不定積分與定積分有什麼區別?

12-27

看書發現不定積分只是在講怎麼求怎麼算，而定積分講了實際問題中的應用，不知道不定積分有什麼作用，，或者說，不定積分物理意義是什麼

我先說結論，然後再說為什麼。

結論：定積分絕不是僅僅給不定積分加了個上下限，不定積分和定積分兩者的區別是很大的！！！它們屬於不同的概念，兩者決不能混為一談！

why？？？

咱們看定義：

（1）不定積分：

設f(x)定義在某區間I上，若存在可導函數F(x)，使得F"(x)=f(x)對任意x屬於I都成立，那麼則稱F(x)是f(x)在區間I上的一個原函數。

我們把這個全體原函數，也稱為不定積分。

因此，不定積分的定義是找原函數的，即得到。

（2）定積分

如果大家翻下課本的話，會記得定積分的定義是根據求曲邊梯形的面積得出來的。

因此，定積分的定義是用來求面積的，即得到一個數。

引用百度百科的解釋，看看圖片：

一個是函數，一個是數值，這肯定不一樣呀！

********************************為什麼會產生這樣的誤區？******************************************

有人就會問了：不是有個牛頓萊布尼茲公式嗎？--------這就是大多數初學者在學習這塊時容易犯的概念錯誤。

牛頓萊布尼茲公式是在不定積分和定積分的概念出來後，創造性地把他們通過一個式子聯立起來了，也就是說，定積分的面積，是可以通過尋找到它的原函數，再代入上下限而求得，這與用定積分的定義去計算是一樣可以算出正確結果的，而且這個方法會更快！

換句話說：N-L公式只是一個計算工具，但不是定義！

只有先從概念上理解了不定積分和定積分的區別，接下來的變限積分和反常積分就很容易理解了。

（3）變限積分

先想想變限積分屬於哪一類範疇？

它是將定積分的上下限換成了變數x，也就是說你那個曲邊梯形的面積是隨著x的滑動變化而變化的。取不同的x，就有不同的面積效果，x 在幾何上是一個動的邊。

因此，變限積分仍然屬於定積分的範疇，即是求面積的。

那麼，變限積分和不定積分、定積分的關係又是什麼呢？

哎，公式不好打，只好拿張白紙給大家寫了，請看下圖：

圖片中我已經總結了變限積分和不定積分、定積分的關係。

*****************************************總結一下吧***************************************************

在函數連續的情況下，我們將不定積分和定積分給聯繫起來了，這是定積分和不定積分概念上的聯繫！而牛頓萊布尼茲公式僅僅是它們兩在計算工具上聯繫！

說到這裡，估計各位看官們都明白了不定積分和定積分的區別了！！！（我的公眾號會推送考研數學各個知識點的妙趣解釋，還望大家多多關注~）

打了這麼多字，好辛苦呀，如果以上內容解決了看官的疑問，麻煩大家動動手指頭點個贊，謝謝啦！

我說說自己膚淺的理解。

這兩種東西本來是很不同的。

不定積分只是導數的逆運算，所以也叫做反導數。
而定積分是求一個函數的圖形在一個閉區間上和 x 坐標軸圍成的面積。

但是，卻有一個叫做牛頓-萊布尼茨公式（微積分基本定理）的可怕的東西把兩者聯繫到一起。即，一定條件之下，函數 f(x) 在閉區間 [a, b] 上的定積分（黎曼積分）為：

$int_a^b f(x) dx = F(b)-F(a)$

其中 F 為 f 的一個原函數，它在很多時候能夠用不定積分算出來。

2017-10-25 補充

將 N-L 公式寫成變上限積分的形式可能更有助於理解二者的聯繫，即

$int f(x)dx=int_a^x f(t) dt + C$

不定積分就是反導數，定積分是曲線下的面積。兩者由牛頓-萊布尼茲公式聯繫起來。

我們知道，速度的定義，是位置隨時間的導數。

現在你知道速度隨時間變化的函數v(t)，你說它的不定積分是x(t)呢，還是變上限（定）積分是x(t)呢？

顯而易見，前者是定義的直接推論，後者需要證明。

如果大家沒有時間看下面這段論述，可以看一下圖片里的四個函數以及文章最後對這四個函數的說明，會給你一個直觀的對於這兩個概念的區別。

----------------------------以下正文-----------------------------

定積分和不定積分其實在本質來講並沒有任何關係，只是因為有了牛頓-萊布尼茨公式把他們聯繫到了一起。

真的要去抽象談這兩者的區別，我覺得會比較枯燥，我們先來看兩者的定義，並看四個函數來理解一下，我保證你會弄的很清楚，而且會覺得很驚訝的。

首先，先說不定積分。

其定義為：在任何一個給定區間上，某個函數F（x）的導數都等於f（x），就稱F（x）是這個導數f（x）在給定區間上的一個原函數。

我們可以對這個定義做如下解讀：

1.不定積分的區間是任意的，也就是說我這個區間可以開區間，可以閉區間，也可以半開半閉。總之，給定的區間怎麼樣都可以。

2.不定積分研究的內容是導數和原函數的關係，不定積分研究的是爸爸（原函數）和兒子（導數）的關係。那麼就是說，爸爸是個函數，那麼兒子也是個函數（不是一個數！！！）。

3.不定積分有無數個原函數，定義中只說F（x）是其中一個，通過加個C可以有無限個。

4.這句話的逆否命題。如果在這個給定區間上，出現了一個點使得F（x）的導數不等於f（x），那麼F（x）就不是f（x）的原函數了。這句話說明F（x）要成為原函數的條件是很苛刻的（畢竟不是所有人能當爸爸的- -）。

我們來綜合一下上面的解讀，也就是說不定積分的區間任意，研究的是導數和無窮多個原函數的關係，同時要成為原函數條件很苛刻。

所以我們就得出了怎麼看一個函數有沒有原函數的辦法。第一種：直接找，看你能不能一眼看出來這個函數是誰求導得到的，直接看出他爸是誰。第二種：如果看到個別點不滿足逆否命題，就可以直接認定他沒有父親。我們在本科階段學的連續函數和振蕩間斷點的函數有原函數，其他類型的間斷點沒有原函數。

這時候我給出4個函數，大家共同來欣賞一下，看看它們存不存在原函數（敲黑板，做題了！！）。

首先，四個函數的區間都一樣，滿足定義要求，任意給定的。我們說了，一個函數有沒有原函數，主要就是看看能不能找到他爸，或者反過來看他的類型來判斷他是不是沒有父親。

1號函數是跳躍間斷，沒有。

2號函數是無界振蕩間斷，有。

3號函數是無窮間斷，沒有。

4號函數有界振蕩，有。

所以，記住。這是雙道單選題。

下面，我們來說定積分。

本科課本告訴我們定積分是在算曲邊提醒梯形面積的，既然是一個面積，它肯定是一個確定的數（不是函數）。那麼既然是一個面積，我們就有必要來看看這個面積什麼時候可以存在呢。這裡，我們很難找到一個面積存在的充要條件，但可以找到兩個讓面積一定存在的充分條件。

1.某一個函數在確定的區間上連續（曲邊梯形圍起來就有一塊面積區域啦）

2.某一個函數在確定的區間上有界間斷，但斷點是有限多個（直觀理解：首先，這個區域不能跑到無窮去吧，可以參照3號函數想想，那樣面積就圍不起來了。其次，斷幾個點無所謂，就比如在一塊布上扎幾個洞也不會很影響它的包圍面積）

其中，學過高數的同學，就應該知道「連續必有界」，所以第一個充分條件的連續其實也包含了有界的意思。

因此，這時候我們也可以簡單總結一下了。定積分要求我們至少把面積「大致圍起來」，而且這個函數本身不能跑到無窮去（有界）。

敲敲黑板，繼續做題目，來看看那些函數有定積分（發現沒，題目一模一樣）。

我們剛才講了，看有沒有定積分，就是看看有沒有「大致圍起來」且有界限。

1號函數，在區間上有界的，不過就是在x=0處斷了一次，符合「大致圍起來」，所以有定積分。

2號函數，一看無界振蕩，毫無疑問沒有定積分。

3號函數，一看無窮，毫無疑問沒有定積分。

4號函數，有界振蕩，一看就有定積分。

發現沒有，這也是一道雙選題。

在仔細看看，是不是在第一題里我們主要靠連續和振蕩來選答案，而第二題主要靠有界和可數間斷點來選答案？

而且很有意思的是，有沒有發現，這4個函數正好是

1號函數：有定積分沒不定積分（原函數問題就是不定積分）

2號函數：無定積分有不定積分

3號函數：兩個都沒有

4號函數：兩個都有

因此、下結論：定積分和不定積分沒有半毛錢關係！

不定積分是求原函數，原函數有無數個所以叫不定。

定積分是求面積，是累加，只有1個解，所以叫定。

然而面積微元=原函數的值的微元（Fb-Fa 這段線段的微元）

導致求面積只要求原函數就行了 S=Fb-Fa

求原函數提供了求曲線下面積的方法。

求贊，寶寶都畫了圖了

不定積分的本質是一個函數族求不定積分是求導數的逆運算即求原函數而原函數可以有多個因為常數C不定

而定積分的本質是一個數或者說是某種特殊和式的極限主要應用在求面積弧長等比較實用

你發現每年工資漲得越來越少，你知道這樣下去遲早有一天工資會不漲的，該考慮跳槽了。這叫不定積分。

你每年都數一下工資漲了多少，然後發現過去五年你一共掙了夠買一個廁所的錢，這叫定積分。

就一個高贊的說道點子上了。結合那個高贊的來看我的答案，幫助理解：

你既然學到這裡，不定積分不是有個常數C么，這個掛在公式屁股後面的C，導致了函數沿著Y軸整體上（C為正）下（C為負）移動，和X軸形成的面積是不確定的。所以所有符合的函數，圖形波動程度一樣，所以斜率一樣，所以導數一樣，不過面積卻是可以不同的。

定積分就是一個確定的面積，這個看圖就很直白了，因為確定，所以是一個數。

不定積分不算是嚴格的數學概念，嚴格的概念是定積分，它的存在只是因為教學問題，讓你掌握如何用各種技巧求積分，學會了求積分的技巧就夠了。

定積分用來算面積，不定積分是用來算定積分的。

簡單通過它們有無積分上下限，可以區分定積分和不定積分：不定積分沒有積分上下線，而定積分有（參見下圖），這看起來是個很小的差別，但實際上這兩個積分有很大不同。

定積分

是一個數，他表示由曲線y=f(x),x軸以及垂線x=a和，x=b所圍成的面積。

不定積分

是一個函數的集合。這個集合由函數f的所有反導數（關於x）組成，這些函數僅有的不同是它們的常數部分。

對比例如：

前者定積分得出的是一個數，後者不定積分得出的是一個函數集

（這裡注意是函數集！不是僅僅是函數，高票答案說是函數其實是不嚴謹的）

如果不是微積分的第二基本定理，那麼對於這兩個表達式使用同樣的符號將是錯誤的，幸運的是，不定積分正是需要計算定積分所需要的，所以才使用了同樣的符號。

所以再說一遍，定積分是用來求面積的，不定積分是用來求定積分的（因為黎曼和求定積分的方法比較繁瑣）

參見《普林斯頓微積分讀本》

不定積分是函數到函數集的運算
是計算原函數的過程
定積分是函數到數的運算
是計算黎曼和極限的過程

兩者除了在性質足夠好的函數上（在某個區間連續）可以用牛萊公式聯繫一下，除此之外沒有任何關係。

物理意義:生活中有很多我們能夠輕易地理解兩個量之間的關係如路程和時間，但是當我們得到的是我們無法直觀感受的量時我們就需要積分或者求導。
老李的兒子衣錦還鄉買了一輛Gtr，小李告訴他爸這輛車油門踩到底一秒可以加速到100米每[V=100t]秒，隨便舉的方便理解，老李搖了搖頭，聽不懂，告訴他兒子，我就想知道這車油門踩到底一秒能竄多遠，小李心想，這車商也沒告訴我一秒能竄多遠吶……於是他積了一個分S=50t^2，算了算，50米！他爹說，那麼快！你小子還能算出來一秒能竄多遠，書沒白念！
上面這個例子很粗糙，很不規範，但是目測你應該明白了，不定積分就是我們很容易得到某兩個量之間的變化率時(很多物理量都是變化率很直觀好測，但是本身不好測比如熱量)，但是我們還想知道這兩個量之間到底是什麼函數關係的時候我們就對已經知道的有關變化率函數進行不定積分。
一言以蔽之，不定積分和求導用於推算量與量之間的關係，定積分用於計算具體數值。
非數學專業，僅個人感受，希望可以幫到你。
以上。

f的不定積分指的是微分方程F" = f 的（一族）解，定積分（黎曼）指的是在一個區間上黎曼和的極限。

但在f具有一些很好的性質時（比如連續），可以通過NL公式給出定積分。

不定積分得到的是一個函數，而定積分得到的是一個數值
我個人認為之所以會產生疑問，是因為在高等數學範疇里，定積分大多是先通過不定積分求出被積函數的原函數然後帶入積分上下限想減求出，不過如果不局限在高等數學的範疇中的話，很多定積分的被積函數是無法求出原函數的，比如(sinx/x)，這時候就要用其他的方法，比如用留數。
總之，兩者並不相同，定積分可以通過不定積分的方法求出，如果你把高等數學書再往後面看的話，會發現不定積分更多的只是一種工具，用來計算更複雜的比如曲線積分，曲面積分等
至於在物理上的意義，不定積分可以用來求場，比如知道了電場分布可以對其積分得到電勢分布。不定積分的話，在物理上很少會用這麼簡單的積分，一般都是第二型曲線或者曲面積分

不同，定積分和不定積分並沒有相關聯繫。定積分首先要在定義域內連續，不能有跳躍可去無窮間斷點，可以有振蕩間斷點，本科考試內，有振蕩間斷點就一定有原函數。

不定積分呢，要區域有界，不一定連續，有且只有有限個間斷點。

太晚了，我明天給你詳細說明，保證你能明白。（前提是，你導數定義還有極限那一塊的基礎很好，考研題比較喜歡考）

不定積分結果是個式子，定積分就是一個數，是一個區間的面積

參見高等數學一

如果分類只歸入高等數學的話，那可以把不定積分想成要求一條線，但是只知道這條線各段上的速率，那最後只能用不定積分去做了，要是歸入數學分析的話，泛函分析裡面有很多不定積分的應用的。

最簡單來說，從牛頓萊布尼茲公式可推出對一個函數以0為下限x為上限的定積分等於這個函數的不定積分，這個意思也可以描述成一個函數通過不定積分得到的「原函數」描述的是該函數圖像下的面積關於x的變化關係，這就是不定積分較為直觀的意義。或者說定積分求的是函數特定區域內的線下面積的值，而不定積分則求那個面積的表達式。