∮(∞,0)sinx/xdx=π/2如何推導？

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$int_0^{infty}frac{sin x}{x}dx = frac{pi}{2}$ 如何推導?

一個比較淺顯易懂的推導方法：

首先，
$int_{0}^{infty}(int_{0}^{infty}e^{-xy}sin x dy)dx=int_{0}^{infty}(int_{0}^{infty}e^{-xy}sin x dx)dy$ （1）

對於（1）的左邊，
$int_{0}^{infty}e^{-xy}sin x dy = -frac{1}{x}e^{-xy}sin x|_{0}^{infty} = 0-(-frac{sin x}{x}) = frac{sin x}{x}$ （2）

兩次分部積分，
$int e^{-xy}sin x dx =-e^{-xy}cos x - yint e^{-xy}cos x dx =-e^{-xy}cos x - y(e^{-xy}sin x+yint e^{-xy}sin x dx)$ （3）

（3）式移項合併得，
$int_{0}^{infty} e^{-xy}sin x dx =frac{-ye^{-xy}sin x-e^{-xy}cos x}{1+y^2}|_{0}^{infty} =0-(-frac{1}{1+y^2} )=frac{1}{1+y^2}$
（4）

將（2）和（4）帶入（1）得，
$int_{0}^{infty}(frac{sin x}{x}) dx =int_{0}^{infty}(frac{1}{1+y^2}) dy$ （5）

換元積分，
$int_{0}^{infty}(frac{1}{1+y^2}) dy=int_{0}^{frac{pi}{2}}1 d( an x) = frac{pi}{2}$ （6）

由（5）和（6）得，
$int_{0}^{infty}(frac{sin x}{x}) dx = frac{pi}{2}$
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謝邀...

只是提供一個可能不那麼常見的方法
由Fourier展開， $sum_{k=1}^{infty}frac{sin(kx)}{k}=frac{pi-x}{2},0<x<pi/2$ 由Abel變換，可證 $igg|sum_{k=N}^{infty}frac{sin(kx)}{k}igg|=O(|Nx|^{-1})$
由Riemann和逼近， $int_{0}^{A}frac{sin x}{x},mathrm{d}x=sum_{k=1}^{N}frac{sin(kA/N)}{k}+O(A^{2}N^{-1})$
於是 $int_{0}^{A}frac{sin x}{x},mathrm{d}x=frac{pi}{2}-frac{A}{2N}+O(A^{-1}+A^{2}N^{-1})$ ，令 $N oinfty$ ，然後 $A oinfty$ 。

復變大法好

多種方法巧妙計算積分+∞∫0sinx/xdx Ingenious Methods to Calculate the real Integral+∞∫0sinx/xdx
這篇論文里通過二重積分、含參變數無窮積分、黎曼引理、傅立葉級數展開及複變函數中利用留數計算實積分∫(0,+∞)sinx/xdx，並給出了多種證明方法。

泰勒公式

可用複變函數中留數

梁昆淼版數理方法書上是用留數定理做的

傅立葉變換

圍道積分大法好