既然微分和積分互為逆運算，為什麼積分比微分更難求解？

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基於我僅有的大學本科高等數學知識，一般互為逆運算的操作中，分解運算比聚合運算更難。比如，
分解操作聚合操作

減法加法
除法乘法
開方乘方
解方程驗證方程
解密加密
但是積分運算卻需要通過求導數來倒推出解法來，有什麼原因嗎？

謝謝題主把這個有意義的問題提出來，我認為題主問的是為什麼對初等函數積分比微分要難的問題。這是一個我一直想弄明白的問題，於是借這個機會讀了幾篇文章，下面是一點見解：
1. 做初等函數微分的時候我們在做什麼：
這一段是我自己教課的時候意識到的一點理解，雖然也許是很多人的常識，不過仍然值得簡單介紹一下。
回想我們在求一個函數微分的解析表達式的時候，參考的是如下的規則：

冪函數（主要是多項式和求方根）、指數函數（包括三角函數）、對數函數的導數公式表；
函數加法、乘法、除法求導的法則（寫的方式非常奇怪，但是很有必要，ADD(a,b)意思是a+b，MULT(a,b)意思是a*b，SQRT意思是平方根，以此類推）：
$mathrm{ADD}(f,g)$ ,
$mathrm{MULT}(f,g)$ ,
$mathrm{DIV}(f,g)$
鏈式法則： $mathbf{OUT}(mathbf{IN}(x))$

導數公式表裡面大致說來只有方根、多項式、指數函數和對數函數，所以通常我們所說的初等函數即是把這三種函數用加法、乘除法，以及函數的複合，像俄羅斯套娃一樣組合成一個複雜的函數。比如：
$f(x)=sqrt{sin(7x+ln(5x))}$
這個函數的構成方式可以理解成：
$f(x)=mathrm{SQRT}cdotsincdotmathrm{ADD}(7x, lncdot(5x))$
像剝洋蔥一樣把這個函數層層剝開，這裡面遞歸的味道就很濃了。如果想要求這個函數的導數，那麼第一步是嚴格按照我上面寫的古怪格式，用鏈式法則對 $mathrm{SQRT}$ 求導，得到
$mathrm{MULT}(mathrm{SQRT}$
其中 $mathrm{IN_1(x)}=sincdotmathrm{ADD}(7x, lncdot(5x))$ 。第一步完成之後SQRT的導數查表就可以得到；而 $mathrm{IN_1(x)}$ 的導數用同樣的方法，
$mathrm{IN_1$ , 其中 $mathrm{IN_2(x)}=mathrm{ADD}(7x, lncdot(5x))$ 。接下來再重複上面的剝洋蔥－使用法則－查表過程，將計算逐漸向深層進行，最後把所有的計算結果收集到一起，於是就得到了f的導數。
以上過程總結起來主要有以下三點值得注意的地方：

一個初等函數的導數仍然是初等函數
求導過程與具體待求導的函數毫無關係：也就是說，我們可以編寫一個統一的程序來解決所有初等函數的求導問題。
以上程序僅僅是一個機械的遞歸過程

但是以上這三個現象，在積分的問題中都是不存在的。

2. 第一個困難：初等函數的不定積分（原函數）通常不是初等函數
一般來說，如果一個初等函數有一個不定積分也是某種形式的初等函數，這會對它本身的形式帶來非常大的限制。比如：

觀察到 $(f e^g)$ ，也就是說如果一個函數的原函數由因子 $f$ 和 $e^g$ 構成，那麼它必須由 $f$ , $(ln f)$ , $e^g$ 三個因子構成。這是個比較強的條件，因為第一個和第三個因子可以完全決定第二個因子。
觀察到 $(f (ln g)^n)$ ，也就是說，如果一個函數的原函數是右邊的形狀，那麼它必須有 $ln g$ 的n次和n-1次方同時出現。

諸如此類現象，我們做分部積分或者變數替換的時候多多少少都有點感覺，但是實際上歸納起來並不是很容易。嚴格的描述需要使用域擴張之類的代數語言，但是一個粗略的描述倒也是可能的：
在研究微分操作的代數中，把上面觀察到的現象描述為一個Liouville定理：
如果f是某一個在某個微分域 K里的初等函數，假如我們允許f表達式中的「數字」是複數（這個並不是一個特別重要的要求），而且它有一個也是初等函數的不定積分g，即 $g$ ，g可能比f要更為「複雜」，即g在K的某個添加了K中函數的求根、對數、指數運算的擴域 E中。那麼f可以寫成 $f=v$ 的形式, 其中 $c_i$ 是數， $v, u_i$ 是某些在K中的初等函數。

舉兩個非常經典的例子來說明如何使用這個定理（為了可讀性犧牲了一些嚴謹，並且一定有計算錯誤，請指正）：

$f(x)=e^{x^2}$ ，我們想要說明他不存在一個初等的不定積分。（證明預警）
我們可以看到f屬於微分域 $mathbb{C}(x,e^{x^2})$ 中，那麼我們可以把f寫成 $f=v$ ，其中 $v, u_i$ 在 $mathbb{C}(x,e^{x^2})$ 中的初等函數。它們的一般形式是
$frac{A_0(x)+A_1(x)e^{x^2}+ldots+A_m(x)e^{mx^2}}{B_0(x)+B_1(x)e^{x^2}+ldots+B_n(x)e^{nx^2}}$
其中所有的A和B都是關於x的有理函數，每一個 $frac{u_i$ 的形式將會是： $frac{sum (A_k$ 。把它們寫在一起，比較各項的次數（注意！注意！ $x$ 和 $e^{x^2}$ 代數無關），惟一可能存在的是 $e^{x^2}$ 項。於是存在某個有理函數A，使得 $f=(A$ ，這說明 $A$ 。但是如果把A寫成既約分式 $frac{p(x)}{q(x)}$ ，就有 $qp$ ，於是 $q$ 能整除 $q$ ，從而 $q$ 是常數。但是如果我們比較p的最高次項，會意識到從來不會有 $p$ 能讓 $p$ 是常數。所以 $f(x)=e^{x^2}$ 不存在初等不定積分。
$f(x)=frac{sin x}{x}$ ，我們可以把 $frac{sin x}{x}$ 表達成 $frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2ix}$ ，做一個變數替換讓 $t=e^{ix}$ ，於是 $f=frac{t^2-1}{tx}$ （扔掉了那個無所謂的2i）。這裡f是位於域 $mathbb{C}(t,x)$ 中。假如f有一個初等的不定積分，用跟上面的例子完全類似的方法，我們可以看到每一個 $frac{u_i$ 的形式將會是： $frac{sum (A_k$ ，然後比較分子分母次數，得到惟一可能的形式是： $frac{1}{t}$
而 $v$ 惟一可能的分母也是 $t$ 。如果 $v=sum_{-1} B_kt^k$ ，那麼 $v$ 。展開最初幾項：
$v$
可以發現無論如何，都是無法選擇合適的B係數，讓右邊和左邊相等的。所以 $f(x)=frac{sin x}{x}$ 不存在一個初等函數的不定積分。

3. 第二個困難：求函數的不定積分與具體的函數有關
限於篇幅，在這裡僅僅簡單提一兩句。其他的回答都有說明，很多時候，即使某個被積函數的某種代數性質會帶來它的某個不定積分的某些性質，比如說：
第一類橢圓積分的加法公式：
$int_0^ufrac{dx}{sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}+int_0^vfrac{dx}{sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}=int_0^{T(u,v)}frac{dx}{sqrt{(1-x^2)(1-k^2x^2)}}$
其中 $T(u,v)=frac{usqrt{(1-v^2)(1-k^2v^2)}+vsqrt{(1-u^2)(1-k^2u^2)}}{1-k^2u^2v^2}$
這個古怪的公式如果按照現在的觀點來看，是由於和它被積函數有關的代數曲線 $y^2=(1-x^2)(1-k^2x^2)$ 的幾何結構造成的。由此觀之，積分在很多情況下，是遠比求導深刻得多的一個問題。

4. 第四個困難：某些問題在演算法上的不可判定性
這個問題看起來很簡單，但是實際上可能非常複雜。比如，我有一個初等函數 $frac{2sqrt{x}+sqrt{x}}{3sqrt{x}}-1$ ，初中生應該都知道它大多數情況下等於0（就當作它是恆為0好了）。但是如果我有一個複雜的初等函數表達式，它是否恆為0是一個很難判斷的問題。有一個Richardson定理，大致說，如果用 $x, log 2, pi, e^x, sin x, |x|$ 以及全部有理數通過加減乘除和函數複合構成的一個函數，是不存在一個演算法來判定它是否恆為0的。以下有兩個道聽途說的事情不知是否正確：

據說它與希爾伯特第10問題有關？
據說如果去掉絕對值函數，這個問題是未解決的？

參考文獻：
Bronstein, Manuel: Symbolic Integration I Transcendental Functions
Risch, Robert H.: THE PROBLEM OF INTEGRATION IN FINITE TERMS
Rosenlicht, Maxwell: Integration in Finite Terms

其實如果你考慮解析函數的冪級數表達的話，積分和微分差不多簡單。

只是在初等函數的初等表達式範圍內，積分比微分難。

放眼更寬廣些，可積函數類比可微函數類大，一些問題用積分方程要比用微分方程處理更方便。

這不是一個膚淺的問題，但看到的幾個答案好像只是在抖機靈，如果認真起來，你們真的能說出有價值的內容嗎。

有人問過類似的問題：

calculus - Why is integration so much harder than differentiation?

「Here is an extremely generic answer. Differentiation is a "local" operation: to compute the derivative of a function at a point you only have to know how it behaves in a neighborhood of that point. But integration is a "global" operation: to compute the definite integral of a function in an interval you have to know how it behaves on the entire interval (and to compute the indefinite integral you have to know how it behaves on all intervals). That is a lot of information to summarize. Generally, local things are much easier than global things.

On the other hand, if you can do the global things, they tend to be useful because of how much information goes into them. That"s why theorems like the fundamental theorem of calculus, the full form of Stokes" theorem, and the main theorems of complex analysis are so powerful: they let us calculate global things in terms of slightly less global things.」

Is there an intuitive explanation for why differentiation is so much easier than integration?

"Indeed, the class of integrable functions is much, much larger than the class of differentiable functions. For instance, you can integrate any continuous function, but almost no continuous functions are differentiable.

So what you"re really talking about is taking a function given by a formula of some kind, and getting a formula for its integral or derivative. This isn"t really a question about calculus at all; rather, it"s a question about (abstract) algebra. And the answer is somewhat of a letdown."

先說結論：積分不同於微分在於除了無窮小運算之外，還額外附加了『』無限求和『』運算。無限求和對初等函數域不封閉，將初等函數比作有理數，則微分相當於求商，還是有理數；而積分相當於無限求和，然無限個有理數之和不一定是有理數。

點贊數超過10了，補充一個圖應該更直觀了：

下面是是一堆說明
綜合角度1和角度2應該可以有一個定性認識。
角度1：
1、序列收斂等價於級數收斂（無窮和悄悄地進來）
2、在[a,b]上連續的初等函數f，其原函數為F。可構造一個多項式序列{Pn}，一致收斂於f
3、多項式序列{Pn}存在相對應的原函數序列{Qn}，可證明Qn一致收斂於F
4、Qn也是多項式序列，即為初等函數，但極限未必是（無限求和對初等函數域不封閉）
5、上述123細節見謝惠民等編著的《數學分析習題課講義》下冊第128頁。

角度2：
得票最高帖從微分代數角度切入，說得很詳細了，我再說點題外話：
有網友評論很形象：「能否直觀理解成，積分更像除法和開方，因為它擴大了它操作對象的範圍？比如，加法對正整數封閉，但減法必須引入零和負整數？乘法對整數封閉，但除法要搞出分數？如此等等。」
-----------------很好的比方，神似。研究一個初等函數f的原函數等價於研究微分方程y"-f=0的解。類比代數基本定理可知，方程的解未必在係數所在域。對於本題，微分方程的解未必在初等函數域。
我認為積分與微分並不對等，一個是無窮多，一個是有限多。特別地，定積分定義那種極限與導數定義那種極限不一樣。（下文提到的積分考慮的是定積分，與不定積分差一個常數。）

考察定積分過程，極限過程中涉及無窮多項求和，而求導只有一項。
無窮和有限差距明顯，試想有些非初等函數可以用無窮多項初等函數的和來表示。
～～～～～～～～～～～～～～後記～～～～～～～～～～～～～
站在無限角度也可以理解為什麼開方運算對有理數域未必封閉，只需把開方運算視作二項級數展開。類似的問題或困惑其根源可能源自構造性與存在性。不嚴密地說，伽羅瓦擴張屬於構造性擴張，可控，所以新的元素結構清晰。但並非所有擴張都是構造性的，比如對閉區間上多項式集合取閉包，新增加的元素結構認識不清晰，不確定，不可控。說到這裡已經哲學味道了，所以還是到這裡停筆吧。

謝邀。

導數的計算，有一定的法則和步驟可循。高等數學（一元微積分）課程所涉及的大部分函數類型的求導法則（方法），大致有以下方法：

? 導數的四則運演算法則
? 複合函數的求導法則
? 反函數的求導法則
? 參數函數的求導法則
? 隱函數的求導法則
? 冪指函數的求導法則
? 對數求導法則

你要對一個可導函數進行求導，只要掌握了相應的求導法則，基本就是套公式進行代數運算，所以說求導或者微分運算要簡單很多。

但是求不定積分並不像求導數一樣，一個不定積分往往可以通過運用不同的方法求得，而且最後的表示結果也可能不盡相同（但是都是等價的，都是OK的！）。

有些比較複雜的被積函數常常需要連續幾次使用換元積分和分部積分等技巧才能最終獲得結果，而且需要經過探索才能得到求解的途徑。

每個同學的解題效率往往取決於對各種基本技巧掌握的熟練程度。求不定積分往往需要你把被積函數進行拆解。我覺得這個是導致積分比微分難很多的最主要原因。比如湊微分法（第一類換元積分法），你需要選擇被積函數的某一部分和dx一起作為某一個函數的微分，比如第二類換元積分法，你需要採用什麼樣的變數代換，就直接決定你能不能積分出來了，比如分部積分也需要你把被積函數的某一部分作為U，而另外一部分作為V。不熟練的同學或者感覺積分困難的同學，一般就是卡在分解被積函數這一步上面，直接導致無從下手。因此，還需要大家能通過比較多的練習，熟記基本積分公式，多積累一些經驗！

另外需要指出的是，對於初等函數，一般都是可以進行求導運算的，但是只有對於很少的一些初等函數才能夠求出它們的不定積分的，大多數初等函數的原函數都不能表示為初等函數，比如， $e^{-x^2}$ ， $frac{ ext{sin} x} {x}$

@tyotakuki的答案寫得非常好。我補充一點，題主舉的分解運算比聚合運算更難的例子，求的都是數值解。在這個意義上，積分也不困難，有多種數值演算法可以把定積分算到任意精度。只是在求解析解的時候，輕輕鬆鬆就會出現一個貌似簡單的被積函數求不出積分的情況。

在知乎數學話題下的問題質量越來越低的背景下，這是個非常好的問題。可惜大部分答案要麼抖機靈，要麼思考得比較淺。關鍵在「逆運算」這個詞的定義上。微分和積分的關係與加減法乘除法並不一樣。
只在實數域上考慮，加減，乘除是兩個數的運算，微分是對一個函數的「操作」，不能相提並論。
減一個數相當於加上一個數的負元。
除一個數相當於乘以一個數的逆元。
而微分積分沒有類似的概念，微分是一個函數的變化過程，也許可以類比為物理中的熵增加的方向，微分相當於熵增，也就是把一個杯子打碎很容易，積分相當於熵減，也就是看到一個打碎了的杯子，想要猜測它打碎前的狀態，絕大多數時候很難。

覺得微分比積分難只是從尋找初等表達式這個角度來說。如果是證明可積分性和可導性還是可積分性容易一些吧。
對一票函數空間，定積分泛函都是封閉的，但微分泛函一不小心就出去了。從這個意義上把積分/微分對一個到加法/減法，乘法/除法也是可以的。

運算和逆運算一個難一個簡單不是很正常的么——
把牙膏從管里擠出來是運算，把擠出來的牙膏再嘬回去是逆運算；
把盤子摔碎是運算，把盤子碎片再拼回去是逆運算；
把手錶拆了是運算，把手錶零件裝回去是逆運算；
把豬變成香腸是運算，把香腸恢復成豬是逆運算；
把孩子生出來是運算，把生出來的孩子再塞回去是逆運算……
等等……

裡面有分解運算更難的，也有聚合運算更難的，題主可以自行體會一下。

這不是熵的問題，不是熵增方向上就一定比熵減方向上簡單。熱力學第二定律的最基本前提（孤立系統）不要忘了。

既然乘方和開方互為逆運算，為什麼開方比乘方更難求解？
附一張圖：

你把任何東西拆了再想組裝回去都很難。

有些東西你都沒見過原來長什麼模樣，面目全非的交給你，讓你給組裝回去，你試試

有些東西我們都沒想像過，就讓我們把他組裝起來，直接不太可能了

其實不僅僅是微分和積分
乘方比開方簡單（手算開方甚至是教科書不講的內容）
乘法比除法簡單（想想除法列豎式那種特殊的格式）
加法比減法。。。好吧，這個差不多

還有，大質數相乘比分解質因數簡單
還有，把咖啡和牛奶混合，比把他們分開簡單
好了，受最後一個例子啟發，我們的回答是熱力學第二定律。這是因為這些運算雖然是逆運算，但是在乘法、乘方、微分這些運算過程中，我們丟失了某些信息，最後的運算結果跟運算式信息量更少。所以，沒法「自發的」完成逆運算，要完成逆運算，就需要額外做功。

好吧，以上言論完全是偽科學。
我猜這個問題跟P和NP的關係問題有關，然而我並不懂。

誰也沒說互為逆運算，難易程度就該相同啊！

你舉的例子，也沒有說服力，或許你忘了，小學的時候，減法是比加法難的，除法是比乘法難的，解方程也是比驗證方程難的。
人類歷史上，先為了解決開方而發明了對數概念，造了大篇幅的對數表，很久之後才有指數概念，歐拉才驚覺～原來對數的本質是指數！！

之所以你覺得難易程度相同，只不過是因為適應了兩套思路而已。

執行上是因為微分有鏈式法則,積分沒有.

本質上是因為微分只涉及到局部性質,積分是整體操作.

看到這個問題感覺好親切，我以前就這個想過好多。我的看法是，真正是一對矛盾的，不是微分與積分，而是微分形式與（積分）區域，外微分運算與對區域取邊界在積分的意義下對立統一。看stokes公式就一目了然了。

One-way function

你從一張拼圖上扣一塊下來容易
還是把打散的拼圖拼回去容易

話說，這算抖機靈么……

你想一個很簡單的問題。
首先，任何兩個整數的加減乘運算，其結果都是整數。但是一旦使用到了除法，問題就變複雜了，不僅0不能除，還會帶來擴展到有理數的範圍。
同樣的道理適用於乘方和開方。

然後再開個腦洞：打馬賽克這麼簡單的事情，為嘛去馬賽克這麼難呢？

嗯，前面很多答主說的也讓我學習到了很多。
不過我認為從推導的角度來說，微分的難度和積分的難度恐怕不相上下。

先不要著急反駁我，讓我慢慢道來。

我相信上面那個微分公式，在座的每一位都能立刻答出，但是下面那個不定積分，雖然大家也能很快答出，但是應該比微分那個要慢上許多。
可是你為什麼會覺得算那個微分會那麼自然簡單呢？因為你的基礎非常紮實，這個公式已經牢牢印在你的腦海中，可是如果沒有這個公式呢？你打算怎麼計算這個微分呢？我相信再不藉助公式的情況下，能寫出這個微分公式的人會大大減少。
我們試著不藉助公式來推導一下那個微分，這是我的推導過程：

微分真的那麼簡單嗎？

另外題主提到，分解運算往往比聚合更難，我覺得可能是因為問題要解決的廣度不一樣。
就比如乘法是一個聚合運算，11*6所有人都立刻知道是66，但是要把66拆解成兩個數的積就需要花不少時間，這就像很多答主所提到的，聚合運算只需要考慮一個局部的問題，而分解運算進行一個整體的規劃和計算，相比較要更難一些。

所以我的觀點是，微分難在邏輯上的推導，不定積分難在由結果反推原因往往比由原因分析結果更困難。

另外還有一點，不定積分和微分存在互為逆運算的關係，但是定積分應該並不是微分的逆運算。

影響一個運算的難度的不是聚合與分解的問題，而是運算與逆運算的問題。
一般一個新的運算定義出來，我們總是可以根據定義得到具體的計算方法，無論是加法，乘法還是微分。即便有時候根據定義計算也是不那麼容易的，但是至少我們知道演算法。
而對於逆運算，為了使得其符合「逆運算」的效果，我們就不能直接定義了，而是要根據原運算做某種試探，這就是「難的地方」，因為一般沒有直接的演算法。
你想想整數除法是怎麼算的？先找商的最高位使得與除數「相乘」的結果既要不超過被除數又要儘可能的大，然後接著找下一位…本質上是在用原運算乘法做試探。同樣的，不定積分也沒有真正的直接計算方法，積分表是由微分表導出的，驗證積分是否正確，標準就是再求一下微分看看是否不變。