大學數學系4年要學哪些東西？

12-27

初中因為家庭原因和自我原因，錯過了高中和大學，高中課程已經自學完了，現在想看看大學教程。

謝謝各位。虛心求教，望相助。

我看了很多回答，謝謝各位的幫助。首先我個人偏愛文學和數學，雖然我沒有經歷過高中和大學的教育，但我想這並不能使我放棄學習。這個時代是讓人幸福的時代，我能不費力氣接觸很多東西，這點讓我很慶幸和滿足。我只是很簡單的想著學點東西，這些東西雖然看似簡單無用，但我想來，很有必要。他能讓我更加熱愛生活。終點不知道有多遠，但我能一路走下去。各位的幫助讓我很感慨，我想來，這個年代學習並沒有那麼多的困難，我只需要踏實學下去就好了。至於能有多高的成績，我自己滿足就好了。常懷一顆簡單之心，感謝時間。

我來報一下課（cai）程（ming），標記一下順序，教材你選國內藍皮那套就可以：
其實不同的學校難度不同，要求不同，我列出來的是一般意義上本科生需要知道的。但是，沒學過不要覺得覺得「我是一個假的數學系學生」。後面帶「（自選）」的意思可以學也可以不學，無所謂，加黑的是一定要學好的。1,2,3,4表示的是順序，越低的一定要先學。本科挺靈活的，如果有個人興趣，學一些introduction to 交換代數，代數數論，解析數論，群表示論，代數幾何都可以。當然了，這些都不學也無所謂。如果你對應用數學感興趣，可以學有限元方法，有限差分等等。
說一句：學習數學有一個深度vs廣度的問題，要好好把握這個分寸。不是學得越多越好，也不是簡單的學得越深越好。這中間的度看個人追求和興趣。
分析類：
數學分析 1
複變函數 2
實變函數（實分析）3
調和分析（自選動作）4
隨機分析（最好先學概率論）4
泛函分析（學到運算元代數就可以了）4 (後三門沒有必然的前後關係)

方程：
常微分方程和動力系統 2
偏微分方程 3
sobolev空間（自選動作）4 （需要學過泛函分析）

代數：
線性代數 1
抽象代數（到galois theory論）2
範疇論（自選）3 ？
代數K-理論（自選）2.5

拓撲：
點集拓撲 2 （盡量在泛函分析之前）
代數拓撲 3 （學到上同調論就可以了）

幾何：
微分幾何
微分流形 (學到de rham theory即可，2 ，理論上學完線代和數分即可，還有同調論和一些抽象代數的知識 )
黎曼幾何（2.5 只要會一些流形的知識就可以看了）

雜七雜八：
數值分析（2）
最優化控制（3）
數理統計
運籌學（自選）

*瀉藥。

我也說說俄羅斯數學繫到現在學了啥(大四還有最後一個學期不清楚會有啥課)。我們的課分為必修課和選修課，這裡選修課和國內大學選修什麼軍事理論，國防教育不一樣，俄羅斯大學選修課是實打實的選修，比如小波分析及其應用，差分方程，半群理論等，難度比必修課要大，一般是建立在必修課已經完成的基礎上，往深了講。大學四年幾乎沒有上過可以蹭學分的課程，大部分都是主課，僅有的蹭學分的就是外語(選的俄語)，歷史，政治，社會學這些的了。另外，在俄羅斯的大學中，所有的課程可以分為三種範疇：討論班(семинар) , 理論考試(экзамен) 和 實踐測試(зачёт) 。

·討論班就是教授提出一個ideal，然後大家開始自己查資料了解，在課堂上和教授一起討論自己的見解並且試圖證明或者推翻這個ideal。這種形式的課程本科很少，因為本科學生水平並達不到那樣的廣度，所以討論班沒有太大的必要性。一般只要參加了討論班，無論有沒有結果，是否能證明出來都會給過，不用考試。
·實踐測試是指這種課程要求達到「知道怎麼做題，理論知道個大概就行了」。 實踐測試的考試形式就是發一張卷子，做完交了就行了，不會涉及太多證明的內容。
·理論考試是指這門課是以理論考試的形式完結。這是所有課程中最變態的一種形式，因為期末考試的卷子上會出現40-60道理論題目，這些理論題目不是證明那麼簡單，而是需要按照題目給出相應的定義，引理，性質和相關定理以及他們的所有證明。每一道題目的回答內容大概是2頁A4紙那麼多，40道題目基本等同於一本書的內容，所以是非常恐怖的。比如這學期的數學物理方程考試題目一共36道，老師隨機抽2道理論+一道習題，答對兩道及格，三個全部答出，五分，如果都答出來，但是有一道內容不完整，那麼四分。內容大概是

第一道題目是「雙曲型偏微分方程邊值問題在線段上解得存在性定理和證明」，那麼回答就需要回答什麼事雙曲型偏微分方程，它有什麼性質，舉個例子（比如波動方程），然後寫出定理，然後證明這個定理。所以一般遇到理論考試都是是非常累的，連續熬十天夜就為了得個三分（五分是滿分，四份良好，三分及格，兩份以下就準備補考吧，一共有三次補考機會）再加上老毛子跟德國人一樣，基本上不把你當外人，外國人照樣按照本國人要求考你,我真是"有句媽賣批不只當講不當講"了...

綜上統計，平均一學期大概是九到十門必修課程其中包括：0-1門討論班，2-3門實踐測試，4-5門理論考試。

接下來我想記個流水賬，簡單講一下大一到大到底學了哪些東西，一些心得和個人的看法，僅供參考：

大一：
數學分析（理論）兩個學期
數學分析（習題）兩個學期
高等代數（理論）兩個學期
高等代數（習題）兩個學期
解析幾何（理論）一學期
解析幾何（習題）一學期
計算機演算法概論理論兩學期、上機操作兩學期
選修外語（法語，德語，英語，外國學生可以選俄語）兩個學期
俄語理論一學期
俄國歷史理論一學期、討論班一學期
總結：
大一總體來說比較輕鬆，學的東西大多都是基礎的東西，有現成中文教材可以看，所以總的來說過得比較輕鬆。基礎課自然是沒什麼特別有意思的，按部就班的來，比如數學分析就是講極限，實數連續性，集合論，微分，積分，級數這些的，按照華東師範大學藍本教材看即可，高等代數就是講兩個：線性代數和多項式環，直接看丘維聲老師的《高等代數簡明教材（上下）》即可，大二還講了選擇公理，糾錯碼，自動機理論，也不難找到對應的中文教材。看起來確實也不是很累，但是正因為不累，所以時至今日我還是非常慶幸大一不是太大的壓力，讓我有一個空檔期可以把俄語追上來，因為我總共入系之前只學了8個月俄語預科，可以說只能簡單交流，連複雜句子都講不了，當時上課是完全完全聽不懂的，大家可以試想一下假設自己不會英語，然後用八個月開始學英語，然後馬上派到比如哥倫比亞大學數學系開始上課是什麼一種懵逼的感覺。而這一年我用了所有課餘時間拚命學俄語，結果到第二學期下學期開始的時候我已經可以完整記錄一堂課筆記了。
另外值得一提的是，我們的演算法課用的語言很奇葩，不是C也不是java,c++,而是一種很奇葩的語言 -- LISP...的一種變體 -- Scheme. 這種語言非常奇葩的地方就在於我們平時寫一加二是這麼寫的「1 + 2」而這種語言裡面所有數字的運算都要用「反波蘭式範數」來寫，比如還是一加二寫出來就是"1 2 +" ，而"1 + 2 - (3 - 4)" 寫出來就是" 1 2 3 4 - - + "，然後用這種奇葩語言來寫比如快速排序法，比如二叉平衡樹...

大二：
數學分析（理論）兩學期
數學分析（實踐）兩學期
抽象代數和離散數學理論一學期，討論班一學期
微分方程（理論）兩學期
微分方程（實踐）兩學期
實變函數理論一學期，討論班一學期
微分幾何理論一學期，討論班一學期
物理（理論）一學期
物理（實踐）一學期
計算機理論兩學期，實踐兩學期
哲學理論一學期、討論班一學期
其他就是體育什麼的了
總結：
大二一下子課程就難多了，數學分析還是老樣子沒變，微分方程是下學期開的，非常有意思，微分方程的實用性也非常強，幾乎你只要搞應用數學，沒有什麼地方用不到微分方程，而本身微分方程也是非常有意思的，比如我們跳傘，假設從10000米高跳下來，那麼你除了受引力之外，肯定要受空氣阻力，而空氣阻力又跟你現在的速度有關，假設是線性關係即F = kv (k = 關係係數，v = 當前速度）那麼要求得你的運動軌跡就需要用微分方程來求，當然這是一個很簡單的例子，很容易推導，到後面什麼常微分方程組，什麼李朴雅諾穩定性（Устойчивость Ляпунова），存在性和解的唯一性定理這些就要燒腦了。

但是代數畫風一變就成了抽象代數，開始講群、環、域、擴域、格、糾錯碼、選擇公立這些內容，而且理論課只有一個學期，要知道國內一般都是2學期講完，而且不帶糾錯碼，格和選擇公理，結果我們全壓到一個學期...要知道這種理論考試，而且這麼多定理，這麼多內容就用一學期是完全不夠的呀親！

值得一提的是大二的物理也是非常有意思的，講的都不深入，但是涵蓋了力學，相對論，電學，熱學和量子物理，非常有意思。特別是第一次讀懂麥克斯韋方程組的那一天，興奮得一晚沒睡覺，看了好多相關的文獻，覺得太神奇了，用四個方程就把電磁解釋得清清楚楚。這種深度的物理學習雖然講的不深，但是對我們整個常識體系的構建非常有幫助哦，學完之後你對生活中各種物理現象都會有一個直觀的了解，你會覺得「哇，這世界好神奇」。

大二的計算機課很有意思，終於告別了奇怪的scheme語言，大二老師人很好，帶我們遊覽了很多不同的面向過程的語言，比如prolog (用「疊加原理」寫函數的語言），haskell (純函數式編程語言），C ，彙編語言（直接在內存上操作的語言），每一門都很有意思。

實變函數是一門很神奇的語言，我們在數學分析中學了很多不可黎曼積分的函數，但是這些函數在實變函數中的「可測集」上可以求「勒貝格積分」，瞬間一下覺得好有意思。特別是我終於弄清楚了為什麼「有理數的點沒有無理數多，但是有理數的導集有無理數那麼多」，「[0,1]上的點跟[0,2]上的點是一樣多的『』還有『有一種集合，它在每一點都不連續，但是它有長度』這些奇怪的問題了。實變函數研究了勒貝格可積函數空間，這種空間本質上是一個集合，但是裡面的元素不是某個數字，而是某一個函數，但是用在數集上面的概念，比如序列，比如收斂點，極限，完備性都可以用在勒貝格可積函數空間上。實變函數是泛函分析的前置課程，學好對後續課程幫助非常大!

大三：
複變函數理論一學期、實踐一學期
數值分析（理論）兩學期
數值分析（實踐）兩學期
物理（理論）一學期
泛函分析（理論）兩學期
泛函分析（實踐）兩學期
偏微分方程和數學物理方法大三下學期一學期，大四上學期各一學期理論 +　實踐
概率論和統計學原理（理論）一學期、實踐一學期
資料庫結構（SQL語言）理論和實踐一學期
面向對象的編程方法理論和實踐各兩學期
另外體育，心理學什麼的有一些。
總結：
這一年是我在大學過的最苦的一年，因為雖然俄語已經沒有問題了，但是課程的難度已經到達碾壓智商的地步，所以學習起來非常吃力。我一直認為我不是一個聰明的人，所以人家花1小時昨完的事情我會花兩小時去做到同樣好，但是在這種情況下，拼時間根本拼不過來，一方面你需要每天至少8小時睡眠，一方面你需要花更多的時間去課後複習，由於俄語跟母語者還有一些小差距，那麼以上所需要的時間還需要乘以一個1.x 的因子，而一天只有24小時，除去每周24節課，根本來不及...所以大三成了我這輩子最噩夢的一年，至少高考我考不好還可以上個三本，但是這裡你一旦考不好就開除（有一門考試不過，兩次普通補考還不過，第三次補考就是三個老師同時考你，再不過就開除）. 我們班大一進來的二十四個人，現在大四上學期已經走了11個，圖上有個人沒去上課，所以沒在照片里，打紅叉的是已經開除了的。

所以那一年幾乎每天都失眠到四點五點...甚至整晚不能睡覺。

不過話說回來，這一年還是有很多收穫的，比如學了很多有意思的東西，我最推薦的就是這門課 -- 《數值分析》，這門課簡直是太有意思了！這門課的主要內容有這麼些部分：插值法，函數逼近，數值積分和微分，線性方程近似解法，非線性方程的解法，常微分方程的數值解法等。這上面每一個標題都有非常多有意思的內容，比如我給你一個函數 $f(x) = sine^{x} - e^{2x}(x^{2} - 1)$ 在實數區間上的根,通過肉眼看肯定看不出來根是多少，但是可以用數值方法來求，那麼我們可以用一種稱之為「迭代函數」的函數 $phi (x_k) = x_{k+1}$ ,我們帶入一個初始點 $x_{0}$ ，然後有 $phi(x_{0}) = x_{1}$ ，然後帶入 $x_1$ 求得 $x_2$ ,不斷往複求得 $x_k$ ,只要迭代次數足夠大，那麼可以得到非常精確的解。具體的方法可以建議大家看看巴赫瓦洛夫的《數值方法》和李慶揚寫的《數值分析》（第五版），這兩本書非常好，這門課程也是非常有意思。

另外複變函數也是很有意思的，複變函數主要是研究解析取值在複數域的函數的各種性質，比如同樣是 $f(x) = e^x$ ，如果x取自複數和x取自實數完全有不同的性質，這一門課程非常有意思，而且實用性非常大，比如我們很多電路都要列電路方程，這裡面如果電路很複雜，那麼就要用到複變函數求解啦。對我而言，複變函數總是有一種奇妙的和諧感，比如柯西-黎曼定理就揭示了「解析的複函數實部和虛部滿足一個方程」，還有一系列柯西定理，比如第一柯西定理「任何一個解析的函數在一個無奇點的閉區域內積分一定是0」，還有留數定理等，這些「和諧感」造就了我們的世界。

泛函分析簡直是媽賣批了，這門課實在是太恐怖了，我現在不想回憶它。因為這是唯一一門我被逼到參加三個老師考我一個人的補考的情況，差一步就開除了，當時從正式考試到暑假到補考過，一共四個月，精神壓力巨大，沒有一天不拉肚子，不失眠，四個月整整。

面向對象的編程就是學習JAVA語言，這是我接觸的第一門面向對象的語言，給我打開了一個新的大門，學過JAVA之後，才知道編程可以這麼有意思！比如在以前寫面向過程的語言的時候，我們總是事先定義一個「過程」，然後輸入各種值來通過這個「過程」求得某個結果。而JAVA則直接面向一個對象來編程，我們定義一個類（比如人類），然後我們把類實例化（比如某個具體的人，比如你或者我）然後利用這個人來做一些動作（構造方法）完成我們需要達到的目的，這個語言實在是太神奇了。就好像你是上帝，你想知道1+1 = ? , 然後你不想自己動手，你想創造一個東西幫你來思考，那麼你在腦中構想出來了你需要造的這個東西的樣子（這就是類，比如上帝腦中的人類），然後你按照你構想出來的樣子造了一個實例出來（比如你、我、具體的某個人）然後讓這些東西幫你去思考1+1=？然後算出來之後上帝就直接當「伸手黨」拿答案就行啦。雖然只是一加一等於幾的問題，但是也牽扯到「皮亞諾公理」其實也沒有很容易哦。

偏微分方程也是非常神奇的玩意兒，　我們主要講的是三種偏微分方程：波動方程 $u_{tt} = a^2u_{xx} + f(x)$ ，熱傳導方程 $u_{t} = a^2u_{xx} + f(x)$ 還有位勢方程 $Delta u = f(x,y)$ 以及他們的各種初值，邊值條件下的求解，最後講了一些廣義導數，廣義解，索伯列夫空間（пространтво Соболевское）和上面的廣義導數。這門課我個人感覺有些無聊，不過還是蠻鍛煉大腦的。

===============未完待續,還有大四課程和各種選修課沒介紹，6月我畢業後會填完這個坑的==================================

本科純數轉數統，現在研究生在讀，說一說我本科的時候都學了什麼吧。數學系的選修課還是很多的，題主可以先打好基礎，再去選擇一些自己喜歡的領域的課學習。
（有可多課的名字可能翻譯不準確，後面附上了英文大家可以查查具體內容）

先說大一：大一課最多，但是相對都比較簡單。目的是讓學生對數學的各個領域都有了解，以便以後選擇自己的專攻。大一所有課都是必學的：
1.線性代數兩門（Linear Algebra I II）一是關於向量空間，二是矩陣。還有群論（Groups）
2.數學分析三門（Analysis I, II III）一是數列與級數，二是連續性和可微性，三是關於積分的。
3.統計學（Statistics）、概率學（Probability）和基礎微積分（Introductory Calculus），這三門都是基礎知識比較簡單。
4.動力學（Dynamics）、幾何學（Geometry）、優選法（Optimization 百度百科出來好像叫最優化）和Constructive Mathematics。最後一個不知道怎麼翻譯，主要是學數學演算法的。優選法在我大三的時候被取消了，好像換成大二還是還三的課程了。
5.傅立葉級數和偏微分方程（Fourier Series and PDE"s）、多變數微積分（Multivariable Calculus）和多變數積分的應用（Application）。這裡的應用比較難，我們這屆考完之後學校取消了這門課，心疼自己。
除了以上5點的課之外，還有一門學習Matlab的課，上完之後要用Matlab來做兩個項目（比如說說一個小遊戲什麼的）。

大二：大二的課有了一些選擇性。
先說必修課：
1.線性代數3（Linear Algebra III）就是大一的兩門線代的內容，但是深入學習。這是我最學不會的課了……
2.微分方程1（Differential Equation I）
3.度量空間與複分析（Metric Space and Complex Analysis）

選修課：
以下選修5門
偏統計的：
統計學（Statistics）、概率學（Probability）這兩門課是數統專業必學的，純數選修。跟上面的一樣，是大一的加強版。
模擬與統計編程（Simulation and Statistical Programming），這門課學習入門級R。
偏應用的：
量子論（Quantum Theory）、流體與波（Fluids and Waves）、微分方程2（Differential Equation II）更深入學習
純數學向的：
拓撲（Topology）、積分（Integration）超難學不會、數值分析（Numerical Analysis）這個倒是很簡單、交換代數（Rings and Modules）

以下選3門，但是考試任選2門課考。這些課都是課時少，內容不是很多的。每個只算前面那些課的一半吧。
積分變換（Integral Transform）、數論（Number Theory）、群論（Group Theory）、射影幾何（Projective Geometry）、基礎流形（Introduction to Manifolds）、變分法（Calculus of Variations）、圖論（Graph Theory）、狹義相對論（Special Relativity）、生物數學建模（Mathematical Modelling in Biology）

大三全部是選修課，而且可以選擇的課非常多我就不一一翻譯了。直接上個截圖吧

大三一定要選擇8門課，但可以選統計系或者計算機系的課，不過數學系的課至少要選擇4門。除此之外還可以選擇寫學術論文，大三的論文約等於兩門課。我們本科只有三年，所以這就是全部啦。希望對題主有幫助，也希望題主學有所成，成為一個熱愛數學的人！

現在是大四~本科某985數學與應用數學專業，四年課程如下:
大一:
數學分析，高等代數，空間解析幾何，c 語言
大二:
數學分析，普通物理，複變函數，常微分方程，抽象代數，概率論與數理統計
大三:
圖論，實變函數，對策論，拓撲學，數學物理方程，線性規劃，微分動力系統，數學模型，泛函分析，科學計算方法，非線性規劃
大四:
微分幾何，最優控制基礎，測度論

高考志願報材料，同桌報的哈工大數學；

考研時報的材料，同桌保研哈工大數學；

工作後還是材料，同桌保博哈工大數學；

如今工作又幾年，同桌海外繼續讀數學。

每次回來聚會我們都會摸摸她頭髮，看看頭髮少沒少，找了個老公學地球物理，兩人氣場太強烈，完全無法融合。騷年還想繼續讀數學么？

這個問題，能得到的答案最多就是些課程列舉。有種東西叫培養方案，網上下一本清北復交的，各個專業都有，比上面大多數回答好。
例如：2016年本科教學培養方案

我目前學了的有這些：
數學分析、線性代數、抽象代數、實變函數、複分析（單復變，多復變了解一下）、微分幾何（含曲線曲面的整體微分幾何初步）、一般拓撲學、代數拓撲學（同倫論和同調論）、集合論初步

難易度：數學分析理解不難，但題目靈活，線性代數一樣
抽象代數一開始可能覺得抽象，隨著學習時間的增多，會發現不那麼抽象了，題目反而好做點
實變函數很難，題也難做（分析比代數難啊！題目不好做）
複分析也很難，需要對數學分析里的級數熟練（級數是數學分析中最難的！），還需要對點集拓撲學，一點同倫和同調有較好的理解，線性代數和抽象代數也是需要的（雖然不會用到所有的知識，但需要做到較好的理解，否則你難以建立對這門學科的直觀！）多復變沒有深入學習過，但多復變也是很棘手的！
古典微分幾何一定要學，因為將其進行推廣就會誕生抽象流形，這可能是接觸流形的最好模型了！古典微分幾何理解不難，但計算量偏多。整體的微分幾何就難度大很多了，主要是難在拓撲方面（關於拓撲的定理都很深入，證明很難！）
一般拓撲學和抽代差不多，最難的是證明同胚的（要構造雙連續的函數，證明冗長！）
代數拓撲學也很難，抽象度提高了不少，但其實這個時候你會發現這一點提升並沒有初次接觸抽象課程的感觸深，主要是覺得沒有質的提升，再加上你自己的抽象理解能力也提升了不少！這門課程的證明都不簡單，涉及代數的還好點，分析的就很難了！
集合論初步是數學的基礎，必須好好理解，對你的邏輯思維很有益！

先學《高等數學》試試？

數學與應用數學，信息與計算科學兩個學科
前者純數學，後者一半是計算機課程
資料網上都有的

某電的，系統已進不去只能憑記憶了，主要講理工科類課程。

解析幾何，高等代數，數學分析，常微分方程，偏微分，數學與物理方程，數值分析，實變函數，複變函數，泛函分析，概率論與數理統計，多元統計，離散數學（組合數學與圖論），最優化理論，隨機過程，拓撲學，圖像處理，資訊理論與編碼理論，控制論，數學建模，近世代數，矩陣論，C語言，數據結構，MATLAB，資料庫。

哈哈都不知道自己學了這麼多。。。

講道理，數學系的大學課程，真不是那麼容易學好的，尤其是自學...

記得非常清楚，當年上數學分析課程的時候，我們老師為了鼓勵努力學習，跟我們說：

數學系的學生，只要努力學習，還是可以畢業的。

非數學系的表示要不要先試試高數?

大學四年里，學校給學生安排的課程，都是在一步步打基礎。可以參考一些高校不同年級的課表，看看他們大一學什麼，大二學什麼。根據課表裡課程安排到年級的順序，就能以一個大概的系統來學習數學。其中數學系課表裡的必選課是絕對的基礎，一定要學的。
數學系入門都是從數學分析和高等代數開始，這兩門是基礎的基礎啊，要開始的話，就先從這兩門開始。