數學裡的那些技巧是怎麼想出來的？

12-27

題主是一位業餘數學愛好者
在學習數學的時候遇到了一些技巧性很強的題
比如說這一題

他是怎麼想到的呢？
再比如說這個

那個輔助函數莫名其妙的就出來了
都沒點徵兆的
怎樣才能獲得這種能力呢？

0.看到這問題就想起一個笑話:一個小男孩看一個雕塑家用鎚子鑿子把大理石鑿成人像，小男孩十分驚訝，問"你是怎麼知道她在大理石裡頭的?" 這裡其實是一樣的道理。第一題第一個證明是很基本的證明，不算什麼技巧。（在初學者眼中）莫名其妙的構造，其實背後是清晰的思路，是腦子裡有了人像後才去鑿大理石。

1.我嘗試一下把第一題的第一個證明背後的思路寫一下，請對照原證明閱讀。凡是用括弧寫著（為什麼？）的地方請自行思考

首先，這證明第一二句話有點瑕疵，最好寫成存在 $varepsilon_0>0$ 和 $x_n oinfty$ 使 $|f(x_n)|>2varepsilon_0$ ，這樣才能直接由連續性得到當 $xin[x_n-delta_n,x_n+delta_n]$ 時 $|f(x)|>varepsilon_0$ 。（另外這裡我覺得用閉區間比原證明中用開區間更好）

反證的思路是很明確的，如果 $lim_{x o+infty}f(x) e 0$ ，那麼存在 $varepsilon_0>0$ 和 $x_n oinfty$ 使 $|f(x_n)|>2varepsilon_0$ 。就是說有一串的點上f的值離0足夠遠，我們希望能從這出發推出矛盾，具體來說我們希望能找到 $alpha$ 使 $lim_{n o+infty}nalpha e 0$ 。如果這一串x_n本身就滿足 $x_n=nx_1$ ，那問題直接就解決了（為什麼？）。但一般來說這不成立，所以需要進一步分析。

觀察1：根據連續性，存在 $delta_n>0$ ，當 $xin[x_n-delta_n,x_n+delta_n]$ 時 $|f(x)|>varepsilon_0$ 。就是說不止是在一串點上，而是在一串區間上都有f的值離0足夠遠。

注意！這裡 $delta_n$ 取決於n，就是說不一定存在一個統一的 $delta$ 使當 $xin(x_n-delta,x_n+delta)$ 時 $|f(x)|>varepsilon_0$ （為什麼？）。

然後令 $[a_1,b_1]=[x_1-delta_1,x_1+delta_1]$

觀察2：當k足夠大， $[ka_1,kb_1]$ 可以覆蓋整個區間 $（k_1a_1,+infty）$ （為什麼？）。

具體的步驟在原證明裡，這裡的想法是 $[ka_1,kb_1]$ 這個區間會隨著k變大而越來越長，最終能覆蓋足夠大的所有點。然後我們希望能在 $[a_1,b_1]$ 上找到那個 $alpha$ 。當 $nge N_1$ 時（這裡原證明中有瑕疵，寫成了 $n>N_1$ ），對每個 $x_n$ ，我們已經有一個 $alpha_nin[a_1,b_1]$ 使 $x_n=k_nalpha_n$ （為什麼？）。我們已經靠近了一步，但是還是不夠，我們需要的是一個統一的 $alpha$ 。

觀察3：存在 $[a_2,b_2]subset[a_1,b_1]$ ，使 $[l_1a_1,l_1b_1]subset[x_{N_1}-delta_{N_1},x_{N_1}+delta_{N_1}]$ （為什麼？）。換言之，對於任何的 $xin[a_2,b_2]$ ，我們既有 $|f(x)|>varepsilon_0$ ，又有 $|f(l_1x)|>varepsilon_0$ 。

我們離目標又近了一步，這些 $xin[a_2,b_2]$ 都是最終的 $alpha$ 的候選者。重複上一步，可以得到 $[a_3,b_3]subset[a_2,b_2]$ ，使得對於任何的 $xin[a_2,b_2]$ ，我們既有 $|f(x)|>varepsilon_0$ ，又有 $|f(l_1x)|>varepsilon_0$ 和 $|f(l_2x)|>varepsilon_0$ （為什麼？）。這樣重複下去，就可以按照原證明的最後一步用區間套得到最終的 $alpha$ ，使得存在一列的正整數 $l_i oinfty$ , $l_ialphain[x_{N_{i-1}}-delta_{N_{i-1}},x_{N_{i-1}}+delta_{N_{i-1}}]$ ，所以 $lim_{n o+infty}nalpha e 0$ 。（為什麼？）

2.也許有人問，這些觀察123是如何來的？靠直覺，靠探索，更重要的是靠積累和經驗。當你第一次看著一塊大理石時你不能直接想像到裡面的人像，而當你刻了幾百個雕像之後就可以了。

3.我覺得更值得問的問題是，為什麼書里不把證明寫成像我這樣的思路的形式？很多書上往往會把思路抹去，包裝成華麗的構造，憑空地跳出來。個人覺得這是對數學學習和交流的障礙。對於幾百頁的論文，也許沒辦法寫得太詳細，但我覺得作為教育而用的書，應該把思路寫得更清晰。希望大家能對此有更多的討論。

4.第二題是經過包裝的，我明天還有考試，等我有空再試試把包裝拆開。

5.在數學裡還有很多更誇張的技巧。有很多時候其實是在其他無關的小問題上的技巧，經過變化和發展後變成關鍵證明裡的技巧。有時候就是數學家把所有其他的辦法都試過都不行了，最後發現這樣做。天才曉得丘成桐是怎麼找到證明Calabi猜想里的那個輔助函數的，也許人家把所有比那更簡單的輔助函數都試了一遍發現都不行（-_-||）。有的時候就真的是靈感，但是靈感這東西其實往往也是通過積累和不停的思考才能得到的。

貼在某個講座上看見的一句話吧
可能偏題了但有時候這是沒辦法的事情
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國際數學教育委員會前主席
荷蘭數學家H.Freudenthal說:
沒有一種數學思想，以它被發現時的那個樣子
發表出來。一個問題被解決以後，相應地
發展成一種形式化的技巧，結果使得
「火熱的思考」變成了」冰冷的美麗」。

謝邀。

具體題目講解我就不講了，caleb89和dhchen都分析得很清楚了，我只做一些一般性的評價，提一下一般性的建議。

第一個題目確實有些難度，因為邏輯鏈條比較長；但每一步推導其實都是非常清楚的，並不存在跳步驟的情況——而思路的跳躍在競賽型題目裡面其實是司空見慣的，所以這個題目也還算不上數分里真正的難題。第二個題目以前有人知乎上問過，這個邏輯鏈條其實就兩步，一步是構造擾動函數，第二步是證明f與線性函數的誤差可以被擾動函數控制，從而取極限利用夾逼準則自然得出f只能是線性函數。至於那個擾動函數是怎麼想出來的，說實話，真沒那麼難；線性函數的部分就是由通過(a,f(a)) , (b,f(b))的直線方程寫出來的，給定的兩點之間的直線方程怎麼寫，這種高中你做過無數遍的基礎題目就不用教了；而後面那個擾動的部分你第一次見可能想不到，不過也不是特別離譜，就一個二次函數而已。直觀上來說就是「同一法」，起點到終點之間有唯一的一條直線，證明f就是那條直線，整個思路就是這樣。

其實對於這種題目，第一次做不會做也不要有太大的心理負擔，這種題目在大部分學校的數分期末考試題里算是難題了——等一下，我上面不是說這不算數分里的難題么？並不矛盾，因為數分里的難題是不能出在期末考試里的（北清科這種學校除外），如果把裴禮文上的難題不加任何提示直接出成期末考試題，是真會有學生當場哭出來的。所以你大可以把這些題目當成extra bonus，當成對自己更高的要求，而沒必要對第一次見的時候不會做感到有壓力。但是，第一次見不會做情有可原，那麼第二次、第三次見類似題目呢？見過好幾道用閉區間套定理的題目之後，你的腦子就應該「警覺」起來了，就應該總結什麼樣的場景下可能會用到類似的定理了。第二道的擾動函數法更是整個分析學裡面的常用技巧，如果你真的用心學了的話，以後應該會越來越熟悉。很多答主提到學數學是一個熟能生巧的過程，其實很大程度是這樣。

做習題本身，是檢測你對基礎知識的靈活運用能力。我知道有些人做習題的動機主要是為了獲取做出題目的成就感，面對做不出的題目就非常沮喪，答案草草看一遍，也沒記在心裏面。這種態度並不是學數學的好態度。面對第一次做不出的題目，答案你要認真看，認真理解他的思路，要學會舉一反三；以後碰到類似的題目，你要有印象，要有熟悉感，即使忘了答案的具體過程，你也要記得在哪裡看過，知道在哪裡能找到原來題目的答案，並且重新看答案要能更快地看懂；不能做了題目跟沒做似的，腦子裡面什麼都裝不下。學數學的能力強弱，水平高低，體現在你思考的質量、深度和廣度，不在於你做題目的效率和速度；一個小時「斬殺」多少道題目，正確率多少，不能體現你數學學得有多好，充其量說明你是個高級點的人肉計算機而已。。畢竟一個小時內能做出很多道的題目能有什麼技術含量。。

那麼題主需要的就是喬治·波利亞的那幾卷關於探索法的經典著作了。。。

數學與猜想（第一卷）：數學中的歸納和類比

數學與猜想（第二卷）：合情推理模式

數學的發現——對解題的理解、研究和講授

謝邀，時間不多簡單回答一下。
第一題其實題目給的提示很明顯，讓你往區間套定理上靠，做題的時候，畫個圖，數軸上有很多個不相交的區間，你能做的是把它們除以若干倍，目標是找一個區間套，多試幾次肯定出來了。思路還是很直接的

第二題的話，我高一就做過，當時我是沒做出來。我說說輔助函數的構造思路吧，首先直接證線性不好證，做個變換去證等於0。
簡單嘗試，你會發現所有二次函數的D^2f都是非零常數，這個就啟發你加個二次的擾動項來說明函數恆等於0，這個技巧對不熟悉pde的人來說可能確實新鮮。
只能說這題第一次見，做不出來太正常了，但多做幾次套路熟悉了就好了。

這種東西就是，第一個發明的是天才，後面的人都是在學在模仿。大部分學校里的數學考試無非是考你對套路是否熟悉。

一定要思路清晰，有了big picture，技巧什麼的可以慢慢琢磨。

Young man, in mathematics you don"t understand things. You just get used to them. --- John von Neumann

解很多式子關鍵一步就是educated guess，說白了就是「湊」

很多技巧，你看書上就那麼一頁，但基本都是歷史上有名的(教科書上某某某定理的)那個某某某前思後想一兩個月甚至幾年才想出來的，後來又經歷很多很多版本的改進才變成現在這個樣子。比如區間里的點是不可數無窮，這個問題的證明康托想了一個多月(第一版證明看史濟懷的書上有)。你看哪一本數分教材不是半頁紙？所以說技巧性強。那是數學巨匠們一開始用開山之力砸出來，後來人再不斷優化才會是這個樣子的。一開始看著不懂很正常。推薦你兩本書《古今數學思想》《微積分的歷程》，看看裡面的歷史的進程，就知道了。

世上本沒有什麼數學技巧，用的多了，用的熟了，也就漸漸有了技巧。

舉個栗子：下面的Fourier級數問題中用Fejer核做差的技巧可以用在丘賽題中。本例子摘自小說遇見番外篇。

謝邀：這幾個都算不上「奇怪」，這些輔助函數也好，構造集合也好。凡是涉及到構造類的方法本質上都是一種「經驗」和「直覺」，多看多學點自然就會了。比如使用Baire綱方法的關鍵就是構造一類足夠大的「閉集族」，然後利用完備性證明必須某個閉集含有內點。（或者反過來，稠密的開集），所以第一個並不奇怪。比如，第一個問題還有下面的構造方法，只要思路方向對了，構造起來並不難。

第二個如果你學過點偏微分方程，這個擾動技巧是非常常見的，第一個想到的人是誰就不知道了。然了，具體到每個問題上很多數學家本質上就是「試驗」出來的，很多數學家都能看明白某個問題的關鍵是構造一類輔助函數，具體怎麼樣，只能一點一點做實驗，你看證明的時候覺得「驚為天人」，但是其實最早的時候人家也是要想破腦袋的。丘成桐證明卡比拉猜想的那個輔助函數他自己說過，是自己慢慢試出來的。

一些複雜的偏微分方程估計基本都涉及到一些輔助函數的構造，能構造成功有兩個前提：第一，你知道這個問題需要構造一個輔助函數，第二，你知道大概什麼樣的能成功。這兩種都是需要經驗的，換句話就是，你好好學習才能慢慢變強。

這種東西弄多了心裡感覺有種哲學的本質在裡面，學多了慢慢有這種感覺，但是我目前無法用寫出關於這種感覺的完整的東西，以後能力夠了再寫吧( ????? )

首先，題主先要知道，數學題目大致可以分為兩類。

第一類是完全可以套用已有定義、公理、定理的題目，儘管對於某些具體的題目，其邏輯鏈條可能比較長。

而第二類呢？許多數學題目，題設與結論之間的邏輯關係並不直接。然而，這並不代表我們就解不出來。畢竟，我們可以藉助已有知識，構造出從未知到已知的橋樑。

顯然，求解第二類題目往往要比解第一類需要更多的思維技巧。

現在，我們就來思考一下：為什麼雞兔同籠能夠在我國流傳一千多年，並成為現在奧數與公務員的基本訓練素材？

很明顯，這類題目如果只利用已知條件的話，不可能同時求出雞和兔分別有多少？但是，我們設想一下，假設所有的兔都被替換成雞的話，那麼我們可以求出假設與實際，腳的總數相差多少。而每把一隻兔替換成一隻雞，其腳的總數目減少（4-2）。最後，將假設與實際腳的總數差除以將一隻兔替換成一隻雞腳的總數的減少量，就是被替換的兔的數目。

由此可見，雞兔同籠的本質就是「替換」。替換法的奧妙在於，它與數學中一些其他的技能有著異曲同工之處。譬如添項、拼湊、配方、幾何中的輔助線等等。

添項、拼湊、配方在高等數學中求極限與不定積分時，是非常常見的。然而，高等數學也是其他理工科、商科，以及許多其他數學分支的基礎。所謂「輔助函數」，本質上與輔助線的作用是相同的。

它們的共同之處在於構造出從未知到已知的橋樑。至於究竟如何構造，則強烈依賴於題目的具體條件。之所以這樣構造，是因為只有這樣才能同已有的知識和方法靠攏。

對於同一題目，也可能有許多種不同的構造方法，進而形成很多種解法。之所以勾股定理目前可以有幾百種證法，就是由於已知條件過於簡單，只有一個直角三角形。因此，需要構造一些輔助圖形，放到一個大的知識背景上，獲得直角三角形的三邊關係。對於條件越簡單的題目，越可能有多樣化的思維路徑，有幾百種證法不足為奇。由此可見，對於構造的思維，既需要我們對學過的知識有全方位掌握，同時也需要我們有相當的觀察力和創造力。這也是所謂「難題」的根源之一。

第一題主要就是利用一下線性函數增長小於指數。感覺比較正常的想法是下面這樣做。

我們只需要證明：對任何m&>0, 存在A_m&>0 使得對任何x&>A_m，有|f(x)|&<=1/m。

對任何N&>=0, 記E_N={x&>0, 對任何n&>=N, f(nx)&<=1/m}.

則E_N是閉集。且由題設知 $cup_{Ngeq 0}E_N=(0,+infty)$ . 由Baire 綱知道存在一個N&>=0,使E_N有內點。

那麼有區間(a,b)屬於E_N。

那麼在 |f| 在 $U:=cup_{ngeq N}(na,nb)subseteq cup_{ngeq N}nE_N$ 上恆小於 1/m。那麼只需要證明 U包含一個無窮的開區間就行。

直觀上想，只要對n充分大，兩個相鄰的區間(na,nb)與((n+1)a,(n+1)b) 能扣在一起就行。而這隻需要 (n+1)a&(n+1)/n既可。而這在n充分大時時顯然成立的。

換成數學語言，存在M&>=N，有 (M+1)/M&< b/a, 那麼 $cup_{ngeq M}(na,nb)=(Ma,+infty)$ .然後取 A_m=Ma即得證了。

然後在看這個證明，把原來題目中的條件 $lim_{n o infty}f(nx)=0$ 換成 $lim_{n o infty}f(G(n)x)=0$ 其中 G是任何一個增長速度小於任何指數函數的單調增函數（比如 n^2,n^3,...）都是成立的。

事實上做題中的技巧是建立在大量的習題量與解題經驗的直覺。

然而真正的困難在於那些定理和公式的發現，這純粹是靠天賦與直覺，拉瑪努金曾說自己的靈感來自於神。

謝邀，但本人實在太弱，只能算是強答了一波吧(真大神請自動忽略qaq)。感覺還是見多識廣啦~當然這個"多"對不同層次的人也不一樣。有些大定理的證明你想不出來實在太正常(這大概對個別的天才不成立)，即使是像數學分析高等代數這種本科一年級的基礎課，畢竟那是幾代人幾百年的成果。借用復變老師的話，大意是:如果你覺得一個定理的證明十分美妙，那麼基本上你是不會想到的，不過你可以先讀懂它，然後努力地說服自己...這個想法是自然的(攤手)...

第一題和98年斯坦福的qualifying exam的real analysis部分的第二題比較相似，幾天前剛好做到， @dhchen 大神他們已經把解題思路說的很清楚了，我想請問題主的是，若將f(nx)換成f(n+x)，任意x屬於〔0，1〕，其餘條件不變，是否還成立。

第二題應該是華師書上習題，我們做過這題，很慚愧當時我也不會。不過近一年後重看此題，似乎沒有那麼難了。可能還是需要積累知識，提高觀點，豐富經驗吧。
ps:推薦題主看看 @張辰LMY 學長的答案和他以SCIbird的身份寫的《我的數學分析積木》，對你一定會有益處。

我覺得技巧原本是沒有的，當某些方法被發現比其他方法更容易，便會被視為技巧。我喜歡數學，喜歡就同一個題找不同解法，這是一種樂趣。這種能力建立在對基礎知識的深入理解和綜合運用，更重要的是思維的開放性和靈活度。有的人做很多題，做到最後還是不怎麼樣，而有的人做題不多，但每個題都可以用不同方法解決，往往還學得很好。

基本是兩個途徑，一是根據目標一步步的設定邏輯目標，然後尋找符合邏輯目標的演算法，往往會找到很多不同的路徑；二是經過反覆思考，無意間發現的方法，數學基本理論已經幾百年了，沉澱出各種妙不可言的簡單方法也很正常。

無他唯手熟爾。
不就是多做多練多看唄

思維發散，到處想想，拼湊，經驗。

謝邀。沒什麼捷徑，做得多了偶然激發的靈感，真正精妙的證明可遇不可求，但一般不會眷顧到做題少的人身上。(某些天才除外，鬼知道他們腦子怎麼長的╮(╯▽╰)╭。)

額為啥我覺得這個很簡單啊，第一反應就是這麼解....，最近看到了陶哲軒證明實數R是不可數集，才被驚艷到了，也可能之前是先被康托的對角線構造嚇到了，就沒考慮過別的證明。

因為想不到的都死了。

所以你看到的都是想得到的人寫的。