無窮多個無窮小的乘積為什麼不一定是無窮小?
高數無窮小的邏輯
涉及到一個收斂與一致收斂的問題,無窮小量這個概念本身就是個極限的概念,說明每一項其實都是函數,無窮多個函數相乘,雖然每個函數的極限都是0,但是它們趨向於0的速度不一定是一致的,可能任意時間都仍然有無窮多個項是不小於0甚至不小於1的,這樣總的乘積就可能不趨於0。
一般對這個問題我們是這麼描述:
存在一系列函數
對於任意的,存在,使得
注意這個,它有個n作為下標,所以是跟n有關的,這意味著每個函數收斂的步調不一定一致,那麼前面的項收斂了、後面的項可能還差得遠,還遠大於1,這就不太行
我們需要的描述是這樣的:
對於任意的,存在,使得
注意我們把下標拿掉了,於是這個現在是個與n無關的量,所有的函數可以在一定程度上取得一致,這種情況下我們就可以知道乘積的確是趨於0的了
不過這是個充分條件而不是必要條件,我們把前n項的乘積寫成
這樣就變成了一個函數列極限的問題,要計算這個函數列在0點的極限,必須要求這個函數在0附近的某個鄰域上是一致收斂到0的,否則我們無法證明極限為0
實質上是個無限乘積與極限運算換序的問題,跟級數、廣義積分時遇到的問題是類似的。
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其實樓上樓下已經有不少好例子了,既然有人想要看例子,我們就講一下構造一個反例的思路吧,既然我們前面總結了這個問題跟收斂的一致性,那麼構造反例的時候,我們就要列出一個收斂步調不一致的,在任意時候,都還有不小於1的項,這些項的乘積甚至抵消了前面那些越來越小的項減小的效果。那麼最簡單的,我們讓後面有無窮多項都是2,這樣無論前面的項多小,只要不為0,則相乘的結果都是發散的:
我們觀察每一項,它在之後之後開始趨於0,在之前固定是2,因此每一項都是趨於0的無窮小量。然而它們的乘積在任意x &> 0的時候都是發散到正無窮的,因此極限不為0(也就是不是無窮小量)
再有技巧一點我們也可以構造極限存在且不為0的例子,簡單修改一下這個例子就好,我們想辦法讓它的乘積固定為1。其他答案裡面已經構造了數列的例子,其實把數列改寫成階梯函數就可以了,不過也可以直接構造函數:
繼承前面的想法,我們讓每個函數在之後變成,這樣所有都是無窮小量。但是還需要一些項來抵消前面的小於1的項的乘積,簡單起見,我們就讓下一個不小於1的項剛好是前面所有項乘積的倒數,然後後面全部是1,這樣總的乘積就是1。也就是說:
另有
這樣對於任意的,都有,自然最終極限也是1,而不是0,不是無窮小量
另有
注意到時,
所以仍然滿足對於任意,,所以極限為1而不為0
這族函數趨向於0的特性是首先恆為1,然後有一個尖峰,然後又重新趨向於0,這個尖峰的幅度越來越高,以至於在任意位置,前面這些小於1的項的乘積都被後面某一項的那個尖峰抵消了。
我記得以前回答過這個問題呀。。怎麼不搜索一下
http://www.zhihu.com/question/24119773
我再匿名一遍哼(¬︿??¬☆)
一開始以為是對的,後來想到一個例子:這個東西在x不等於0的時候不收斂。因為要使nx&<1,就得有x &<1/n。當固定x的時候,n充分大的情況下顯然x&>1/n,那麼乘的東西比1大且越來越大就發散了。
所以關鍵是每一項小於1的半徑有個下界才能保證這一堆函數乘起來在0點的某個鄰域內收斂。
鑒於評論區有人有困惑,多說幾句:
1.無窮小是一個函數。對每個n,關於x的函數nx都是當x趨於0時的無窮小;
2.我這裡討論的是點態收斂(pointwise convergence),就是說對每個x, 這個無窮乘積的部分乘積的極限收斂,收斂的結果也是一個函數。在這個例子裡面,x如果不等於0,那麼那個無窮乘積發散到無窮大,也就是說那個極限函數x不等於0的時候取無窮大,x=0的時候取0.
無窮多個無窮小的乘積又不是真正無窮多個真正無窮小量的乘積= =、
無窮小不是數啊。
樓主思維改變一下嘞
這跟無數個0.1相乘越來越小是兩碼事
可以看一下華東理工大學龔成通老師的講解。
09-085.關於無窮多個無窮小量的乘積問題
因為無窮多啊
看看張宇的視頻前幾節就懂了。
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