充分條件嘛，還要怎麼解釋？必要條件，就是必要條件嘛，還有比這更通俗的命名嗎？
然後我親自上陣，花了很多時間試圖講清楚，畢竟她好歹是班上數學單科前幾名，講清的難度想必沒那麼誇張。但是，事實證明，我錯了。今天，我又懷著無比忐忑的心情，再次試圖向其他人講清楚這兩個概念，還請題主查閱。
但我沒太大長進，這次只能擴張成四個字。
充分就是理由充分，必要就是必須要有。
已知我聽過周杰倫所有的歌曲，那我聽沒聽過周杰倫的《菊花台》？
你會說那肯定聽過啊，為什麼？因為「我聽過周杰倫所有的歌曲」能充分說明，我聽過周杰倫的《菊花台》。
而反過來，我聽過周杰倫所有的歌曲，是我聽《菊花台》的必要條件嗎？換句話說，我必須要聽完周杰倫的所有歌曲，才能說明我聽了《菊花台》？顯然沒這個必要。
這就是充分不必要的意思。
同樣的，我聽了《菊花台》，並不意味著我聽了周杰倫的所有歌曲。你一定會說這個理由不充分。
但這個條件顯然是必要的，因為我必須要聽了《菊花台》，才可能實現「聽完周杰倫的所有歌曲」。
這就是所謂的必要不充分。
但必要性我們往往不能直接看出來，我們的一般都要這麼思考去判別必要性——
如果不A，還有可能得到B嗎？
如果必須要A，才有可能得到B，我們就說A是B的必要條件。
但必須要A才可能得到B，不意味著僅僅有A就充分了。
有個通俗的說法是只要……就……
和只有……才……的區別。
順便吐槽一句，我覺得很多的學習過程之所以這麼難，主要是我們的語文教育出了問題。

反正我就記住兩字：充要

充=&>要

再加個逆反律就全搞定了。充分條件可理解為要求更高，必要條件可理解為要求更低，所以前者是後者的子集，所以逆反律成立。

不要啰嗦那麼多，看著就亂了。

必要條件：無之則不可。

A不成立，B就不成立，對於B而言，無A不可，所以A是B的必要條件。

充分條件：有之則可。

A成立，B就成立，對於B而言，有A即可，所以A是B的充分條件。

至於充分不必要，那就是充分條件，但不是必要條件。

但是「大於1」和「大於2」，用第一種說法就好像有問題。

沒看出來有什麼問題。x大於1是x大於2的必要條件，但不充分。

如果說還有什麼需要補充強調的，那就是，數學上的條件和結論，是僅僅考慮兩個命題之間的真值的制約關係，不一定要有現實生活中的某種時間順序。

假設張三很窮，只有李四願意給他借錢。

那麼，李四借錢給張三，就是張三有錢的必要條件。

反之，張三有錢，就是李四給他借錢的充分條件。

注意，在日常生活中，李四借錢給張三，時間上發生在張三有錢之前，所以日常生活中都是李四借錢給張三，就是張三有錢的必要條件。

但是在數學上，只考慮真值的制約關係，不考慮時間，所以張三有錢，就是李四給他借錢的充分條件。這也是合理的。

我們高中語文老師這麼解釋的
充分條件:有之必然，無之不必不然
必要條件:有之不必然，無之必不然

很多同學對充分必要的應用不清楚，相信看完我的回答，一定會對你大有幫助。

1、理解充分必要看似簡單，實則需要一些時間。相信眾位在最開始學習充分必要條件的時候都覺得似乎很簡單，而實際拿到題目做的時候則是

看似充分必要的問題連小學生都會，但是一旦轉換到了數學上就是被水淹沒，不知所措。那麼我們應該如何學習充分必要條件呢？

2、記得我曾經學習充分必要條件的時候，我們老師給我們說：你們學習充分必要不要去糾結語文含義。其實不然。【如果你學習充分必要不回歸現實，那你學到的只是一個空殼子】（手機知乎不會加粗）這是最困難的、也是最重要的一步。我在下面將舉些例子。

3、所以應該怎麼做呢？首先，剛開始學習的時候會很痛苦，最好的方法就是在生活中看到一個問題（我是在哲學命題中思考），就思考是什麼條件。

例：飲食（不考慮極端情況）是肚子飽的什麼條件？

答：必要不必要條件，肚子飽了一定飲食。飲食了不一定肚子飽。

4、在這些思考之後，你會大概理解到了語文層次的關係，然後最關鍵的就是回歸數學，讓我們先從集合開始。

例：集合A｛x為奇數｝，集合B｛x為整數，A、B關係如何？

答：法一：A是B的真子集，故A為B的充分不必要條件。
法二【法二是強化理解的重點！對具體問題，回歸定義，強化理解。】：x如果是奇數，那麼一定是整數。所以x是奇數一定能推出x是整數。所以A為B的充分條件。（不必要可以同理推之）

【誤區診斷】很多同學把「屬於」這個搞忘了，但是「屬於」這個概念是充分必要理解中極其重要的一環。

5、由上個例子推廣，我們可以說：若x屬於小集合，那麼x一定屬於大集合，則x屬於小集合是x屬於大集合的充分條件，所以小集合是大集合的充分條件（誰子集，誰充分）【注意：最容易產生誤區的地方來了，我在最後一步省略了屬於二字，所以這個結論僅僅集合可用】

【誤區例題】例1：判斷：我有三塊錢是我有五塊錢的充分條件

答案：錯！！！！這是我們同學最最最最容易犯的錯誤：【濫用「小推大」】。因為這不是集合，所以這裡是必要條件。所以說很多老師說不要思考充分必要在語文中的含義，因為這些很容易搞混淆，就懶得講了，我也是被我們老師著實的坑了一把。

例2：判斷：我有一塊小蛋糕，所以我有一塊大蛋糕

答案：錯誤，理由同上。其實你可以去拿這個忽悠集合學得差的同學，讓他們對集合自暴自棄（手動滑稽）

6、逆否命題。
用集合的維恩圖證明逆否命題就舒服得多了。

用數學秒殺哲學命題。暫時寫到這裡吧，有時間再補充點吧。如果認為有幫助的話，請一定不要吝嗇你的贊同哦（至於定義我這裡就不寫啦，高贊寫得很詳細的呢。我就在這裡做出一點微小的補充，因為我認為定義不是問題的根本，問題的根本在於我的第五條：與語文結合容易混淆，導致連數學都崩了）

語句和語句之間的蘊含關係，在各個國家的中學教材里都是比較難的內容。
推薦《陶哲軒實分析》的附錄。

題目描述里的1沒問題。估計題主是把「由A不可以推出B」理解成了「由A可以推出不是B」，這是兩個完全不同的概念。

樓上都說了，充分條件和必要條件的字面意思其實很清楚了，但如果看英文的話會更清楚：

A is sufficient for B. = For B (to hold), A is sufficient.
A 是 B 的充分條件。 = 要 B（成立），有 A 就夠了。

B is necessary for A. = For A (to hold), B is necessary.
B 是 A 的必要條件。 = 要 A（成立），必須要有 B。

這裡的推出，是指一種肯定的、100%存在且成立的關係，不能用生活直覺來判斷

題里給的已知關係是怎樣，那（至少你做這道題的時候）就是對的！存在的

先，男神鎮樓

㈠充分條件
A是B的充分條件
幫助理解：充分＝100%

即，一個A足以成立B，但是B ≠100% A
（A和其他條件others，都可以獨自扛起成就B的責任）

推出
——有A就有B：A → B
——無B 就沒A：非B → 非A（這是必然噠）

另，考慮到除A之外，可以成立B的條件others
——————那麼
① 非A 不能推出非B（A不行時，還有others可以）
② B 不能推出純A 一定存在

㈡必要條件
A是B的必要條件，即，A 是B 成立的必要條件（之一！！！）
那麼，純A 不能推出 B： A 不能成立B
但是，沒有A 就一定沒有 B：非A→非B
有B 肯定有A： B→A
因為A是必要條件（之一！！！）
所以，非B 不能推出非A

慚愧慚愧，我其實突然想到了大清皇帝和他的後宮（捂臉。。）

根據存在、地位的聯繫。。。額。。。你們自己類比一下哦

最後，看過的各路仙家們，請點個贊？或者刷條評論？再飄過好伐好伐好伐

畢竟想讓男神鎮樓的答貼熱一點(? ??_??)?

我是用這個方法記憶的不按照誰推誰。就看集合集合小的充分集合大的是必要，一般考題有兩種表述方法
1.A是B的充分條件就代表A的集合小
2.A的充分條件是B 就代表B的集合小
這麼做屢試不爽既快又準確

不請自來。舉一個普通電燈的例子，「燈亮」說明一定「有電」，所以「燈亮」是「有電」的充分條件；反之，「有電」的話，燈不一定亮，因為有可能燈沒開。但是沒電的話，燈就一定不亮！所以「有電」是「燈亮」的必要條件。

這個簡單問題怎麼整的這麼複雜？題主的問題我不想深思了。「充分」不就是足夠的意思么？A能導出B，那說明B要成立有A就足夠了，充分了。

「必要「就是」必備「，A能導出B，說明B對於A是必須具備的，必要的。

我想從必要條件入手比較好理解。我們先從語文的角度來看，舉個例子:「他是人」顯然是「他是男人」的必要條件，反之「他是男人」是「他是人」的充分條件。
然後我們從數學角度來看:
「a屬於b」顯然要得到a必須先屬於b，所以b是a的必要條件，而得到a顯然就能得到b，所以a是b的充分條件。

這裡就把男人特指為好男人了(所以那麼少( ?￣??￣?))

1裡面的不能推出改成不一定也許會讓你更好理解？

就記這幾句話：必要條件=起碼條件，範圍大能推範圍小，誰大誰是充分，充分、必要可以互相轉換。

a:電燈亮?b:有電
由電燈亮可以推出有電，所以a是b的充分條件。
有電是電燈亮的必要條件。這個怎麼解釋呢？用逆否命題可知，若無電則電燈不亮。所以有電是電燈亮的必要條件。
例1：p:有水 q:有生命（在地球上）
有生命?有水，反之不成立
所以q是p的充分條件，p是q的必要條件
例2：p:x∈[1，2] q:x∈[0,3]
p是q的充分不必要條件，因為x在[1，2] 里則一定在[0,3]里，反之不成立。
最後總結就是小推大

A =&> B，說明 A 是 B 的充分條件，但是 B 不是 A 的必要條件。

A &<=&> B，說明 A 是 B 的充分條件，同時 B 也是 A 的充分條件，這種情況下，B 是 A 的必要條件，合起來就是 A 是 B 的充分且必要條件，簡稱充要條件。

一般來說充分條件很容易理解，就是必要條件不好理解，我舉個通俗的例子來說明吧：

我拿一把刀把豬頭砍下 =&> 豬死了。這裡，「砍頭」是「豬死」的充分條件，因為砍頭足夠（充分）讓豬死掉。然而單純的「豬死」不一定是因為砍頭，淹死、電死、開槍死都可以讓豬死掉，所以「豬死」不是「砍頭」的必要條件。

不請自來。
題主的問題上面的答主都已經有了解答，但是我想稍稍陳述一下自己的一些想法。
也許是語文教育的原因，雖然「推出」這個辭彙看似邏輯推理的體現，但它總讓我感覺到「不太舒服」。這個詞在數理邏輯中和「若...則...」是一個意思，但是「推出」在一般漢語語境中的意義更加模糊化，很容易致使初學者腦中的概念發生混亂。
這可能是題主沒考慮清楚、犯錯誤的原因。
（誒，題主別刪題目描述呀，這樣我的回答就很尷尬了）

並不是所有事情都是理所當然。