洛必達法則失效的情況有哪些？

12-27

有些未定式滿足洛必達法則的條件，極限也存在，可是用洛必達法則卻無法求出來，請問，這些題有什麼特點？

1 洛必達法則

1.1 洛必達法則幾何意義

閱讀之前，可以先看看在這個如何解釋洛必達法則，其中講解了洛必達法則在 $0/0$ 型和 $infty /infty$ 適用的幾何意義。

1.2 洛必達法則使用條件

洛必達法則即 $displaystyle lim _{x o a}frac{f(x)}{g(x)}=lim _{x o a}frac{f$ 的使用條件：

$frac{f(x)}{g(x)}$ 滿足 $0/0$ 型或者 $infty /infty$ 型。(未定式)
$f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $a$ 點的去心鄰域可導。（可導）
$displaystyle lim _{x o a}frac{f$ 。(有極限)

是否是未定式、是否可以求導，挺容易判斷的，而實戰中一般讓你解答的題都是有極限的，所以有極限這個條件也可以忽略，不過文章最後會講一個比較隱蔽的例外。

但，我們忘了一點，使用洛必達法則的初衷是什麼？就是想簡化計算，但是這個卻不是一定的。

2 用洛必達法則無法化簡

2.1 例1

1.求 $displaystyle lim _{x o +infty } frac{x}{sqrt{x^2+1}}$

這是 $infty /infty$ 型，我們用洛必達法則來解一下：

於是我們就陷入了這樣的死循環：

解不出來，0分到手。換種方法可以得到極限的：

2.2 例2

上題如果說只是循環的話，這道題就更喪心病狂了。

因為使用洛必達法則不僅對我們的計算沒有幫助，甚至還加大了我們的計算量。

請聽題：

求 $displaystyle lim _{x o 0^+} frac{e^{-frac{1}{x}}}{x^{10}}$ 的極限

這是 $0/0$ 型，我們來用洛必達法則解這個題：

每用一次洛必達法則，就像在自己心口戳了一下。足夠聰明的我們，算了差不多十次之後，應該可以認識到就算用盡全世界的草稿紙都無法用洛必達法則拯救這道題。

換個思路，我們用換元法來解這道題：

3 為什麼會出現這種情況

洛必達法則能簡化計算的結論，是因為求導一般會簡化函數形式。

但求導並非一定能簡化函數！

3.1 分數指數冪

分數指數冪是第一個頑固分子，我們來看一下分數最簡單的分數指數冪求導的情況。

比如， $x^{frac{1}{2}}$ 求導：

特么看起來指數還升冪了。其實指數為負也是一樣的效果。

3.2 $e^ x$

本身 $(e^ x)$ ，自己就在求導面前巋然不動，感興趣可以看下 y=e^x無限求導每一次都等於自身有什麼深層含義或是實際應用嗎？。

$e^ x$ 和分數冪組合的話就是大魔王了：

4 用洛必達法則解出極限不存在

如果洛必達解出來極限不存在呢？看個例子：

求 $displaystyle lim _{x o +infty }frac{1}{x}int _0^ x|sinx|dx$ 的極限

用洛必達法則解後，發現極限不存在。

這個式子的極限真不存在嗎？不是的，因為洛必達法則的適用條件有一個 $displaystyle lim _{x o a}frac{f$ 的極限要存在，這裡其實洛必達法則是不適用的。（謝謝網友 @好肥的糾正）。

看一下這個式子的意義:

可以得出結論，這道題是有極限的：

$displaystyle lim _{x o +infty }frac{1}{x}int _0^ x|sinx|dx=frac{2}{pi }$

5 結論

求導不一定能簡化函數形式。
洛必達法則求出來極限不存在，不一定極限真的不存在

L"Hospital 何時失效並不是個有意義的問題...

廢話,一個定理怎麼可能會有錯的時候,除非適用條件不滿足亂套定理...

初中生高中生不懂亂用還可以原諒...都大學生了別和中學生一般見識...

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原理上洛必達法則適用的情況必定能用泰勒秒殺,用幾次洛必達就用幾階泰勒滅之...

放心好了,運算量不會上天的,對一個複雜的複合函數求導絕對比連續展開兩次泰勒運算量大...

泰勒法不像洛必達用前還要判定,煩得要死...跳過思考就是暴力干,適合我這種肝大無腦的玩家...

1.壓根不是未定型...

洛必達法:

你若作死,便是晴天...這死法,我無話可說,不對,無可奉告...

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2.求導後的極限不存在

分子分母同時求導以後應該是雙份的快樂啊,為什麼會這樣呢.....

$[egin{aligned} L = mathop {lim }limits_{x o infty } frac{{x + cos x}}{x}\ = mathop {lim }limits_{x o infty } 1 + frac{{cos x}}{x}{ ext{(cos有界)}}\ = 1\ end{aligned}]$

人被殺...就會死...式子求導就狗帶...秀了恩愛分得快...

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3.詐屍型

所謂的陷阱題,其實錯誤和上面一樣的,不過比較隱蔽,因為剛開始明明是未定型,但是求導一次後就不是了,大多數碰得到的都是這種.

泰勒展法:

$[egin{aligned} L = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{{e^x} - cos x}}{{{x^2}}}\ T_3 = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{left( {1 + x + frac{{{x^2}}}{2} + Oleft( {{x^3}} ight)} ight) - left( {1 - frac{{{x^2}}}{2} + Oleft( {{x^3}} ight)} ight)}}{{{x^2}}}\ = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{x + {x^2} + Oleft( {{x^3}} ight)}}{{{x^2}}}\ = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{1}{x} + 1 + Oleft( {{x^1}} ight)\ = infty\ end{aligned}]$

無腦過...詐屍?屍體燒了怎麼輸...

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4.循環型

$[egin{aligned} L = mathop {lim }limits_{x o infty } frac{x}{{sqrt {{x^2} + 1} }}\ = mathop {lim }limits_{x o infty } frac{{x^prime }}{{(sqrt {{x^2} + 1} )^prime }}\ = mathop {lim }limits_{x o infty } frac{{(sqrt {{x^2} + 1} )^prime }}{{x^prime }}\ = mathop {lim }limits_{x o infty } frac{x}{{sqrt {{x^2} + 1} }}\ = { ext{毅種循環...}}\ end{aligned}]$

泰勒法

$[egin{aligned} L = mathop {lim }limits_{x o infty } frac{x}{{sqrt {{x^2} + 1} }}\ = mathop {lim }limits_{x o infty } frac{x}{{x + frac{1}{{2x}} + Oleft( {frac{1}{{{x^3}}}} ight)}}\ = mathop {lim }limits_{x o infty } frac{{{x^2}}}{{{x^2} + frac{1}{2} + Oleft( {frac{1}{{{x^2}}}} ight)}}\ = 1\ end{aligned}]$

我是函數式玩家...循環什麼的...不存在的......

注意 $[sqrt {{x^2} + 1} sim 1 + frac{{{x^2}}}{2} + Oleft( {{x^3}} ight)]$ 的收斂域...

無窮遠處展開式是 $[sqrt {{x^2} + 1} sim x + frac{1}{{2x}} + Oleft( {frac{1}{{{x^3}}}} ight)]$ 才對...

呃啊....記憶量好像變成了雙倍啊.....

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5.吸收型

$[egin{aligned} L = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{exp ( - 1/{x^2})}}{{{x^2}}}\ = 2mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{exp ( - 1/{x^2})}}{{{x^5}}}\ = 4mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{exp ( - 1/{x^2})}}{{{x^8}}}\ = ext{狗die}\ end{aligned}]$

攻擊反而給怪加血...我已經沒有什麼話可說的了...

$[egin{aligned} L = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{exp ( - 1/{x^2})}}{{{x^2}}}\ = mathop {lim }limits_{x o infty } {x^2}{e^{ - {x^2}}} = 0\ T_2 = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{1 - frac{1}{x} + Oleft( {frac{1}{{{x^2}}}} ight)}}{{{x^2}}} = 0\ end{aligned}]$

泰勒也不好用,0點處本身無法展開,除非強行在無窮遠處展開...

搞事情這是,取個倒數多簡單的事...

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6.極端複雜型

$[L = mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{7{x^3} + 6{e^{ - {x^2}}}sin x - 6x}}{{3ln frac{{1 + x}}{{1 - x}} - 6x - 2{x^3}}}]$

傻子都看得出來出題人在湊階,就是為了坑洛必達...事實上這道題要用6次洛必達...

如果你沒背等價無窮小的話...泰勒總歸背過吧...怎麼著也比6次求導運算量小...

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7.變限積分

樓上又說變限積分不能用泰勒...開玩笑...

習題留作證明,不是,證明留作習題

所以有種強行的做法:

$[egin{aligned} L = mathop {lim }limits_{x o infty } frac{1}{x}int_0^x {left| {sin t} ight|{ ext{d}}t} \ {T_2} = mathop {lim }limits_{x o infty } frac{1}{x}left( {2left[ {frac{x}{pi }} ight] - 1 - cos Oleft( {{x^2}} ight)} ight)\ = mathop {lim }limits_{x o infty } frac{1}{x}left[ {frac{{2x}}{pi }} ight] - Oleft( {frac{1}{{{x^2}}}} ight)\ = frac{2}{pi }\ end{aligned}]$

這個比較蛋疼...展開後還有取整函數(來自周期性)...

反正不是正常大學生該會的方法了...還是用幾何法比較靠譜...

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8.抽象函數

暫時找不到例子,洛必達無能為力,但是泰勒法還是能過,直接設ax+bx^2+cO(x^3)然後湊個數,相當於高中的特殊值法...

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100金幣能買到的神技....怎麼看都是給五級新手玩家用的...

打打村口的史萊姆還可以...到外面面對各種Boss根本打不出傷害...

Update1:

我只是說可以用泰勒...沒說只能用泰勒...畢竟泰勒還是記憶量很大的...

關鍵是我想找到一個萬能方法解決所有初等的極限,不過這個想法破產了...

我碰到了幾個反例...

級數型...天生無法多項式展開...這是 Stolz 可以彌補一下...

無法展開的,收斂域夠不著的...

$[L = mathop {lim }limits_{x o infty } frac{1}{x}log ({a^x} + {b^x}) = log max (a,b)]$ ...

0點能展開但是0點收斂域不能到達無窮遠處,然後無窮遠處本身又無法展開...

這個用一次洛必達後反而能做....

各位看官大家好，我叫寶刀君，是一名將軍。

我今年有一個歷史重任，就是去迎戰一個叫「考研」的敵人，這個敵人下面有四個得力幹將：分別是考研數學、考研英語、考研政治、考研專業課。

為了對付這個敵人，尤其是對方手下的天字一號幹將：考研數學，我不惜花重金請來了不少的智囊團將領，比如說：洛必達、泰勒、高斯、柯西、拉格朗日、羅爾、費馬等等。

其實說真的，我麾下的這些將領很牛逼，他們在各自的研究領域裡，都是屬於翹楚級的人物，我跟他們比起來，簡直弱爆了。

每天跟他們在一起，我都覺得很尷尬，因為他們討論的問題我壓根聽不懂，什麼拓撲學、複變函數、偏微分方程、群論……等等等等，我一個也不懂。

雖然我自己實力不濟，但是依靠我的理想，依靠我的說服力，我將他們拉攏在一起，一起來搞事情。

這一天，我們一班人馬一起來到了一個叫「求極限」的城牆門外面。

上面寫著：要想取得考研真經，必須經過此關關！

很明顯，這是考研數學布下的第一道關卡。

派誰去攻克這個城牆呢？

有了，這不剛好來了一個叫洛必達的幹將嗎？

他就是專門來求解極限題目的，只要是符合他洛必達法則使用條件的，他都可以咔咔咔，直接開干！

我還記得洛必達這小伙當初來我門下時，說過這幾點注意事項：

當時洛必達說完，我還很清楚他隨手就擺出了一個木牌，上面舉著這樣一個題：

他怕我們一行人聽不懂這個例子，於是又補充道：

其實我是知道他想表明什麼意思的，他無非就是想表明這個含義：

當你發現一個題滿足使用我洛必達法則的條件，你用了，求解出正確答案了，恭喜！

當你發現一個題滿足使用我洛必達法則的條件，你用了，但是求不出來值，那我洛必達認栽，真的很抱歉，我在這個題目上無法施展法力。

換句話說：「我洛必達法則此時失效了」！

雖然如此，但是一般這種情況比較少見，所以我還是會考慮重用洛必達，會給他一口飯吃。

先派他出去迎戰吧，看看對方拋來的是什麼怪題。

卧槽，一打開一看，竟然是這幾道題：

洛必達出去應戰了，經過兩三招打拚，沒想到對方依舊面不改色。

此刻，看到敵方的面貌，作為將軍的我，馬上意識到：洛必達法則會不堪一擊，洛必達法則失效了。

失效，並不意味著敵人消失了（並不意味著待求題目的極限不存在） ，

失效，意味著我需要重新調兵遣將，重新派出其他得力幹將去迎戰！

我的耳邊回想起了春秋戰國時代孫武將軍書中寫的一句話：

《孫子·謀攻篇》：「知彼知己，百戰不殆；不知彼而知己，一勝一負；不知彼，不知己，每戰必殆。」

要想去處理洛必達法則失效情況下的求極限題目，我得首先知道：洛必達法則失效的原因，或者說種類。

常見的失效情況有兩類：

什麼叫可以驗證呢？什麼叫無法驗證呢？

就是說當我們拿到一個求極限的題目時，一般它的前兩條法則都是滿足的，只剩下第三條需要我們自己去做個運算處理才能知道，當我們做了第三步分子分母各自分別求導後，發現它求不出來數值，這就叫「可以驗證」。如果它求導之後的式子越求越複雜，這時就叫「無法驗證」。

顯然，現在遇到的例子2和例子3，發現求導之後題目陷入循環，這是屬於可以驗證的，例4求導之後越來越複雜，更是無法再繼續使用，這沒法再繼續驗證了，只會越用越亂。

怎麼辦？

這個將領不能用了，那就重新換將領！

無論如何，老子必須過這道關卡！

無論如何，老子必須拿下每一個敵人拋來的問題！

無論如何，老子要想考上研究生，那就必須不能退縮，佛擋殺佛，神擋殺神！

我陷入了沉思中。

提取公因式、分子分母同乘以公共非0因子、倒代換、泰勒公式….一大波其他幹將們都在等著我發號施令呢，只要我一聲令下，他們都可以隨時待命，泰勒確實是很牛逼，只不過這三嘍啰，還輪不著讓泰勒去動手，算了，派他們兩去吧！

一陣刀光劍影，洛必達和他們幾個人一起提著正確答案的人頭回來了，並隨手附上了正確的解題步驟：

我仔細端詳，發現乾的還不錯！

這時候，我的助理問我：「將軍，你說將來正兒八經去迎戰考研時，他們會出這種題嗎？今天面對的敵人會不會出的太難了、太偏了？」

「這你就不懂了」，我不假思索的答道。

「對方拋來這樣一道題目，一方面是想把我們引入歧途，引入反覆死磕這類題目中，只可惜，這類題很少出，對方往年出的真題招式我研究過了，根本就沒有一上來就隨手用洛必達法則做的，一般剛開始都是用什麼等價無窮小替換啦、泰勒公式啦、倒代換等等這類幹將，然後打著打著，到最後了，發現這時候還可以使用洛必達法則，最後才派洛必達法則去收拾殘局的」。

「也就是說，我們不用去下功夫研究洛必達法則失效的情況？」

「對的，不用為難洛必達幹將，他雖然有局限性，但是只要是真題的最後若干個步驟，用他來處理還是非常快的」

「那要是派泰勒公式大將軍去攻打敵人，泰勒將軍要帶幾個隨從啊？（要展開到第幾階啊？）」

「這就是另一個話題了，我之前專門研究過這個問題，要是你忘了的話，可以點擊下面這個鏈接進行查看：利用泰勒公式求極限時，如何確定泰勒公式展開到第幾階？ - 知乎」

助理想了想說：「將軍，要不您舉個例子？」

可以啊，請看2008年的這道計算題：

助理看完後，表示明白。

這時候，我看了看時間，也不早了，就吩咐助理：經過這一戰，大家都很累，隨便做點飯菜，讓大家吃完後各自回房休息吧，明天繼續上路！

如果您喜歡這種風格，可以繼續戳一下鏈接查看我的下2篇：

1 格林公式的幾何意義是什麼？ - 知乎

2 擺渡人寶刀君：怎樣理解格林公式和高斯公式？格林公式和高斯公式在物理或者其他領域有什麼意義？

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泰勒是高鐵，洛必達只是綠皮火車

前幾天看了 @馬同學的回答以及評論中的一些回復，發現好多同學對 L"Hospital 法則（洛必達法則）理解得不夠透徹，加之昨天看了一道題目，如果沒有注意到 L"Hospital 法則的使用條件，很容易出現相當隱蔽的錯誤，因此覺得有必要來澄清一下 L"Hospital 法則的使用條件，故作此答。

先把昨天看到的一道題目貼到下面，如果能自己看出證明中的問題，基本上對 L"Hospital 法則的理解已經沒什麼問題了。

設 $f(x)$ 在 $(0,+infty)$ 可微，且 $f$
證明： $f(x)=O(x^2),x o +infty.$

證明:(???)
由 L"Hospital 法則， $lim_{x o +infty} frac{f(x)}{x^2}=frac{1}{2}cdot lim_{x o +infty} frac{f$

又 $f$ 故 $exists M>0,$ 使得當 $x o +infty$ 時， $left| frac{f$
因此，當 $x o +infty$ 時， $left| frac{f(x)}{x^2} ight| leq frac{M}{2}.$
故 $f(x)=O(x^2),x o +infty.quad square$

上述證明是有問題的，在下文中會予以說明。
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下面來說一下 L"Hospital 法則的使用條件。

L"Hospital 法則主要用來處理形如 $frac{0}{0},frac{infty}{infty}$ 的極限問題，事實上對於 $frac{infty}{infty}$ 的情形，只要分母趨於無窮即可，分子並不影響，即只要形如 $frac{*}{infty}$ 即可，下面以 $frac{0}{0}$ 型的情形為例說明 L"Hospital 法則的使用條件。

設 $f(x),g(x)$ 在 $x_0$ 的鄰域有定義，如果有
(i) $lim_{x o x_0}f(x)=lim_{x o x_0}g(x)=0.$
(ii) $f(x),g(x)$ 在 $x_0$ 的鄰域內可導，且 $g$
(iii) $lim_{x o x_0}frac{f$ 存在，極限可為有限數， $+infty,-infty,infty.$
那麼有
$lim_{x o x_0}frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x o x_0}frac{f$

注意，上述第 (iii) 個條件是非常必要的，如果 $lim_{x o x_0}frac{f$ 不存在，那麼就談不上 L"Hospital 法則，更確切的說，如果 $lim_{x o x_0}frac{f$ 不存在，那麼 $lim_{x o x_0}frac{f(x)}{g(x)}=lim_{x o x_0}frac{f$ 的等號就不再成立。

以 $lim_{x o 0} frac{x^2 sin(frac{1}{x})}{x}$ 為例，顯然 $lim_{x o 0} frac{x^2 sin(frac{1}{x})}{x} =lim_{x o 0} xsin (frac{1}{x})=0.$

但如果貿然使用 L"Hospital 法則，就會得出
$lim_{x o 0} frac{x^2 sin(frac{1}{x})}{x} =lim_{x o 0} 2xsin(frac{1}{x}) - lim_{x o 0} cos(frac{1}{x})=-lim_{x o 0} cos(frac{1}{x})$
進而得出所求極限不存在的結論，顯然這是錯誤的，那麼問題的根源到底出在了哪裡？

本質上講，由於求導之後比值極限不存在，所以上式中的第一個等號就是錯誤的，因為右邊的極限不存在，此時是不能劃等號的。

現在再來看一下開頭提出的問題，證明中到底哪裡出問題了？

事實上，由於 $lim_{x o +infty} frac{f$ 極限未必存在，這時第一步
$lim_{x o +infty} frac{f(x)}{x^2}=frac{1}{2}cdot lim_{x o +infty} frac{f$ 就是錯誤的，因為右邊極限不存在，根本就談不上 L"Hospital 法則，因此等號是不成立的。

總結一下，在使用 L"Hospital 法則時，我們往往會忽略掉 $lim_{x o x_0}frac{f$ 存在是 L"Hospital 法則的前提條件，如果 $lim_{x o x_0}frac{f$ 不存在，就根本談不上 L"Hospital 法則。

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「題外話」

事實上，L"Hospital 法則求極限並不總是有效的，某些題目求導之後可能會變得相當複雜，這時我們不要忘了還有一個求極限的大殺器：「Taylor 大法好」

不信？看一下我之前的一個回答體驗一下？這個極限怎麼求？真心求教 - 好肥的回答 - 知乎

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2016.11.16 更
補充一下開頭提出的問題的證明。

證明：由 $f$ 知， $exists A>1,exists M>0,$ 當 $x>A$ 時， $|f$
當 $x>A$ 時，在 $[A,x]$ 上應用 Lagrange 中值定理可得
$f(x)=f(A)+f$
因此
$egin{split} |f(x)| leq |f(A)|+|f$
故 $f(x)=O(x^2),x o +infty.quadsquare$

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2016.11.17 更
補充一下 Taylor 公式的使用條件。

可以說，絕大多數可以利用 L"Hospital 法則解決的極限問題都可以用 Taylor 公式求解，但有相當一部分極限問題能用 Taylor 公式解決的問題 L"Hospital 法則卻無能為力，比如這個求教大神這個極限怎麼求？ - 好肥的回答 - 知乎

但 Taylor 公式也不是具有絕對的優越性，有一種極限問題只有使用 L"Hospital 法則，那就是含變限積分的極限問題。

使用 Taylor 公式時需要注意含 Peano 余項的 Taylor 公式僅在一點局部成立，我們平常遇到的基本上都是趨於零的過程中的 Taylor 公式。比如 $e^x=1+x+o(x),x o 0$ 只有在 $x o 0$ 的過程中才成立，對於其他極限過程是不能使用這個式子的，這一點尤其要注意。

如果洛必達法則有失效的時候，那麼不用這裡的人總結，數學家早就會修改它的陳述，使得課本上的陳述沒有失效。

請認真查看課本上的陳述。

是定理就不會失效，只要你在應用時滿足所有條件
高中數學做了太多沒有邏輯的形式計算，所以才會有類似這樣的誤解

洛必達是後驗邏輯，需要算出結果後極限存在才行。

記得宇哥說過洛必達為人陰險狡詐，泰勒才是真學實幹。所以要多用泰勒少用洛必達～

這是我們寢學物理的對於洛必達的理解，希望對於答主有幫助。

能不能用用了再說

好好看書，別刷知乎→_→

用泰勒展開就可以發現，不能用洛必達法則的泰勒展開後分母的無窮小是分子的高階無窮小，所以就不能用洛必達

關於洛必達法則的條件。

以 $frac{0}{0}$ 型為例。

求 $lim_{x o x_{0}}{frac{f(x)}{g(x)}}$ :

若滿足條件：

（1） $f(x)$ 、 $g(x)$ 在點 $x_{0}$ 的某去心領域內可導，且 $g^{$ 。

（2） $lim_{x o x_{0}}{f(x)} = lim_{x o x_{0}}{g(x)} = 0$ 。

（3） $lim_{x o x_{0}}{frac{f^{$ 存在或為 $infty$ 。

則 $lim_{x o x_{0}}{frac{f(x)}{g(x)}}$ = $lim_{x o x_{0}}{frac{f^{$ 。

由於 $lim_{x o x{0}}{frac{f(x)}{g(x)}}$ 與 $f(x)$ 、 $g(x)$ 在點 $x_{0}$ 處的取值無關，不妨假設 $f(x_{0})=g(x_{0})=0$ ，這樣 $f(x)$ 、 $g(x)$ 在點 $x_{0}$ 處連續。當 $x$ 在條件（1）中的去心鄰域中時，根據柯西中值定理（滿足柯西中值定理條件，閉區間連續，開區間可導）有：

$frac{f(x)}{g(x)} = frac{f(x)-f(x_{0})}{g(x)-g(x_{0})} =frac{f^{$ （ $xi$ 介於 $x_{0}$ 和 $x$ 之間）。

當條件（1）和（2）滿足時（後面的論述都默認條件1、2滿足）， $lim_{x o x_{0}}{frac{f(x)}{g(x)}}$ = $lim_{x o x_{0}}{frac{f^{$ （ $xi$ 介於 $x_{0}$ 和 $x$ 之間）。

由於 $xi$ 介於 $x_{0}$ 和 $x$ 之間，所以當 $x o x_{0}$ 時，但 $xi$ 的取值只能是 $x o x_{0}$ 的一個子序列（或者說只是一種 $x$ 逼近 $x_{0}$ 的途徑， $xi$ 的取值覆蓋不了 $x o x_{0}$ 的所有情況）。所以不能由 $lim_{x o x_{0}}{frac{f^{$ =A（ $xi$ 介於 $x_{0}$ 和 $x$ 之間） $Rightarrow$ $lim_{x o x_{0}}{frac{f^{$ = A。

但反過來，當 $lim_{x o x_{0}}{frac{f^{$ = A時，必然有 $lim_{x o x_{0}}{frac{f^{$ =A（ $xi$ 介於 $x_{0}$ 和 $x$ 之間）。而 $lim_{x o x_{0}}{frac{f(x)}{g(x)}}$ = $lim_{x o x_{0}}{frac{f^{$ ，所以 $lim_{x o x_{0}}{frac{f^{$ = A $Rightarrow$ $lim_{x o x_{0}}{frac{f(x)}{g(x)}}$ = A。

$lim_{x o x_{0}}{frac{f^{$ 極限存在是 $lim_{x o x_{0}}{frac{f(x)}{g(x)}}$ 極限存在的充分不必要條件，可能存在的一種情況是 $lim_{x o x_{0}}{frac{f(x)}{g(x)}}$ 、 $lim_{x o x_{0}}{frac{f^{$ 極限存在而 $lim_{x o x_{0}}{frac{f^{$ 極限不存在。

另外，用洛必達法則無法求極限的都屬於不滿足洛必達法則的條件，不是洛必達法則失效。

洛必達法則的適用有限制。
洛必達發則適用於那些0/0，∞/∞等好幾種未定式的情況，只是說明當出現這些情況時可以考慮使用洛必達法則，但是該情況下使用洛必達法則能否計算出正確結果，則是不一定的，因為有些時候你會發現，做到半路做不下去了，或則做出的結果有問題。
PS：使用洛必達法則的過程中該化簡一定要化簡，不然結果可能是不對的。
能否適用洛必達法則的前提是出現上面說過的那些未定式。然而能否用洛必達解出正確答案，則要從結果來推，結果無誤說明洛必達法則使用正確，否則使用錯誤。
建議：能使用洛必達法則的一律適用於泰勒公式，反之則不成立。泰勒才是大神，洛必達就是個小丑
小故事：
就說洛必達法則是洛必達買來的，其實這個法則是他的老師伯努利發現的，被洛必達通過非正常手段得來，所以嘛，他自己也不懂，所以成了個半成品還是有可能的。主要是他太心急了，他老師還沒研究完呢。說不定在等段時間他老師就研究出了完整的「洛必達法則」了，再買也不急啊。
有句老話說的真不錯：心急吃不了熱豆腐

如果是大一剛學高數的同學,建議你去看看張宇的高數18講,有視頻有PDF你自己找.你會發現很多東西就是你的細節掌握的模稜兩可.看完了再加上你的日常練習,基本上應付學校的期末考沒什麼問題.

泰勒公式啊一般都是分子或分母都可以用泰勒公式化簡啊比洛必達不知道高到哪裡去了啊

考研的時候

分子或分母中是兩個函數的和的形式的時候不能用洛必達法則。

我看一般都是在試用洛必達法則。在滿足兩端點零值和某鄰域可導後，試用洛必達極限存在，說明函數下一階導數在極限點處連續，其實就是用下一階導數的極限點值來繼續求極限。若函數下一階導數在極限點處不連續，那當然不能用了

說實話我喜歡用泰勒
洛必達法則要保證導函數的極限存在才可以用
我個人覺得其實洛必達法則應該是必要不充分條件
可以去看看張宇的高等數學考研視頻，有講解說明什麼條件說明也有例子舉例