物理學中「作用量」這一概念該如何理解?

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最小作用量原理是個很神奇的東西, 可以導出各種理論. 但"作用量"本身是個什麼東西呢? 在國際單位制下它具有角動量的量綱, 或者是能量X時間, 這有什麼特別含義么?

以及, 計算作用量時被積分的那個拉格朗日函數代表了什麼? 一個物理系統的拉格朗日函數是如何獲取的? 是有一定規則, 還是根據經驗拼湊修補呢? 就我接觸過的知識看來, Lagrangian都是大神們先知先覺就給寫出來了, 或者通過某些神奇的技巧就給推出來了, 比如經典電磁場, 還有量子場論里的標量場矢量場等等. 就沒有一個通用規則說什麼東西的存在應該對應哪些項的.

當然以上概念作為抽象的理論要素直接接受也不是不可以, 就像能量這個概念其實也是挺抽象挺不直觀的, 只是日常生活常用, 大家習以為常了而已. 在此只是想了解下大家對此有啥自己的理解, 相互交流下.

類比：
解方程 $2x-3=0$ 相當於最小化一個函數 $x^2-3x$ 。
解運動微分方程，相當於最小化一個泛函，即作用量。
作用量的量綱，較有意義的類比，是與普朗克常數 $h$ 的量綱相同。有一種作用量的形式是（Maupertuis" principle） $S=intmathbf{p},dmathbf{q}$ 被積分項對應的是相空間中的體積元。
很多微分方程（不僅是物理學中的）都可以用變分法表示（可理解為最小化某個作用量），但是並非所有微分方程都可以。具體的適用條件還在研究，但已經有很多結果。涉及較深數學，請自己看這裡的討論。

因此請將最小作用量原理理解為微分方程的另一種 formulation，
並在相空間和不確定關係的基礎上理解其量綱。

1. 理論力學給了我們很多線索，在1D單個質點的情況下，L中常出現的是動能與勢能的差，即L=T-V。通過Legendre變換，得到H=T+V，正好是個守恆量，物理意義是能量。比如對於諧振子：
T 正比於dx/dt的平方, V 正比於 $x^{2}$ . 這裡沒有寫準確的表達式，因為你會發現這其實已經從形式上給出了很重要的東西。
2. L應該是在洛侖茲變換下的標量，這個要求很重要，尤其對於場論。
3. 從計算的角度講，如果研究場，它的泛函極值對應的微分方程應該是經典的場方程。如果研究是單粒子方程，則是經典的動力學方程。
舉個例子：
經典的電磁場的協變形式，即張量表式形式，及其有利於我們湊這個L的形式。
我們有： $A_{mu } ,(A^{mu} ),j^{mu},(j_{mu})$
還有： $F^{mu u}=partial^{mu}A^{ u}-partial^{ u}A^{mu},(F_{mu u},F^{mu}_{, u}...)$
經典場方程： $partial_{mu}F^{mu u}=j^{ u}$
這些量都是在處理經典的真空Maxwell方程時得到的結果。而且我們發現A的四維形式完美的把三維的A和電勢結合在了一起。
然後作類比： $partial^{mu}A^{ u}leftrightarrow dx/dt$ ，前者明顯比後者完整，是連續場中相比1D粒子情況下必須出現的東西。主要是將位置的梯度包含了進去，因為描述的是場，是物理量的分布。有人會問，為什麼不包含更高階的情況，實際上是有人作嘗試的。
光這樣當然不行，上面是dx/dt的平方，而且L必須是標量，於是自然想到張量的縮並可以，於是有：
$partial^{mu}A^{ u}partial_{mu}A_{ u}$ , 還不如直接用這個了： $F^{mu u}F_{mu u}$ . 好，算是動能項吧。看看1D的情況，還有 $x^{2}$ ,好吧，直接用A縮並就可以的！於是又有了 $A^{mu}A_{mu}$ ....諸如此類的類比和猜想。最後別忘了加上：

$int{d^{4}x}$
不論對於標量場，矢量場還是Dirac場，都會頻繁的出現 $partial^{mu},partial_{mu}$ 對場的作用，都是類比於1D動能。而場自身的平方，或是縮並，都類比於1D下諧振子的勢能， $x^{2}$

L的形式很多時候都是基於類比，對稱性的要求構造出來的，到底正確與否還得看和實驗的比較。

算是起個拋磚引玉的作用吧，並不那麼嚴謹。比如場論中矢量場的構造還得兼顧量子化時的需要，比如約束條件等等。那裡會有幾套量子化方案。。。嚴格的說來矢量場量子化是約束體系的量子化問題。。。。

前面回答的都不錯。
我就說一下拉格朗日量是如何構造的。
經典情形下，我們只需要用量綱分析即可，但是要記住，我們在經典場的情形下是可以不需要考慮相互作用項，分別說
標量自旋0場，克萊因戈登方案，引入原因是量子化薛定諤方程方案，四維動量。實際上的原因很簡單啊，拉格朗日量的量綱在4維時是4，標量場phi是1，partial是1，所以我們需要(partialphi)^2。
自旋1/2場，狄拉克方案，量綱分析法，arpsi量綱3/2partial是1psi是3/2。
矢量自旋1場，麥克斯韋方案，量綱分析同自旋0場。

量子化之後我們要考慮的東西就很多了，還要考慮重整化
舉個栗子，
考慮標量自旋0的相互作用phi^4，量綱分析phi是1，4個phi是4。同時滿足重整化要求的量綱分析。

所以寫拉格朗日量的第一步都是量綱分析。後來做出的理論直接應用量綱分析的聽起來不大一樣的是超對稱量子力學的拉格朗日量。然後用了數學推廣到2d 超對稱sigma模型。

後面如何寫拉格朗日量的方法就多了，比如在2維的情況下，我們將系統束縛在一個以標量phi為半徑的圓上，我們就可以加一項lambda(1-phi^2)這裡量綱分析是2維下，拉格朗日量量綱為2，標量自旋0場phi永遠是1。
再比如用凱勒流形作為限制寫拉格朗日量，得到sigma model。
等等等等，我們第一步寫拉格朗日量就完成了。
第二部是考慮（經典）對稱性。（我其實不太喜歡經典對稱性這個詞，經典對稱性只要說出來就意味著量子化後是不對稱的，否則就直接叫對稱性了，而量子化後不對稱說明自然界不存在這種對稱性，也就是說經典對稱性是不存在的。。。）對稱性可以再剔出一部分不可能的拉格朗日量。
接下來就要考慮量子化了！這個就是麻煩太多的事情，可以將拉格朗日量進行篩選。

1.以微分方程表述的理論可以從技術上改寫為一個積分形式的極值問題，但初看起來這並不夠，因為即便在作用量中導數項並不消失
2.這樣做的最大好處，個人認為是，理論的對稱性可以得到更徹底的彰顯。須知對稱性是物理學最根本的東西
3.修改理論變的更加方便。比如說你可以在作用量里增加新項，但不是胡加，如果你要求一些對稱性能留下來，而且相應的量綱匹配的話，能供你選擇的形式並沒有像隨便亂寫那麼自由。如果不用作用量形式而是直接修改微分方程，要保證上述這些要求得以滿足，事情會變得很難看。
4.修改理論的時候可以類比現有理論的作用量。或者用你深邃的物理學洞察力。當然最終的正確性要由實驗觀測決定。