關於反常積分收斂與無窮大的邏輯關係？
同濟六版高等數學上冊中有一關於函數
的反常積分的題，該題結果為π，但是看該函數的圖像時，依據定積分的幾何意義，
的值在圖像上應該是
與 X 軸所圍的面積。由於x兩側趨於無窮大，
與 X 軸所圍的面積應該是在不斷向兩側延伸（雖然增加的很小，但依然不斷的增加），因此最終的面積(即積分)應該為無窮大，為什麼按照定積分的數學計算得出來的面積卻是π，請教該邏輯錯誤在什麼地方？
抱歉，不知道為什麼公式圖片不能正常載入，上傳一下照片：
其實樓主的問題就是當年黎曼老前輩的困惑，黎曼老前輩看到圖是這樣，因此提出了定積分的存在定理：區間有限，函數有界。我來回答下這個問題吧~
題主的問題是：被積函數與 X 軸所圍的面積應該是在不斷向兩側延伸（雖然增加的很小，但依然不斷的增加），因此最終的面積(即積分)應該為無窮大，為什麼按照定積分的數學計算得出來的面積卻是π？
回答：最終的面積是確定數值的原因在於：函數曲線向兩側延伸的過程中，曲線與x軸靠的越來越近，也就類似於那個面積的高越來越小，這個高「足夠小的程度」可以沖抵 「長向無窮大發展的程度」，（這裡可以簡單理解為面積是底乘以高），因此最終得到的是一個確定的數值，也就是說這個反常積分是收斂的！
下面我用通俗的語言來解釋下積分界家族中的成員--反常積分。
在微積分學江湖中的積分界里，主要有這4個門派：
首先老大是不定積分，它主要的日常工作是尋找自己的「父親」（原函數），也就是查自己到底是從哪來的？
其次老二是定積分，雖然和上一個不定積分門派只差一個字，但是區別可是大大的，經常被眾生誤導，搞得定積分的領導們經常外出解釋，我們只是一個單純的「數字」啊！
老三是變限積分，這個門派社交強，常常聯合其他跨界門派做事，比如常常和極限結合在一起搞事情！雖然常常外出，但是一旦不定積分和定積分又被人誤會產生紛爭了，變限積分還是會出面來澄清老大與老二之間的關係的（在函數連續的情況下，變限積分揭示了不定積分和定積分概念上的聯繫！）。
最後呢，是老四反常積分，老四出生的晚，比較特立獨行，好多原先積分界定下的規矩在它這裡都不起作用，是個活生生的刺頭兒！有時候，它還逗你玩，時而收斂，時而發散，雖然它不好惹，但是寶刀君覺得，如果我們今天了解了老四的誕生歷史，接下來對於如何去判別它的斂散性，會有莫大的幫助！
歷史上，當定積分出現後，德國有個叫黎曼的大師，他就認為，你這定積分值要想算出來，必須得保證兩個條件：首先是區間有限，也就是你得劃一個區域，不然區間都無窮了，這面積咋算呢；其次是函數在這個區間上必須是有界的，不能讓它高了衝上天，低了鑽到海。
諾，就是下面這個前輩~
基於這樣的理解，後人們將符合黎曼前輩提的這兩個條件的定積分稱為「常義積分」，把不滿足他這兩個條件的，稱為「廣義積分」，也叫反常積分，於是乎，反常積分這個門派就建立起來了！這個門派的核心成員不多，就兩個，一個是無窮區間上的反常積分，一個是無界函數的反常積分。
先看第一個：
****************************(一)無窮區間上的反常積分********************************
如上圖所示，寶刀君（ID:BDJ0501）斗膽猜一猜黎曼前輩面對這張圖時內心的想法，黎曼前輩會覺得，如果你區間是無限的，那麼理論上底邊長是一直在增加，那就意味著面積也是增加的，那麼最終這個定積分值就是一個發散的。所以，黎曼前輩會要求你必須是有限區間，不能取無窮。
按照常規理解，的確如老前輩所講，但是各位看官看看圖中的例1，它是反常積分，但是，它是收斂的！這是為什麼呢？
寶刀君打算從圖說起，你看在趨向於無窮時，圖中的兩個函數做比較，你會發現y2會比y1更低！人們發現，雖然你底邊長是無限長，但是當你的曲線跟X軸接近的程度足夠小的時候，雖然你是無窮大的區間，但是我這個高比你還要小，最終會使得這個面積收斂到一個確定的值。（大家在這裡可以通俗的理解面積就是底乘以高）這就像是求極限裡面的無窮乘以0的未定式，雖然底邊長是個無窮大的因素，但是我這個高足夠小，小到和無窮大一樣的程度，那就夠了。
因此，無窮區間上的反常積分是和極限有著密切的聯繫，你的面積是發散還是收斂，取決於你的高，也就是被積函數，被積函數在x趨向於無窮時越小（越接近x軸，比x趨向無窮的速度還快），那麼反常積分越容易收斂！
介紹完上限趨於無窮的反常積分，接下來再介紹下限趨於無窮和上下限都趨於無窮的反常積分，上圖：
好，概念講完，來個實戰！看看真題中都怎樣考過！
曾經有一年，命題組就出了個反常積分，而且是上下限都趨於無窮的，如下圖：
坦白講，這道題也不難，但是當年錯誤率卻很高！究其原因，還是概念沒搞清，好多學生拿到題一看，哇塞！對稱區間，奇函數，偶倍奇0，歐耶！
閱卷老師在背後笑了，嘿嘿，又抓住一條概念不清晰的漏網之魚！你既然寫了0，那麼我就給你填的這個分值！
寶刀君看到這答案也是醉了，你為什麼要憑空想像呢？為什麼不按定義走呢？
上下限都是無窮區間的反常積分，定義規定的明明白白，清清楚楚，必須拆成兩個區間，挨個算，如果都是收斂的，那麼這個反常積分就是收斂的，只要有一個你算下來是發散的，那麼另一個也就不用再算了，整體直接就是發散的！
所以，這個迷倒了無數學子的真題解法應該是這樣：
寶刀君猜想，如果填寫了0的學生，估計是將正負無窮區間當成對稱區間了，這種想法真是大錯特錯！
那麼，這個正負無窮區間到底該如何理解呢？
數學上，假定給一個正無窮區間，如果我給它再加個任意數，比如加個8，那它也叫正無窮，如果給負無窮減個10，那這時也叫它負無窮，也就是說，咱們平時理解的上下限為相反數的有限區間是精確對稱的，而正負無窮區間不是精確對稱！
換句話講，你所謂的偶倍奇0規律，只能用在有限對稱區間上！
總結一下，對於無窮區間上的反常積分，大家就按定義來判斷，如果上下限都是無窮區間上的反常積分，就拆成兩項，逐個判斷，萬萬不可主觀想像！
**********************（二）無界函數上的反常積分*************************
接下來，咱們再一起聊聊無界函數的反常積分。
如上圖所示，按照黎曼老前輩的思想，要想求得面積，你這個被積函數必須是有界的，如果是無界的，那就包不住了！可是根據剛才學的無窮區間上的反常積分告訴我們，當函數f（x）趨向於x軸的速度足夠快的時候，這個面積是極有可能收斂的，也就是說，無窮區間上反常積分的斂散性，要看它跟水平漸近線x軸的接近程度！
那麼，現在無界函數的斂散性呢？是看它跟哪個漸近線的接近程度呢？是鉛直漸近線吧！怎麼樣來理解呢，寶刀君（ID：BDJ0501）建議大家將上圖順時針轉90度，然後你再看是不是跟無窮區間上的反常積分很像呀？對！你就把x=b那條虛線想像成x軸，因此，它實際上還是研究的這個函數f（x）與x=b這條水平線的接近程度。這個道理是一樣的！只要它倆接近的程度足夠近，這個面積也會收斂！就這樣通俗的理解！
總結一下，無窮區間上的反常積分是研究曲線f(x)和水平漸近線的接近程度的，而無界函數型的反常積分是研究曲線跟鉛直漸近線的接近程度的。
目前，市面上各種各樣的教輔書都給出了反常積分的斂散性的判別，諾，就是下面這個：
寶刀君看來，記這個規律對大部分學生還是很費勁的一件事，因此呢，寶刀君替大家想了個辦法，你對照著我畫的上面這個圖，以後碰見這個斂散性判別時，P到底是取大於1還是小於1才會收斂，你就將0到1的區間上聯想x分之一，大於1的區間聯想到x的平方分之一，直接把圖一畫，然後結論就出來了，如上圖所示。
（歡迎大家關注我的公zhong號：BDJ0501，我會持續更新知識點的~）
寶刀君提醒各位：在判別斂散性時，如果所給的區間和結論中的一致時，你就可以用這個辦法： 以（1,1）為分界點，當曲線在這點的右方時，P越大越容易收斂，可以聯想第一個例子，當在這點的左端時，你把y軸想像成鉛直漸近線，越靠近它的越容易收斂，此時P越小越容易收斂！
當然，反常積分還有其他的斂散性判別法，這個寶刀君後期再展開講！敬請期待！
手工打字，為了給大家通俗的解釋清楚反常積分這個問題，也是花了不少心思、配了些圖，有點小辛苦，如果以上內容解決了各位看官的疑問，麻煩大家動動手指頭點個贊，寶刀君謝謝啦！！！
1/2+1/4+1/8+...+1/(2^n)+....=1
雖然增加的很小，但依然不斷的增加，因此最終的和應該為無窮大，為什麼算出來是1呢？
題主你懂了么？
你的問題很簡單，
你認為無界的圖形有無窮的面積。
但是你知道面積的定義是什麼嗎？
你知道這個定義是什麼，就是用積分定義嘛。
也就是說你沒有掌握學數學的最基本的方法，把定義當作你思考的根本。
學數學最忌諱帶入你的直覺，因為這樣會死的很慘。
比如你現在有1/3這個數，小學時候你就知道1/3=0.3333333…
0.33333…=3/10+3/100+3/1000+…一直加下去，那是不是這麼一直加下去無窮多項會不會很大呢？
並不會，因為它永遠小於0.5(╯‵□′)╯︵┻━┻假設烏龜和兔子相距一段距離，兔子在A點，烏龜在B點，同時出發兔子追烏龜，當兔子到達B點時，烏龜到達C點；兔子到達C點時，烏龜到達D點。以此類推：兔子永遠追不上烏龜。事實上，兔子可以追上烏龜。
「與 X 軸所圍的面積應該是在不斷向兩側延伸（雖然增加的很小，但依然不斷的增加），因此最終的面積(即積分)應該為無窮大」
該邏輯錯在
不斷增加，並且增加的越來越慢 與 面積（積分）是否為為無窮沒有任何關係
在這種情況下，面積（積分）可以為無窮，也可以不為無窮
所以你錯在把沒關係的兩個事物按照經驗聯繫在一起
我覺得對於無窮裡面的加法運算和有窮里的是不一樣的，需要另外一套東西來定義，那就是極限，比如級數求和。其實反常積分和級數求和我覺得差不多。
雖然左右兩邊無限延伸，但是左右兩邊的圖像與x軸(n,n+1)間的面積趨於無窮小
樓主可以類比一下前面定積分的定義（雖然反常積分不能說是Riemann積分），劃分區間長度趨於0的時候，這個函數在a到b的黎曼和。
同樣都是無窮多個矩形之和。
也就是回到了高數第一章里的問題，無窮多個無窮小之和是多少？這個問題樓主應該曾經也好奇過吧。
草草回答，請見諒。
你對無窮的理解不對，
面積確實是在增加，但是增加的越來越少越來越少取極限是趨近於某一個數的，增加並不意味著一定會到無窮，餓死了這個函數是收斂的。
與 X 軸所圍的面積應該是在不斷向兩側延伸（雖然增加的很小，但依然不斷的增加），因此最終的面積……
==============================
單調有界收斂
人家有界好么！有界！
參見芝諾悖論... 我也不能解釋的很清楚。 可以看一下無窮級數里的調和級數 跟你這個相反。感覺是收斂其實是發散的… 極限這玩意兒還是證明一下好，不要憑感覺
推薦閱讀：