無窮多個無窮小的乘積為什麼不一定是無窮小？

12-27

高數無窮小的邏輯

涉及到一個收斂與一致收斂的問題，無窮小量這個概念本身就是個極限的概念，說明每一項其實都是函數，無窮多個函數相乘，雖然每個函數的極限都是0，但是它們趨向於0的速度不一定是一致的，可能任意時間都仍然有無窮多個項是不小於0甚至不小於1的，這樣總的乘積就可能不趨於0。
一般對這個問題我們是這麼描述：
存在一系列函數 $f_n(x)$
對於任意的 $epsilon$ ，存在 $delta_n > 0$ ，使得 $forall x in (-delta_n, 0)cup(0, delta_n), f_n(x) < epsilon$
注意這個 $delta_n$ ，它有個n作為下標，所以是跟n有關的，這意味著每個函數收斂的步調不一定一致，那麼前面的項收斂了、後面的項可能還差得遠，還遠大於1，這就不太行

我們需要的描述是這樣的：
對於任意的 $epsilon$ ，存在 $delta > 0$ ，使得 $forall x in (-delta, 0)cup(0,delta), f_n(x) < epsilon$
注意我們把下標拿掉了，於是這個 $delta$ 現在是個與n無關的量，所有的函數可以在一定程度上取得一致，這種情況下我們就可以知道乘積的確是趨於0的了
不過這是個充分條件而不是必要條件，我們把前n項的乘積寫成
$g(n) = prod_{0}^{n} f(n)$
這樣就變成了一個函數列極限的問題，要計算這個函數列在0點的極限，必須要求這個函數在0附近的某個鄰域上是一致收斂到0的，否則我們無法證明極限為0
實質上是個無限乘積與極限運算換序的問題，跟級數、廣義積分時遇到的問題是類似的。

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其實樓上樓下已經有不少好例子了，既然有人想要看例子，我們就講一下構造一個反例的思路吧，既然我們前面總結了這個問題跟收斂的一致性，那麼構造反例的時候，我們就要列出一個收斂步調不一致的，在任意時候，都還有不小於1的項，這些項的乘積甚至抵消了前面那些越來越小的項減小的效果。那麼最簡單的，我們讓後面有無窮多項都是2，這樣無論前面的項多小，只要不為0，則相乘的結果都是發散的：
$f_n(x) = nmin(x, frac{2}{n})$
我們觀察每一項，它在 $x < frac{2}{n}$ 之後之後開始趨於0，在之前固定是2，因此每一項都是趨於0的無窮小量。然而它們的乘積在任意x &> 0的時候都是發散到正無窮的，因此極限不為0（也就是不是無窮小量）

再有技巧一點我們也可以構造極限存在且不為0的例子，簡單修改一下這個例子就好，我們想辦法讓它的乘積固定為1。其他答案裡面已經構造了數列的例子，其實把數列改寫成階梯函數就可以了，不過也可以直接構造函數：
繼承前面的想法，我們讓每個函數在 $x < frac{1}{n}$ 之後變成 $nx$ ，這樣所有 $f_n(x)$ 都是無窮小量。但是還需要一些項來抵消前面的小於1的項的乘積，簡單起見，我們就讓下一個不小於1的項剛好是前面所有項乘積的倒數，然後後面全部是1，這樣總的乘積就是1。也就是說：
$f_n(x) = left{egin{array}{lr}nx x le frac{1}{n} \ frac{1}{(n-1)!x^{n-1}} frac{1}{n} < x le frac{1}{n-1} \ 1 x > frac{1}{n-1}end{array}<br /> ight.$
另有
$f_1(x) = min(x, 1)$
這樣對於任意的 $x > 0$ ，都有 $prod_{1}^{+infty} f_n(x) = 1$ ，自然最終極限也是1，而不是0，不是無窮小量

再精細一點，讓 $f_n(x)$ 是個連續函數，自然也是可以的，無非就是搞出一個過渡段來，讓兩項的乘積等於我們現在中間這一項，然後每一項先從1連續上升，再從最高點連續下降到nx：
$f_n(x) = left{egin{array}{lr}nx x le frac{1}{n} \ left(frac{1}{n!x^{n}} ight)^{(n-1)nx - n+1}nx frac{1}{n} < x le frac{1}{n-1} \ left(frac{1}{(n-1)!x^{n-1}} ight)^{(n-1) - (n-1)(n-2)x} frac{1}{n-1} < x le frac{1}{n-2} \ 1 x > frac{1}{n-2}end{array}<br /> ight.$
另有
$f_1(x) = min(x,1)$
$f_2(x) = left{egin{array}{lr}2x x le frac{1}{2} \ left(frac{1}{2x^2} ight)^{2x-1}2x frac{1}{2} < x le 1 \ 1 x > 1end{array}<br /> ight.$
注意到 $frac{1}{n} < x le frac{1}{n-1}$ 時，
$f_n(x)f_{n+1}(x) = left(frac{1}{n!x^{n}} ight)nx = frac{1}{(n-1)!x^{n-1}}$
所以仍然滿足對於任意 $x > 0$ ， $prod_{1}^{+infty} f_n(x) = 1$ ，所以極限為1而不為0
這族函數趨向於0的特性是首先恆為1，然後有一個尖峰，然後又重新趨向於0，這個尖峰的幅度越來越高，以至於在任意位置，前面這些小於1的項的乘積都被後面某一項的那個尖峰抵消了。

我記得以前回答過這個問題呀。。怎麼不搜索一下
http://www.zhihu.com/question/24119773
我再匿名一遍哼(￢︿??￢☆)

一開始以為是對的，後來想到一個例子： $xcdot 2xcdot 3xcdot cdot cdot nx=n!x^n.$ 這個東西在x不等於0的時候不收斂。因為要使nx&<1，就得有x &<1/n。當固定x的時候,n充分大的情況下顯然x&>1/n，那麼乘的東西比1大且越來越大就發散了。

所以關鍵是每一項小於1的半徑有個下界才能保證這一堆函數乘起來在0點的某個鄰域內收斂。

鑒於評論區有人有困惑，多說幾句：
1.無窮小是一個函數。對每個n，關於x的函數nx都是當x趨於0時的無窮小；
2.我這裡討論的是點態收斂（pointwise convergence），就是說對每個x，這個無窮乘積的部分乘積的極限收斂，收斂的結果也是一個函數。在這個例子裡面，x如果不等於0，那麼那個無窮乘積發散到無窮大，也就是說那個極限函數x不等於0的時候取無窮大，x=0的時候取0.

你們有混淆主要是因為對函數項級數／函數項無窮乘積的收斂（其實有好幾種收斂方式，我這裡只討論了點態收斂）的概念理解不清，回去認真複習一下點態收斂的內容就能明白。

無窮多個無窮小的乘積又不是真正無窮多個真正無窮小量的乘積= =、

無窮小不是數啊。

樓主思維改變一下嘞

這跟無數個0.1相乘越來越小是兩碼事

$10^N>N$
$10^{-N}<epsilon$
$epsilon^N<0.1^N<epsilon$
$epsilon^N=0$

可以看一下華東理工大學龔成通老師的講解。
09-085．關於無窮多個無窮小量的乘積問題

因為無窮多啊

看看張宇的視頻前幾節就懂了。