傅里葉變換有哪些具體的應用？

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比如，在物聯網雲計算這些領域的應用。

一般FFT修復圖片都是些規則的花紋和特殊的污染。如下圖，如果是規則的三角函數條紋，在頻域範圍內它們就是很簡單的幾個點。

比如如下的照片，可見照片上面有著很有規律的條紋。那麼其FFT頻譜圖上面就會有非常規則的點。這些點就是條紋在頻域空間的對應。

如果擦掉這些點，做一次FFT反變換，那麼就能夠很好地恢復原圖像。但是，不可避免的，圖像變得有點模糊了~

一般而言，高頻率留下的是圖像細節。低頻率留下的是圖像整體。通過濾波永遠只會使圖像失去更多的信息，而不是增加細節。

然而對於林木然的這張圖，其頻率圖太奇怪了，雜訊根本沒有規律。傳統的FFT根本沒辦法消除雜訊的。

經過多次嘗試和 @Comzyh 一致。通過濾過高頻信號根本無法消除雜訊。

比較原答案先後兩張圖片的FFT值，可見，所謂的濾波結果的圖片反而多出了很多高頻率信號信息（黑色條紋）。因此，我推測結果下面第二幅圖是原圖，而第一張是加雜訊之後的圖片。這種雜訊並不是FFT擅長處理的，如前文所述，FFT擅長的是消除有規律的污染和雜訊。

林木然圖片中的女主是在《夏日香氣》出演的韓國女星孫藝珍，明顯是大光圈單反或者高清攝像機拍出的照片。說是FFT能修復雜訊達到如此的細節，也是在太為難這個技術了。

最後，使用的軟體是imageJ，其實現在photoshop 插件也支持FFT了。PS：在宇宙學裡面，離散傅里葉變換在數值模擬方法中有很重要的應用，是Particle Mesh 方法的核心演算法。核心思想是將不規則粒子規划到正規網格上，用傅里葉變化快速計算粒子之間相互的力和引力勢，通過這種方法可以極大地壓縮N體粒子運算量。

看到 @林木然的答案，用Mathematica 做了下試驗，效果沒有有這麼好。
首先輸入圖像

做離散傅里葉變換：

data = ImageData[ColorSeparate[image][[1]]]; {nRow, nCol} = Dimensions[data] fw = Fourier[data]; ListDensityPlot[Abs@fw]

結果是這樣的：

然後我們取個低通，先做個掩模，這裡只取整個圖片低頻的1/16部分：

low = 0.25; mask = Table[ If[Abs[(row - (nRow/2))/nRow] &> low Abs[(col - (nCol/2))/nCol ] &> low, 1, 0], {row, 1, nRow}, {col, 1, nCol}];

掩模（Mask）如下：

只要白的部分不要藍的部分

好了，對這個取過低通的圖像做逆傅里葉變換並畫出來：

Image[Abs@ InverseFourier[fw*mask]]

原圖

low = 0.25

low = 0.3

low = 0.4

用一個二維高斯對DFT後的圖像濾波，壓制低頻，結果如下

mask2 = ImageData[ ImageResize[ Image[RotateLeft[ Transpose[ RotateLeft[GaussianMatrix[100]*14341.83641834123 , 100]], 100]], {nCol, nRow}]];

可以看出用傅里葉方法做低通，效果並沒有那麼好，當然也可能是我姿勢不對。如果想自己試試的話，源碼（Mathematica）如下：

data = ImageData[ColorSeparate[image][[1]]]; {nRow, nCol} = Dimensions[data] fw = Fourier[data]; ListDensityPlot[Abs@fw] low = 0.3; mask = Table[ If[Abs[(row - (nRow/2))/nRow] &> low Abs[(col - (nCol/2))/nCol ] &> low, 1, 0], {row, 1, nRow}, {col, 1, nCol}]; ListDensityPlot[mask] ListDensityPlot[abs*mask] Image[Abs@ InverseFourier[fw*mask]]

代碼參考了以下回答，有興趣可以自己看看：
Calculate the 2D Fourier transform of an Image
How to use 2D Fourier analysis to clean the noise in an image

做了一點微小的工作，歡迎指正。

之前答主的答案主要集中在圖像處理方面，我來說幾個比較直觀的在工程方面的應用吧。

第一個就是頻率提取。比如，我檢測到一個信號是這樣的：

m=cos(x)+cos(10*x)+cos(50*x)+cos(100*x)+cos(500*x)+cos(1000*x);

這個信號裡面包含了六個不同頻率的正弦波信號。那它看起來是怎樣的呢？

看到這樣的一個圖，你有信心從裡面提取出什麼關鍵的信息嗎？

面對這種一團亂麻的波形圖，我們的內心是崩潰的。然而，現在對它做一下快速傅里葉變換，就得到這樣的頻域圖像：

很明顯就能看到，以pi軸為對稱軸（關於傅里葉變換的對稱性在這裡就不多展開了），pi軸左邊和右邊分別有六個峰，完美的對應原函數裡面六個不同的正弦頻率組合。這種提取在地震波信號分析、音頻處理等等常常是很好用的。

有時候，我們需要對一個信號進行檢測，但是實際檢測的過程中會出現各種各樣的干擾（靜電干擾，雜訊干擾等等）。假設我們需要檢測的原始信號是這樣的：

但是這個信號受到了這樣一個高頻雜訊的干擾：

所以我們最後只能檢測到這樣的信號：

上圖中藍線是我們實際可能檢測到的信號，而紅線是我們需要的真實信號。看著這一團亂麻的藍線，檢測人員的內心是崩潰的

然而有了傅里葉變換，我們不會輕易的狗帶。對檢測到的信號做一下傅里葉變換，得到：

假設我們已經知道需要檢測的信號是比較低頻的，而干擾雜訊是高頻的。那麼對得到的頻域信號進行低通濾波處理，得到：

也就是說我就只要低頻的信號，刪掉高頻的信號。對這個信號進行傅里葉反變換，得到：

上圖中藍線是經過傅里葉變換的信號，紅線是實際信號。再來看看我們原本檢測到的信號是什麼樣子的：

可以看到通過傅里葉變換和反變換，從一個完全雜亂無章的信號裡面，提取出了我們期望的低頻信號，而濾掉了高頻信號。

暫時說到這，有人看（點贊）的話再更新一些在求解微積分以及線性時不變系統中的相關應用。

我是學信號與信息處理的，傅里葉變換在我們這個學科里應用非常廣泛，具體的用途很多回答中已經提到了，我想從最基本的層面對傅里葉變換進行分析，因為在我看來，在搞明白傅里葉變換能夠做什麼之前，首先要明白傅里葉變換是什麼，然後一切都迎刃而解了。

首先考慮一個問題：函數長什麼樣？
也許會有人認為這是一個很弱智的問題，作函數圖是高中生的事情，難道我們（我認為討論傅里葉變換的應該至少在上大學吧）還不知道函數長什麼樣子嗎？
有些同學可能真的不知道，如 @張榮傑在回答中提到的

反正我是看著那些時域圖和頻域圖任憑怎麼聯想也沒辦法把他們聯繫到一起。總覺得這兩個圖差遠了。

如果知道函數長什麼樣，自然就不會出現類似的問題。

在信號處理中，一個函數（或信號）可以表示為時域和頻域兩種形式，平時我們所看到的函數曲線其實就是其時域圖，那麼頻域和它有什麼關係呢？舉個栗子

若函數 $f(x)=exp(j2pi 20x)+2exp(j2pi 40x)+3exp(j2pi 30x)$ ，下邊是它在-0.5s至0.5s之間的時域圖（實部）

頻域如下圖所示

如何把這兩個圖聯繫起來呢？首先創建一個三維坐標系，X軸、Y軸、Z軸分別為時間、頻率和幅度，然後將函數 $f(x)$ 按照其表達式分解為三個分量，分別為 $exp(j2pi 20x)$ 、 $2exp(j2pi 40x)$ 以及 $3exp(j2pi 30x)$ ，將這三個分量和信號的時域、頻域圖畫到三維坐標系中，則有

其中紅色、綠色、藍色分別對應 $exp(j2pi 20x)$ 、 $2exp(j2pi 40x)$ 、 $3exp(j2pi 30x)$ ，它們在頻率軸上所處的位置由其自身頻率決定。上圖即函數的樣子，而傅里葉變換的主要作用就是通過這個三維坐標系將函數的各個頻率分量分解出來，以便後續的操作。

在了解了函數（信號）的模樣之後，就可以繼續討論傅里葉變換的用處了，這裡只要牢記一點：任何信號都由多個頻率分量組成，而傅里葉變換可以將這個頻率分量分解出來。

1.去噪
之前 @凌晨曉驥所提到的是圖像去噪，屬於二維空間信號去噪，而在理論上傅里葉變換可以用於任意維度的時域或空間域信號的去噪，當然，實際應用中常見的還是一維和二維。其原理在於：信號中的有效成分（可認為是目標）和雜訊的頻率往往是不同的，在經過傅里葉變換之後，雜訊和目標分量在頻域上分別位於不同的頻率中，便於將其進行區分。

2.邊緣提取
在圖像處理中還有一個很重要的題目就是邊緣提取，也可以利用傅里葉變換完成，這是由於邊緣區域的色彩變化通常較大，頻率較高，而非邊緣區域色彩變化平緩，頻率較低。

3.濾波
顯而易見，只要信號的頻率不同，就可以分解出來。

等等等等

實際上，任何對於信號的操作都屬於濾波，而只要是濾波就可以利用傅里葉變換實現。
但是！（不錯，最後總是會有一個但是！）傅里葉變換隻是理論上的最優，它需要無限的信號長度才能準確的得到其中各個分量的頻率，而在實際應用中，信號的長度始終是有限的，所以需要使用其他針對有限長度信號的變換方式對其頻域進行提取。
另一方面，由於目前大部分信號處理都是通過數字信號完成的，受到採樣頻率和奈奎斯特採樣定律的限制，不可能得到信號所有的頻率分量。

PS：常用的傅里葉變換是把信號從時間/幅度平面轉換到頻率/幅度平面，另外還有一類分析方法時將其轉換到時間/頻率平面，稱為時頻分析，也可利用傅里葉變換的一種變形方法完成。

歡迎指正補充。

我說一個傅式變換在物理方面的一個小應用：
這是一張略微有些「磕磣」的單晶高分辨圖像，用的是JEM2100拍攝的，算不上高大上，但是解析度不算差：

注意看上圖中藍色的區域，我要看這顆單晶邊緣的晶格條紋，出現的圖域信號是這樣的：

幾乎是無法標定條紋的間隔，但傅式變換的好處之一就是它可以將原始圖像中的信息(實空間)在倒空間中顯示，而和原始圖像相比，變換後的圖像含有同樣基本的信息。
如果原始圖像中有周期重複的細節(比如，晶體中的晶格條紋)，那麼在相應的傅式變換中就會有很強且有周期性的點子(衍射斑點)出現。這些衍射斑點和圖像中的周期信息一一對應。
我做了一個FFT，如下：

用環形濾波把周期性排列的點陣保留下來，再做一個反傅里葉變換：

再看一下，藍色區域的信號分布：

明顯比原來的要更有周期性排布：

當然了，肯定會有部分信息失真，但是你可以看到原有的「位錯」或者材料的缺陷形式在反傅里葉變換中得到了很好的保存。
另外，傅里葉變換還可以將不同排布規律的衍射點陣清晰地區別開來：

這個只是傅里葉變換在某個小領域的一個很小的應用，按照wiki的說法：

傅里葉變換在物理學、聲學、光學、結構動力學、量子力學、數論、組合數學、概率論、統計學、信號處理、密碼學、海洋學、通訊、金融等領域都有著廣泛的應用。

引自Fourier transform

最後，大家看一張二次衍射和超晶格的衍射點陣：

我來解答一下，我是學分析化學的，但同時我本人對計算機感興趣，擅長數學（愛好數學）
1 現在光譜中有傅立葉紅外光譜，他發出的信號是關於時間的光強度，需要將他變換為關於頻率的光強度。這是其中一個應用吧。書中關於此轉換的公式有可能是錯的，或者是我本身理解錯誤，總之這也是對於傅立葉紅外光譜處理的一個重要的內容
2 對於其在圖像處理上的應用已經有人敘述，主要是圖像壓縮，PS圖像中的變換處理。
3 對於信號來說，傅立葉變換是一種諧波分析。
4 從數學來講，變換是一種母函數的思想，這個思想是非常重要的，對於理解此及解決很多問題可以算是一個非常大的捷徑。
5 傅立葉變換可以求解常微分方程，這個太棒了。原來這些常微分方程也是由於激勵函數與響應函數相關的。大學裡學的還是圖樣了。
待補充=======

本人非常非常討厭國內教材那種很噁心的表達方式，總之就是要寫得鬼都看不懂，一上來就跟你掰公式，完全不告訴你這是什麼東西，為什麼要這麼做，有什麼用，基本原理是怎樣的，對初學者非常不友好。清華大學出版社嘛，一群老頭子在編的書，編。既然是編的書，肯定無需對讀者負責，作者只需要寫好他要寫的章節，結果到頭來整一本書像字典，要不然也體現不了他們水平。

你看看樓上那些表達，基本都是深受這類所謂教材毒害的表現。

信號，比如生活中一個聲音信號，整個波形是混亂看不出規律的。但是傅立葉就說，其實一個信號再怎麼亂，也不過是由簡單波形的組合而來的，比如正弦波。高頻率，低頻率的正弦波，按不同比例調配起來能得到你最終要的那個混亂不堪的聲音信號（就是這麼神奇）。聲音信號千千萬，只是取決於比例有千千萬。

也就是說，信號是可以分解的，分解成一組簡單信號。比如你站在汽車旁邊，發動機發出低沉的聲音，而此時有隻蜜蜂在你耳邊嗡嗡嗡發出高頻率的聲音。那你此時耳朵聽到的不是兩個，而是一個聲音，即蜜蜂的高頻跟發動機的低頻混合在一起的一個聲音。

這個信號混亂不堪，但是傅立葉說，其實可以用一個方法，分析出這個信號各個頻率的比例是多少的。

傅立葉變換，就是這個方法了。

學過高中物理的同學都知道了，電路中電感跟電容有兩個很特別的屬性，電感是高通低不通，高頻電流過得去，低頻電流被過濾掉，電容則相反。電感跟電容可以組合起來，用來過濾信號，但是怎麼組合呢，濾掉多高的頻率，濾掉多低的頻率，數值從哪裡去取呢，看傅立葉變換一個信號後得到的頻率比例圖，你就好做決定了。

有什麼用呢，比如你在錄音，麥克風質量不大好，始終有個固定的高頻電流聲（吱吱吱），於是最終的音頻文件記錄下來的信號就是你的聲音跟電流聲混在一起的那麼一個信號。這個時候你就可以在電腦上用傅立葉來分析看看，過濾掉頻率過高的不可能是人發出的，然後提取出純粹的人聲。

數字圖片中，一個顏色有一個值，比如紅色跟藍色就是用不同值表示。你拍了一張藍天的照片，畫面基本就是藍的，但相機不大好，出現噪點，噪點是紅色的。把這張照片的像素從左到右從上到下一個個，類似柱狀圖那樣把顏色值表示出來，就變成了一個信號波形（Photoshop 有提供這功能），波形總體就是平緩的一個波形，因為都是差不多的顏色，顏色值差不遠。但就是有一個尖峰，尖峰其實就是那個紅色噪點。一個信號會出現尖峰，說明這個地方混入了高頻率信號。這時傅立葉分離高低頻率的能力就可以拿來圖片降噪了。

湊個熱鬧！天文觀測中干涉儀工作的基本原理，傅立葉變換是非常重要的一步。干涉儀（干涉列陣）收集到的光子轉成電信號，通過電信號做內積得到一個visibility的量V(u,v)，對V(u,v)做傅立葉變換，就能得到觀測源的光強(intensity)分布。
上圖：
觀測中得到的uv data是這樣的：

不明覺厲……
做傅立葉變換後，就能看到觀測源的光強分布：
註：感謝評論中袁小超提醒，做完傅立葉變換後需要在做反卷積才成圖。

得知這個工作是在一次對干涉儀基本原理的介紹的lecture上，具體推導可以看這裡：
http://events.asiaa.sinica.edu.tw/ssp/viewFile.php?i=4ecf2728175ae4a994aa268eab338630t=L
這個工作實在太漂亮啦，印象十分深刻，當時差點就想去做觀測了……
然而很多細節我並不太明白，如果哪位這個領域的同學能介紹下那就太好啦～

傅里葉變換是一種非常重要的工具，更重要的是它提供了一種看待信號的不同視角。

傅里葉變換將信號視為高頻和低頻的加和性混合。但是對於初學者，「高頻」和「低頻」的說法恐怕並不直觀，唯一能夠聯繫上的也就是相應的正弦信號的頻率，但是這個正弦信號的頻率有什麼意義呢？其實，更直觀一點的說法，應該是信號變換的快慢：同樣幅值的高頻的正弦信號的導數絕對值大於低頻正弦信號的導數絕對值，即高頻正弦信號變化得比低頻正弦信號要快。信號中的突變就包含了高頻分量，而信號如果是緩慢變化的，特別是用接近於正弦曲線的周期起伏方式緩慢變化的，那這個信號就主要由低頻分量構成。

將信號的不同部分用頻率的方式來區分，這種方法之所有有效，很大程度上是由於不同頻率的分量往往具有明確的物理意義：當我們處理的是聲音信號時，信號頻率對應的就是相應的音調，低頻信號對應低沉的低音，而高頻信號對應尖銳的高音。讓我們感覺不快的噪音，更多的是尖銳刺耳的那種聲音，因此主要體現為高頻分量；當我們處理的是比如說股票價格的時間序列時，高頻分量對應的就是短期內股價的波動，而低頻分量對應的就是長時間內變化平緩的總體股價走勢；當我們處理的是二維圖像時，高頻分量就體現為隨空間位置的改變而急劇變化的圖像灰度，從視覺的直觀效果來看就是圖像中明顯的邊緣輪廓，而低頻分量就體現為灰度隨空間位置逐漸地、柔和地變化，比如很多人頗為欣賞的所謂的「虛化」的效果。此外，被加性隨機雜訊污染的圖像，即圖像中的每個像素的灰度值被隨機地增大或減少，從視覺效果上來看，就是局部的各種「麻麻點點」，而這些雜訊主要被作為高頻污染被人們所察覺。當然，要注意的一點是，如果疊加的雜訊是「白雜訊」，那麼雜訊分量將遍布整個頻段。實際上，白雜訊名字的由來，就是因為雜訊具有均勻的頻譜（從低頻到高頻的整個頻段上雜訊的幅值相同），與理想的白光的特性相同。

那為什麼要將信號轉化為頻率分量來處理，或者說為什麼要把信號處理的工作由時域（空間域）轉化到頻域進行呢？這是因為，不同頻率的信號分量在時域（空間域）中的每個時刻（位置）都是完全混疊在一起，從時域的角度來看難以區分，但是在頻域中，它們則是完全分離的：不同的頻率分量獨立地位於頻域中的不同位置（頻率）處，因此我們可以有選擇性地單獨針對某個或某些頻率分量進行處理。比如我們現在覺得聲音信號中有高頻噪音，那麼通過傅里葉變換，我們便將雜訊主要集中於高頻段，而與中、低頻段的有用信號分離開來，然後通過將高頻段的信號分量設為0，即取消或」濾除「掉高頻分量，便能夠消除高頻雜訊的影響。

頻域處理尤為有效的領域，是對周期性雜訊的處理。因為隨機白雜訊遍布整個頻段，而且對於圖像而言，大量有效的視覺信息（邊緣輪廓）本身就主要處於高頻段，因此使用一般的低通或高通濾波，總是會在濾波的同時模糊掉輪廓，或者在增強輪廓附近的圖像對比度的同時強化了雜訊。對於位置不變的線性濾波器而言，這是一對不可調和的矛盾。但是對於周期性雜訊，它往往集中於某個或某幾個孤立的頻段，因此有可能在不影響大部分有用信號分量的同時，採用」斬首攻擊「的方式去除掉這些雜訊分量。例如 @凌晨曉驥就給出了典型的例子。而周期性雜訊在時域（空間域）中的處理則很不容易：因為周期性雜訊本身並非」隨機「雜訊，而是一種確定性的信號成分，因此完全有理由利用這種確定性來儘可能準確地還原出真實的信號，但是怎麼樣選擇適當的濾波鄰域（即參與濾波運算的信號採樣點），並採用適當的權值來進行加權和以完成濾波，在時域中並非顯而易見。相比之下，對於隨機雜訊的常用時域（空間域）平滑操作則更易於理解和分析：取一個適當大小的鄰域，在該鄰域內信號的真實值認為基本不變，而鄰域所包含的採樣點的數量又足以通過平均的運算來將均值中的雜訊方差降低到所需要的程度，這些都是可以根據雜訊的分布特性來確定的。

從我個人的工作來看，現在直接利用頻域濾波的情況比較少，更多還是在圖像域（空間域）上來進行卷積。當然，針對周期雜訊，一種非常好的濾波器設計思路是首先在頻域中設計頻域濾波器，然後求該濾波器的逆傅里葉變換，得到其空間形式，然後在空間利用卷積操作完成濾波。這是由於常用的濾波器常常具有緊緻的空間分布，即主要的少量權值都集中在較小的空間範圍內，因此可以構造出一個較小的空間濾波器，而空間域的卷積操作也可以通過硬體快速實現，例如DSP晶元就專門針對卷積濾波操作優化了數據存取的流水線結構。

希望上面所說的有助於說明頻域處理的用處。其實應該加上些示意圖的，不過最近實在時間緊，以後再補吧。

另外，針對 @林木然所給出的例子， @Comzyh 等知友都已經指出了其中圖片的不可信。我個人也認為，利用頻域的線性低通濾波，不管是對高斯雜訊還是椒鹽雜訊，都不可能取得那樣的去噪效果。實際上，我個人幾乎可以確定，原圖是經過椒鹽雜訊污染後，利用中值濾波所得的。而中值濾波作為一種基於排序的非線性濾波器，沒有頻域表達，因此用在這個題目下面，是完全具有誤導性的。

好像這個應用沒人說！
平時我們每天使用的4G信號是通過傅里葉變換生成的，每天用手機上網的時候我們都在使用傅里葉演算法。
4G通信的物理層技術是OFDMA, 原理很簡單，就是把很寬的帶寬例如20M，分成一份一份的小的窄帶寬，把大數據量分散到每個窄帶上傳輸。這樣生成的信號頻域表達式就是一個對時域信號進行並行化之後的傅里葉反變換。
這個切割寬頻信號為窄帶信號進行傳輸的想法樸素而又古老，只是等到快速傅里葉變換演算法出現之後才有了實用的可能。

Fourier變化就是換個視角看問題，最基礎的一個應用：
有如下正弦信號
$x(t)=sin(2 imespiomega t + heta ) + n(t)$
其中 $x(t)$ 是你採樣得到的信號，你需要估計頻率 $omega$ , 傅立葉變化就是最直接的方法。
一句話：單音信號頻率的估計

我只知道，傅氏變換，在電力系統繼電保護領域，用來計算電壓電流的有效值（當然，幅值也就同時可以得到）。

原理是這樣的，微機保護系統，通過互感器，把線路上的電壓電流，變換到一個較低的數值（可以瞬時測量）。採樣系統，以固定的頻率（稱為採樣頻率，這個相當於你照相的解析度，要獲得清晰圖像，必須相對於被拍攝物體而言，有更高的解析度，也就是用足夠多的像素來描述這個物體，例如，所謂打馬賽克，就是降低採樣頻率，因此要測量基波，採樣頻率也必須是電力系統基本頻率50hz的很多倍，以分辨出基波），採樣測量線路上的電壓電流的瞬時值。

把最近採樣得到的點（離散信號，也就是一組數值），分別和已經準備好的一組係數（這些係數已經事先計算好了）相乘，並累加，結果就是基波的有效值。

假設對電壓採樣點是 u1, u2, ..., un；（如果這些採樣點在時間上的分布，正好覆蓋一個 50 hz的基波正弦波周期，也就是每 20 ms 采 n 個瞬時電壓值，則該演算法叫做全波傅氏演算法；同理，如果覆蓋的是一半周期，稱為半波傅氏演算法）。

由於是交流電，所以電壓的瞬時值 u1 ~ un 是一個周期正弦波上的分布均勻的點，具體值是波動的，各自不同。

對這 n 個點，有一組事先已經計算好的常數，c1，c2，。。。，cn，

它的計算過程就是：c1*u1 + c2*u2 + .... cn*un = 電壓有效值;
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保護系統的作用，就是時刻監視（因為它在持續不斷的採樣和計算）線路的電壓，電流等數值，把這些測量數據，代入一個實現設置好的判據公式去計算，符合動作條件（例如一個線路發生了短路）時，發出動作指令給對應的開關（斷路器），對應的斷路器斷開，從而把發生故障的最小電網局部，從電網中快速的切除出去（以免對電網整體構成更大影響）。

也就是說，計算機系統，以高於 50 hz 的頻率，在測量電壓，電流等數據。然而，在發生故障時，由於它是基於最近 20 ms 的採樣點來計算的，也就是它在時間上沿用了「歷史上20ms」的數據，因此，從故障發生，到我們「檢測到故障」，會有一段時間上的延遲。

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以上計算，是相對於理想的基波頻率而言，而實際情況是會存在，高頻率的諧波成分，故障時的直流衰減分量等，這些會對計算造成干擾，使得結果會不準確。

全波傅氏和半波傅氏演算法的比較是：
（1）全波結果精確度高，但是計算周期長。（意味著切除故障部分的速度慢）；
（2）半波結果精確度低（更容易受到高頻諧波，直流分量的干擾），但是計算速度快。（意味著保護動作的速度更快，但是誤動風險更高）。

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繼電保護的研究領域，一個方向就是，嘗試去發現，計算速度更快，結果更準的演算法。以達到提高電網的可靠性和穩定性的目的。

P.S.畢業後再也沒寫過代碼了，都是靠記憶+百度寫的，想表達的是頻率域處理圖像的思路，如果細節表述有誤請大家輕拍指出來就好。
P.S.又P.S. 圖像是網上找的，如有侵權請指出來，立刪。原圖應該是先添加了雜訊後再去處理，所以效果會很明顯，實際操作過程中還要看具體情況，不詳述了。
P.S.又P.S.又P.S.不少同學站出來拍我的這個答案有問題，前面已經解釋了，我是靠回憶+百度搜圖的，我只能說從圖像域轉到頻率域來修圖這個思路是完全沒有問題的，但可能給出的示意圖存在誤導。但是我也暫時不修改了，畢竟畢業之後就開始做了marketing，coding這些東西真的快忘光了，現在還真的沒有精力去嚴謹地求證這件事。初衷只是想分享一些好玩的數學思路，但經不起大牛們的仔細推敲，所以請別再點贊，大家讓這個答案自然冷卻就算了吧。

——————————————以下是原答案——————————————
用來美顏！美顏！美顏！
重要的事情說三遍。

沒錯傅里葉變換很重要的一個應用領域就是數字圖像處理，就是我們常說的磨皮美顏。
簡單來說原理是這樣的：

（1）基於傅里葉變換，把一張圖片從 圖像域 轉化為 頻率域。

所謂圖像域，就是我們日常看到的圖片，長這樣：

而根據傅里葉變化，這張圖可以用一系列的不同頻率的函數的疊加來表示，圖片從圖片本身，變成了一個公式：Pic=A+B+C，於是這張圖片就變成了這樣：

雖然看起來很不可思議，總而言之上面兩張圖是同一個信息的兩種表現方式。
如果太難理解，可以想像一下，一首歌可以是你用耳朵聽到的聲音組合，但是在很多播放器里會出現這種樣子：

經過傅里葉變換會變成這樣：

也成了多種頻率波形的組合。
（感謝@Y ing 提醒，原來的配圖只是時域的圖）

（2）去掉頻率域裡面高頻的部分。
回到（1）中的原圖，各種噪點，如果在圖片中去噪（也就是磨皮），你就需要一點一點地摳掉，非常麻煩。但那張圖片到了頻率域中，所有獨立的噪點都變成了高頻函數表現的部分。
（對於一幅圖像，高頻部分代表了圖像的細節、紋理信息；低頻部分代表了圖像的輪廓信息。）

於是在頻率域圖片里，我們把高頻函數直接砍掉。假設原來是Pic=A+B+C，C是高頻部分，那麼去掉C之後，Pic=A+B，頻率域的樣子就變成了這樣：

（3）把Pic=A+B再轉回圖像域，所有的噪點就消失了，瞬間美美噠。

於是如你所見，傅里葉變換拯救了無數的妹紙。

雖然我對傅立葉變換了解不多。。。（那公式我到現在都沒記住）但是我還是想在這裡說一下我的解釋：（不排除有錯誤）是這樣的，傅立葉變換其實可以看成一種演算法，或者說它只是一種手段。這種手段目的是把信號中不同頻率的成分給取出來，這是最重要的。至於什麼叫信號呢，能攜帶信息的都叫信號（比如光線，聲音），那為什麼要分離出不同的頻率成分呢？這麼做的必要性在哪裡呢？頻率只是信號的一個特徵，它可以用來識別信號，最終目的其實只是為了獲取這些不同的信號。我還是舉個例子吧，樓主你肯定知道光經過三稜鏡的色散實驗吧，不知道或者忘記了就稍稍百度一下。自然光經過三稜鏡變成不同的七種顏色的光，這裡的三稜鏡其實就是起了個＂分離信號＂的作用，只不過它三稜鏡利用的是波長（好像是，我有點不太確定）這個標誌區分不同的信號，傅立葉變換利用的就是頻率。。。。

不知道樓主明白我意思沒？我就是想說，分離信號這種行為才是最關鍵，最必要，甚至最常見的行為，以至於我們無時無刻都在進行這種行為，比如我們耳朵能聽到不同頻率的聲音，就是高音和低音，聲音是由物體振動產生的，靠介質傳播，讓我們聽到，傳播的時候這些信號是能纏在一起的，但是為什麼人耳能聽出不同高音和低音呢？就是因為可能人的聽覺神經（這是生物機理，我不了解，但是大概是那個意思）能把不同頻率的聲音區分開，我們的大腦或者聽覺神經是否做了傅立葉變換這我不知道，但是可以肯定的是，傅立葉變換就能起到這個效果。

我再總結一下啊：傅立葉變換之所以必要，是因為＂分離不同信號＂對我們人類來說已經是必須做的事，已經是無時無刻不在做的事！（以至於我們人類自己都沒意識到）比如：看見不同的顏色，聽到不同頻率的聲音，甚至嘗到酸甜苦辣咸這五種不同的味道也是一種識別不同信號的表現。而傅立葉變換已經是一種最簡單的通過頻率來分離不同信號的方法了！如果想造一台機器把自然光中的七色成分分離出來怎麼辦？用三稜鏡！如果想造台機器把一段音頻文件不同頻率的聲音頻譜顯示出來怎麼辦？傅立葉變換！

ps第一次在知呼寫這麼長的回復，如果大家發現我的答案有問題，請一定告訴我，幫助我進步，感激不盡！

比如聲音信號，傅立葉變換直接告訴你它的頻率譜，而這通常遠遠比直接看時間-振幅要有規律得多。然後，一大堆後續分析就構建在這上面。

$x^{n}=1 ,nin N$

這個方程的根構造一個乘法循環群。然後可以構造一個正反對稱的蝶形變換。由於正反變換對稱，一個硬體就可以方便的進行2種變換（輸入輸出反接即可），而且複雜度是nlogn。唔變換出來的結果有什麼用呢？

化時間為XX，化XX為時間。這是最常見的用途。

時間很難進行「分配」，或者說很難準確的「分配」，雖然現在GPS提供的精確定時服務已經在3G 4G上使用，但是往往使用的成本都很巨大。那與其分配時間（時隙）不如分配時間的某種變換。

比方說我行政命令北京時間奇數豪秒允許聯通用戶通信，偶數毫秒允許移動用戶通信，這樣的劃分無疑太不方便了，而且哪怕是高精度的石英晶振，依然會逐漸累積誤差，很難去糾正。一但產生的誤差足夠大，就會影響到別人。而且用戶的手機不能停電，必須時鐘一直在走，記錄自己是在偶數還是奇數毫秒，否則就會失去同步。

那我們可愛的先人發現了，可以對時間進行蝶形變換，變換成XX，然後把時間誤差變化為一個叫做「相位誤差」的東西（這個叫「相位」的東西，單位是時間乘以XX的單位）。這下好了，某個XX上的時間誤差只會影響到他自己的「相位」。如果對XX進行分配，那麼時間誤差就各歸各，不會影響到別人了。

當然問題來了，XX的分配能不能比時間精確呢（不然「時間漂移」的問題又會轉移為「XX漂移」）？可愛的電子先驅們成功的做到了這一點。用各種線圈，電容器，硬是找到了一種可以很精確進行分配的「運算中間值」。他們給這種玩意兒XX稱呼為「頻率」。這裡面的重大成果包括運算放大器，天線，濾波器等等（運算，分配，獲得分配的結果）。這些東西他們的參數設計合理的話（沒有正反饋），可以和時間無關，通電之後就可以正常使用（無狀態的負反饋會讓元器件收斂到工作參數條件下，精確頻率付出的成本比精確定時的成本小多了。而且最重要的是，誤差不會隨時間累積！！）

有的人可能會說，頻率是客觀存在的，不是人為發明和定義的，女人和男人的聲音天生就有某種不同，藍光和紅光也只有「某種」不同。沒錯，這證明了大自然的巧奪天工，也證明了對人類「頻率」這樣一個虛無的東西的定義是合乎自然法則的。

$x^{n}=1 ,nin N$ 。這個東西的結果絕對不僅僅限定ｘ為複數，如果ｘ定義在其它域上，你會知道上面的方法在很多地方都有廣泛的用途，所以這種蝶形變換有很多種變形，什麼離散傅立葉變換，有限域傅立葉變換，哈達瑪變換，，，。自己多看看吧。

按照理論課的角度去說：
傅里葉變換隸屬於信號與系統學科，所以他的應用基本上分為兩個方面，就是信號和系統，大的角度下分成兩個：
1.信號處理中的應用：主要是用於信號的頻域分析，因為很多情況下一個信號從時域去直觀進行處理是非常困難的，但是從頻域處理就會容易很多，比如最長規的濾波處理，假設針對cost+cos10t，它的時域波形是很難看出是什麼東西的，但是如果進行傅氏變換後就可以很明顯的看出只有兩個頻點具有信號，那麼要提取誰就會只要通過合適的濾波器就行了，但是如果你只去觀察時域波形的話，你根本不可能知道要怎麼操作
2.通信系統中的應用，主要體現在傅里葉分析法上面，很多理論的提出都是基於傅氏分析法，比如奈奎斯特準則的推導就是通過傅氏變換，最終的表現形式也是傅氏變換
至於傅氏變換在實際中的應用，樓上幾個答主已經舉例在數字圖像處理中的應用了，總之頻域分析是一直與時域分析不同的全新分析角度

首先你要能夠認為傅立葉級數是 well motivated 的. 然後...我找來了多年前寫的一點東西:

信號分析應用案例：
我在我編寫的《信號與系統分析和應用》一書中單獨設立了第12章信號分析應用案例（軸承故障診斷），主要介紹利用傅里葉變換進行軸承故障診斷，這本書已在高等教育出版社出版發行，書中給出軸承振動信號數據和分析程序，希望大家提出意見和建議。

用來算多項式乘法
硬算的複雜度是n^2，但是你把兩個多項式的係數看成兩個矢量做快速傅立葉變換，然後點乘，然後再做一遍逆變換就出來了，複雜度nlogn，我也不造為什麼…………………………