無窮多個無窮小的乘積為什麼不一定是無窮小?

高數無窮小的邏輯


涉及到一個收斂與一致收斂的問題,無窮小量這個概念本身就是個極限的概念,說明每一項其實都是函數,無窮多個函數相乘,雖然每個函數的極限都是0,但是它們趨向於0的速度不一定是一致的,可能任意時間都仍然有無窮多個項是不小於0甚至不小於1的,這樣總的乘積就可能不趨於0。
一般對這個問題我們是這麼描述:
存在一系列函數f_n(x)
對於任意的epsilon,存在delta_n > 0,使得forall x in (-delta_n, 0)cup(0, delta_n), f_n(x) < epsilon
注意這個delta_n,它有個n作為下標,所以是跟n有關的,這意味著每個函數收斂的步調不一定一致,那麼前面的項收斂了、後面的項可能還差得遠,還遠大於1,這就不太行

我們需要的描述是這樣的:
對於任意的epsilon,存在delta > 0,使得forall x in (-delta, 0)cup(0,delta), f_n(x) < epsilon
注意我們把下標拿掉了,於是這個delta現在是個與n無關的量,所有的函數可以在一定程度上取得一致,這種情況下我們就可以知道乘積的確是趨於0的了
不過這是個充分條件而不是必要條件,我們把前n項的乘積寫成
g(n) = prod_{0}^{n} f(n)
這樣就變成了一個函數列極限的問題,要計算這個函數列在0點的極限,必須要求這個函數在0附近的某個鄰域上是一致收斂到0的,否則我們無法證明極限為0
實質上是個無限乘積與極限運算換序的問題,跟級數、廣義積分時遇到的問題是類似的。

===================================================================

其實樓上樓下已經有不少好例子了,既然有人想要看例子,我們就講一下構造一個反例的思路吧,既然我們前面總結了這個問題跟收斂的一致性,那麼構造反例的時候,我們就要列出一個收斂步調不一致的,在任意時候,都還有不小於1的項,這些項的乘積甚至抵消了前面那些越來越小的項減小的效果。那麼最簡單的,我們讓後面有無窮多項都是2,這樣無論前面的項多小,只要不為0,則相乘的結果都是發散的:
f_n(x) = nmin(x, frac{2}{n})
我們觀察每一項,它在x < frac{2}{n}之後之後開始趨於0,在之前固定是2,因此每一項都是趨於0的無窮小量。然而它們的乘積在任意x &> 0的時候都是發散到正無窮的,因此極限不為0(也就是不是無窮小量)

再有技巧一點我們也可以構造極限存在且不為0的例子,簡單修改一下這個例子就好,我們想辦法讓它的乘積固定為1。其他答案裡面已經構造了數列的例子,其實把數列改寫成階梯函數就可以了,不過也可以直接構造函數:
繼承前面的想法,我們讓每個函數在x < frac{1}{n}之後變成nx,這樣所有f_n(x)都是無窮小量。但是還需要一些項來抵消前面的小於1的項的乘積,簡單起見,我們就讓下一個不小於1的項剛好是前面所有項乘積的倒數,然後後面全部是1,這樣總的乘積就是1。也就是說:
f_n(x) = left{egin{array}{lr}nx  x le frac{1}{n} \ frac{1}{(n-1)!x^{n-1}}  frac{1}{n} < x le frac{1}{n-1} \ 1  x > frac{1}{n-1}end{array}<br />
ight.
另有
f_1(x) = min(x, 1)
這樣對於任意的x > 0,都有prod_{1}^{+infty} f_n(x) = 1,自然最終極限也是1,而不是0,不是無窮小量

再精細一點,讓f_n(x)是個連續函數,自然也是可以的,無非就是搞出一個過渡段來,讓兩項的乘積等於我們現在中間這一項,然後每一項先從1連續上升,再從最高點連續下降到nx:
f_n(x) = left{egin{array}{lr}nx  x le frac{1}{n} \ left(frac{1}{n!x^{n}}
ight)^{(n-1)nx - n+1}nx  frac{1}{n} < x le frac{1}{n-1} \ left(frac{1}{(n-1)!x^{n-1}}
ight)^{(n-1) - (n-1)(n-2)x}  frac{1}{n-1} < x le frac{1}{n-2} \ 1  x > frac{1}{n-2}end{array}<br />
ight.
另有
f_1(x) = min(x,1)
f_2(x) = left{egin{array}{lr}2x  x le frac{1}{2} \ left(frac{1}{2x^2}
ight)^{2x-1}2x  frac{1}{2} < x le 1 \ 1  x > 1end{array}<br />
ight.
注意到frac{1}{n} < x le frac{1}{n-1}時,
f_n(x)f_{n+1}(x) = left(frac{1}{n!x^{n}}
ight)nx = frac{1}{(n-1)!x^{n-1}}
所以仍然滿足對於任意x > 0prod_{1}^{+infty} f_n(x) = 1,所以極限為1而不為0
這族函數趨向於0的特性是首先恆為1,然後有一個尖峰,然後又重新趨向於0,這個尖峰的幅度越來越高,以至於在任意位置,前面這些小於1的項的乘積都被後面某一項的那個尖峰抵消了。


我記得以前回答過這個問題呀。。怎麼不搜索一下
http://www.zhihu.com/question/24119773
我再匿名一遍哼(¬︿??¬☆)


一開始以為是對的,後來想到一個例子:xcdot 2xcdot 3xcdot cdot cdot nx=n!x^n.這個東西在x不等於0的時候不收斂。因為要使nx&<1,就得有x &<1/n。當固定x的時候,n充分大的情況下顯然x&>1/n,那麼乘的東西比1大且越來越大就發散了。

所以關鍵是每一項小於1的半徑有個下界才能保證這一堆函數乘起來在0點的某個鄰域內收斂。

鑒於評論區有人有困惑,多說幾句:
1.無窮小是一個函數。對每個n,關於x的函數nx都是當x趨於0時的無窮小;
2.我這裡討論的是點態收斂(pointwise convergence),就是說對每個x, 這個無窮乘積的部分乘積的極限收斂,收斂的結果也是一個函數。在這個例子裡面,x如果不等於0,那麼那個無窮乘積發散到無窮大,也就是說那個極限函數x不等於0的時候取無窮大,x=0的時候取0.

你們有混淆主要是因為對函數項級數/函數項無窮乘積的收斂(其實有好幾種收斂方式,我這裡只討論了點態收斂)的概念理解不清,回去認真複習一下點態收斂的內容就能明白。


無窮多個無窮小的乘積又不是真正無窮多個真正無窮小量的乘積= =、


無窮小不是數啊。

樓主思維改變一下嘞

這跟無數個0.1相乘越來越小是兩碼事


10^N>N
10^{-N}<epsilon
epsilon^N<0.1^N<epsilon
epsilon^N=0


可以看一下華東理工大學龔成通老師的講解。
09-085.關於無窮多個無窮小量的乘積問題


因為無窮多啊


看看張宇的視頻前幾節就懂了。


推薦閱讀:

填鴨式與探究式的學習方法,哪種更適合大學生?
大學上高數課,有人在前一天用紙條佔了前四排所有座位,怎麼看待這件事?
數學家(數學專業)都是怎麼搞研究的?
一家開在大學裡的咖啡店,地理位置上佳,但就是沒有顧客來,我該如何是好?
每周只要上三節課的大學老師,大部分時間在做哪些事?

TAG:大學 | 高等數學大學課程 | 極限數學 |