多元函數中可微與可導的直觀區別是什麼？

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在(一元或多元)函數中，可導和可微的內在聯繫與區別的本質是什麼？為什麼會單獨對這兩個概念加以區分？在數學定義推導背後的，函數可導卻不可微的外在直觀感受是什麼？

在多元的情況下，可微可導的關係要比在一元情況下複雜，但是只是要複雜一些，如果我們從一元開始去理解，你會發現並不困難。

這篇文章主要闡述以下三個概念：

偏微分
偏導數
全微分

全導數這裡暫時不講，看名字好像和全微分關係很大，其實和「方嚮導數」的關係更大，所以留到講「方嚮導數」的時候再一起來說。

1 偏微分

在一元函數中的微分就是函數的切線：

關於微分就是切線，我寫的很多文章（比如我最近的如何通俗解釋全微分？）都希望大家可以理解這一點，雖然要嚴格講清楚需要微分幾何、流型的知識，但是我認為掌握了這一點對於我們學習微積分很有幫助。

我們發揮一下空間想像力，把它從平面中拽出來，進入三維空間：

之前是平面曲線，現在是空間曲線。切線仍然是切線，微分仍然是微分。

我們再想像一下，其實這個空間曲線是 $y=0$ 這個空間平面與 $f(x,y)$ 這個空間曲面的交線：

我們就把這個切線稱為 $f(x,y)$ 對於 $x$ 的偏微分。為什麼是對於 $x$ 的呢？因為這是 $f(x,y)$ 與 $y=0$ 的交線，在這條線上無論點怎麼變化，都要滿足 $y=0$ ，即 $y$ 是常數不會變化。

你來玩玩下面這個互動操作就知道了，點在線上變化只會改變 $x$ 和 $z$ ：

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

理解了這個，就可以舉一反三，所有 $y=C$ （ $C$ 為常數）的平面與 $f(x,y)$ 的交線都是滿足剛才說的特點：

這些交線上的點的切線都是 $f(x,y)$ 關於 $x$ 的偏微分。

當然，如果 $f(x,y)$ 與 $x=C$ （ $C$ 為常數）得到的交線，這些交線的切線就是 $f(x,y)$ 關於 $y$ 的偏微分。

總結，偏微分就是：

固定 $y$ ，變換 $x$ 得到的就是 $f(x,y)$ 關於 $x$ 的偏微分
固定 $x$ ，變換 $y$ 得到的就是 $f(x,y)$ 關於 $y$ 的偏微分

2 偏導數

偏微分理解了偏導數就好理解了，就是偏微分的斜率，現在你應該可以明白為什麼我們在求 $f(x,y)$ 對於 $x$ 的偏導數的時候，我們把 $y$ 當作常數來看待了吧。

只是有一點需要說明，在三維空間中角度可以有不同的定義，計算斜率的時候我們是看下面這個 $alpha$ 角：

總結，偏導數就是偏微分的斜率。

3 全微分

其實，不光是 $x=C$ 或者 $y=C$ 這樣的平面可以和 $f(x,y)$ 相交得到交線，所有和 $xy$ 平面垂直的平面都相交得到交線，這些交線都會有切線（微分）。

這個平面相交得到的交線：

這個平面也可以：

總之，應該是360°無死角，自己動手試試：

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

如果這些切線都存在，並且這些切線（無數條）還都在同一個平面上（平面不是曲面），那麼得到的這個平面就是全微分（也叫做切平面，或者說切空間）：

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

總結，全微分就是：

360°微分都存在
並且這些微分要共面，得到的就是全微分

4 全微分與偏導數、偏微分的關係

根據全微分的定義，如果全微分存在，那麼偏導數、偏微分一定存在。

但是反過來不一定成立，即偏導數、偏微分存在，全微分不一定存在。因為偏導、偏微分只是 $x$ 或者 $y$ 方向的導數、微分，而全微分要求的是360°無死角。

舉個例子，看這個：

我們考察這個函數在 $A=(0,0,0)$ 點的全微分和偏微分的情況。

$f(x,y)$ 與 $y=0$ 的交線是：

平面與曲面所交曲線與 $x$ 軸重合：

在 $A=(0,0,0)$ 點的微分（切線）很明顯，就是交線（ $x$ 軸）自身，因此關於 $x$ 的偏微分存在。

但是 $f(x,y)$ 與 $y=x$ 的交線是：

在 $A=(0,0,0)$ 點形成了一個尖點，很顯然此時的微分不存在：

因此，全微分不存在。

總結，全微分與偏導數、偏微分的關係：

全微分存在偏導數、偏微分一定存在
偏導數、偏微分存在全微分不一定存在

微分、求導這些概念的思想，都是用一個線性變換來逼近一個可能是非線性的映射。
對於一個多元函數 $f:mathbb{R}^n omathbb{R}$ 而言，它是一個從n維歐氏空間到實數的映射。
記 $mathbf{x}=(x_1,x_2, ldots ,x_n)^Tinmathbb{R}^n$ ,

我們講 $f$ 在 $mathbf{x_0}$ 處可微，就是指 $f(mathbf{x_0+x})=f(mathbf{x_0})+Lmathbf{x}+varepsilon(mathbf{x})$ ,
其中 $L$ 是從 $mathbb{R}^n$ 到 $mathbb{R}$ 的一個線性映射，
$varepsilon(mathbf{x})$ 是關於 $mathbf{x}$ 的一個無窮小量，也就是說，對於任意 $xi>0$ ,總存在一個 $delta>0,$ 只要 $|mathbf{x}|<delta,$ 就有 $varepsilon(mathbf{x})<xi.$
直觀來講，以二元函數為例，一個函數在某點處可微，相當於是說函數圖像，也就是一個曲面，在這一點處有一個切平面，只要我們把自變數取得和這一點足夠接近，那這個曲面就和那個切平面足夠接近。
也就是說，我們用一個n維線性映射來逼近這個n元函數。

而我們要對 $f$ 在某點處求偏導，或者求方嚮導數，其實就是給定 $mathbb{R}^n$ 的某個一維子空間，現在自變數僅僅在這個子空間上變化，那我們就有可能僅僅用一個一維線性變換來逼近，這個線性映射也就是所謂的偏導數或者方嚮導數。
直觀來講，也就是這個函數圖像在某個方向上有一條切線。

一般可導只是可微的另一說法，沒什麼區別，除非你非要定義可導是指偏導數存在，一般都是說可微，而不說可導。

函數 $f:mathbf{R}^n omathbf{R}^m$ 說是在 $m x_0$ 處可微如果存在線性變換 $L(m x_0):{f R}^n o{f R}^m$ 使得
$lim_{{m x} o{m x_0}}frac{|f({m x})-f({m x_0})-L({m x_0})({m x}-{m x_0})|}{|{m x}-{m x_0}|}=0$
這裡 $|{m x}|:=(x_1^2+cdots+x_n)^{1/2}$ ，線性變換 $L({m x_0})$ 叫做 $f$ 在 ${m x_0}$ 處的導數。

根據定義立刻得到

函數 $f=(f_1,cdots,f_m)$ 在 ${m x_0}$ 處可微當且僅當各個分量 $f_1,cdots,f_m$ 在 ${m x_0}$ 處都可微。
如果 $f$ 在 ${m x_0}$ 處可微，那麼 $f$ 在 ${m x_0}$ 處連續，並且各個偏導數 $left(frac{partial f_i}{partial x_j}({m x_0}):=lim_{t o 0}frac{f_i({m x_0}+t{m e_j})-f_i({m x_0})}{t} ight)_{1leq ileq m;1leq jleq n}$ 都存在。
如果各個偏導數 $left(frac{partial f_i}{partial x_j}({m x}) ight)_{1leq ileq m;1leq jleq n}$ 在 ${m x_0}$ 的某個開鄰域內存在並且連續，那麼 $f$ 在 ${m x_0}$ 處可微。
線性變換 $L({m x_0})$ 在 ${f R}^n$ 和 ${f R}^m$ 中標準基 $alpha,eta$ 下的矩陣為 $[L({m x_0})]_{alpha}^{eta}=left(frac{partial f_i}{partial x_j}({m x_0}) ight)_{1leq ileq m;1leq jleq n}$ 。

很明顯，偏導數存在並不蘊含可微。

上述關於360度無死角的回答存在問題：

參考陳紀修的數學分析第二冊 P141-142

導只是一個方向微要求360無死角圓錐尖是不可微的但各方嚮導數都存在
說的不嚴密摺疊我吧

對於多元函數，可微指的是可全微分，可導指的是可偏導數。可偏導僅指多元函數沿著軸方嚮導數存在的意思。直觀感受是：可微意味著曲面在可微點處可以存在一個與其相切的平面。而可導就不存在這個特性了。

樓上說的基本到位了。
實際上，更一般的，求導，一定是沿著某個方向求導數。求導相當於什麼呢？相當於 $frac{partial f}{partial l}cdot frac{partial l}{partial t}$
$l$ 是高維空間的一條一階光滑線（即能求一階導），沿著它求導即當高維自變數沿著 $l$ 變化的時候，函數值的變化，所謂可導，就是沿著這個 $l$ ，是能求導數的（這一段說的很不數學，意會意會）。

而可微，是要求一個點附近都是光滑的，即對其領域裡的任意一個 $l$ ，都能求導數。

舉個例子，f(x,y)=x+y*sin1/y)
在0附近，只是可導（沿著y=0），而不是可微。因為在y方向上震蕩。

我想說這絕對是最容易懂的回答……！

以二元函數為例，一個可微的二元函數在三維空間可以直觀表現為一張「光滑」的曲面；而一個僅僅「可導」的二元函數，它所表現的曲面不但不一定光滑，甚至都有可能是不連續的。

例如分段函數f(x,y)：

第一段：當x*y不等於0時，f(x,y) = sqrt （1—x*x—y*y）

第二段：當x*y = 0時， f(x,y) = 0

打一個形象的比喻，這個分段函數的第一段很像倒扣在桌面上的半隻西瓜皮，函數值都分布在西瓜皮上，只不過沿著x軸、y軸的上方被切開了兩刀，形成了兩道縫；第二段表明，在x軸、y軸對應的位置，函數值都為0。

於是，在原點O(0,0)處，該二元函數的兩個偏導數都為0，或者說「可導」。但很顯然，這個二元函數是不連續的。

以前寫的

可微要求函數在定義域內出出可導（每一處偏導數都存在）且偏導數連續。比如如果一個函數在定義域內每一點處偏導數存在，但是如果某個偏導數是分段函數有斷點或者有折點，那麼就不可微。

看了上面的答案，都在說多元函數可導就是可偏導，其實並不特指可偏導，在數值分析里非線性方程組不動點迭代法那裡就引入了frechet導數，如果考慮多元函數在某點是否可導，這一點看做非線性方程組的解向量（不一定是精確解，因為這是個多元函數不是右邊項等於0的方程組），實質判斷frechet導數是不是存在，只需要代入含範數的定義極限式驗證。

二元全微分的，幾何意義就是不論哪個方向，趨近於這一點的切線都在同一個平面內

都只討論偏導，不考慮複變函數。