數學家合作論文一般是怎樣進行的？

12-27

我雖然已經開始做一些工作，然而對於怎樣開始一次合作實在是很陌生。我看到許多合作都在學生和導師，或者師兄弟之間進行，這樣就沒什麼好交流的了，不少情況下就是帶著一起吃飯，沒什麼高尚的東西。你幫我刷一篇，我就幫你刷一篇，中國人最擅長這套。（許多人看到這句話又要挑刺了，然而你難道能否認這種情況真實存在？）

我說的是真正的合作。兩個人同時對一個問題感興趣，並且技術互補，各有貢獻，最後得到滿意的作品，也許還有在酒吧度過的難忘夜晚。不知道知乎有沒有人有這樣美妙的經歷可以分享？

我倒是有過幾次合作的經歷，就講一下第一次好了。
我第一次合作是當時去密歇根訪問。和我當時訪問的教授a聊天，說我在做一個什麼什麼猜想，大概可以在2維的某些情況下證明。那個教授說他剛好也在和另一個人b合作做這個問題。他也能把這個情況做掉，而且說他有個想法能做所有2維的情況。他說我們三個人可以一起做這個問題，然後和我講了他的idea。我們都覺得很靠譜。我其實有些不太好意思，覺得自己抱大腿了。後來我回去和我老闆說了這個事情，我們仔細check這個想法發現這個這個想法其實忽略的一個point，而那個point是一個很本質的困難。然後我就和a說了這個事情，所以這個合作暫時就擱下了。
後來我主要做另外一個問題，解決了一個猜想在2維的時候。我那個證明發展了一個新的技術，對2維的這一類問題有奇效。而且我發現這個新技術，剛好可以克服之前的困難。這時候a又邀請我去密歇根，我就和他說我們之前那個問題還有得做。那段時間我每天早上一起床就過去和他討論，中午一起吃飯，一直討論到下午下班。開始是我解釋我的idea，怎麼用來克服那個困難。然後然後我們把那個猜想分成好幾個情況，一個一個用我們的辦法處理。中間冒出很多之前沒想到或沒細想的問題。每次覺得山窮水盡的時候，我回家洗個澡又想到一個新的idea可以克服這個困難。這樣反覆了兩周，算是基本解決這個問題了。其實到最後還有一個情況我們不會做，不過即便如此，也算一個不錯的結果。我們最後的證明非常非常technical，全部寫下來估計得100多頁。我訪問兩周後就回去了，由他來把這個證明寫下來。
做這個的過程中，我們還遇到一個分類的問題。其實對我們正在做的工作，我們並不需要完全的分類，所以我們當時只處理了要用到的情況。但是那個分類問題本身很有意思，很自然，我們就還打算繼續合作，想用我們的技術去看看能不能完全的分類。大概過了幾個月，他過來我們這邊開會。就順便和我討論了兩天。當時我們有一個問題一直處理不了，一整個下午卡在那。後來我們都很沮喪，最後準備結束的時候，我忽然靈光一閃，說「等一下，我想可以這樣弄。」然後在很簡單就解決掉了那個問題。其實證明一點都不困難，就是需要觀察到一個之前沒考慮過的point。當時他們都驚住了。後面幾天我們都是郵件聯繫。他負責寫文章，我負責想那些還沒解決的問題。每天我都要寫20多頁的證明，然後拍照發給他。然後他把證明簡化以後寫下來。其實這兩篇文章都還沒正式寫好，我們是打算分一部分純粹發展理論的出來，一共寫成3篇。不過我當時要找職位就先把分類那個貼出來了。
其實我覺得我和這個教授工作還蠻搭的。我感覺自己是idea比較多，但沒什麼條理。a就比較嚴謹，而且可以一步一步挖出你argument的本質在哪裡。每次我和a說我的想法，我自己都還很模糊，但聽他複述一遍以後，我才恍然大悟，原來我是這個意思。。。整個證明絕大部分argument都是我給的。但是中間有兩步我連續給了幾個錯誤證明後都要絕望了，然後他找到了證明。我覺得我做的證明大多數都是只要你找一個巧妙的觀察，就能利用這個觀察做出來。但a的證明就需要用的理論非常細節的地方，如果你不對這個理論非常非常熟悉，你是怎麼也想不到的。

兩年前我正打算 quit，但是出於對數學的熱愛還是去開了一個會。開會的時候碰到了一個本科里的老相識 A。會是關於 Hodge theory 的，A 算是做特徵 p 代數幾何的。然而這個不務正業的朋友 A 和我一直在討論這年夏天我們聊過的特徵 p 的問題。A 給了一個構造，我也給了個構造，但是我們沒法證明我們構造的東西滿足需求。就這樣不務正業的會議結束了，我倆除了兩個有趣的構造，啥也沒搞出來。

我回家之後繼續準備 quit，直到某一晚上 A, 作為一個一個做特徵 p 的人，給我打電話，卻問了我一個不務正業的 Hodge theory 的問題，然後。。。這天晚上我沒睡著，因為我把這個問題做出來了，感覺這問題很簡單。沒想到 A 就寫了篇 paper 掛上了我的名字（要不是仔細找，我都找不到這篇文章里我做的那部分在哪裡），於是我 quit 數學的歷程又推遲了兩年。

真是好問題，我決定刨個坑，等我弄清楚了我老闆是如何和他的合作者合作的一定過來補坑。

我能夠觀察到的現象是他們基本上會窩在其中一人的辦公室，大概是一個人講文章給另一個人聽。並不知道他們講的是自己做的問題還是他們別人的文章。

似乎有一次我問過老闆該怎麼和他人合作，但他並沒有給一個很確切的回答。該向他學習的地方還有很多呀

合著一起吃飯做的論文就不如一起喝酒做的論文高尚了。。。嗯。。。

I can』t speak for others, but as for my own research, at least half of my papers are joint with one or more authors, and amongst those papers that I consider among my best work, they are virtually all joint.

Of course, each mathematician has his or her own unique research style, and this diversity is a very healthy thing for mathematics as a whole. But I think 21st century mathematics differs from 19th and early 20th century mathematics in at least two important respects. Firstly, the advent of modern communication technologies, most notably the internet, has made it significantly easier to collaborate with other mathematicians who are not at the same physical location. (Most of my collaborations, for instance, would be non-existent, or at least significantly less productive, without the internet.) One can imagine the next generation of technologies having an even stronger impact in this direction (with this project possibly being an example; other extant examples include Wikipedia and the Online Encyclopedia of Integer Sequences).

Secondly, the main focus of mathematical activity has shifted significantly towards interdisciplinary work spanning several fields of mathematics, as opposed to specialist work which requires deep knowledge of just one field of mathematics, and for such problems it is more advantageous to have more than one mathematician working on the problem. (Admittedly, much of 19th century mathematics was similarly interdisciplinary, but mathematics had a much smaller diameter back then, and it was possible for a good mathematician to master the state of the art in several subfields simultaneously. This is significantly more difficult to do nowadays.)

The largest collaboration I have been in to date has involved five people – but already the dynamics of research change dramatically at that scale (especially when all five people are in the same room at once). One can toss an idea out there and have it debated by two other collaborators, while a fourth makes comments and corrections from the sidelines, and a fifth takes notes. Connections are made much faster, errors are detected quicker, and thoughts are clarified much more efficiently (often, I find one of my collaborators acting as a 「translator」 to distill an excited inspiration of another). It may not be 「magic」, but it is certainly productive, and actually quite a lot of fun.

---------陶哲軒

謝邀。
我倒是親眼見過我老闆和合作者討論問題的情景。當時他們在辦公室討論，我就在旁邊聽。他們見面之前已經做出一些結果了，論文初稿已經有了，所以在討論一些細節問題以及結果能不能改進。論文的主題大概是要把Riemannian Homogeneous Spaces with positive sectional cuvature的分類結果推廣到Finsler geometry的setting上去（我猜花姐大概對這種問題不感興趣，我自己都覺得沒啥意思。。）然後我老闆是正曲率、homogeneous spaces、李群（微分幾何方面而不是代數方面）的專家，但是對Finsler geometry了解不多。合作者是Finsler geometry方面的專家。然後黎曼情形下的分類定理是很有名的結果，我老闆基本就是想把同樣的證明技巧推廣到Finsler setting，然後合作者就告訴他哪些東西在Finsler setting下依然成立，哪些東西不再成立（比如fixed point set of isometry is totally geodesic在Finsler下依然對，但是Synge定理好像就不一定對了）。然後他們做出了一個部分分類結果，就是大部分Finsler pos curv homog space就來自於黎曼情形下的分類結果，但是還有5個例子，在黎曼情形下已知不可能帶正曲率，但是他們還沒有辦法在Finsler setting下排除他們帶正曲率的可能性，畢竟Finsler geometry更一般。

我大部分工作是和導師（有時還有其他合作者）完成的。一年前導師給我推薦了另外一個學校的一位大牛，也相當於有了一位副導師。不過那是另外一個方向了。我跟國人或者華人的合作比較少，因為做我主方向的國人或者華人不多。

要說合作的方式，跟導師大人（或者副導師大人）的基本上都是導師給問題給參考資料，然後自己琢磨然後討論。有時候可能他們給的參考文獻不夠，你還需要自己去找。有幾篇和導師大人的文章有系裡另外一位老師的參與。基本上我就是兩邊跑兩邊討論，然後匯總他們的想法再加上自己的想法去尋求突破。然後論文基本上都是自己拍好草稿以後交給導師看，然後他提出意見我繼續修改。迭代幾次以後導師感覺差不多滿意就會要求Latex文件然後他親自操刀改。然後就是將論文發給合作者匯總意見，修改定稿然後投稿。

跟其他人合作的例子也有。基本上都是有問題了以後，跟可能熟悉或者能夠解決你的問題的人討論。比如之前有個分析的問題我有了大致的想法，但是最後一步就是不知道怎麼弄。我就跟系裡很多人談論，直到最後系裡的某個訪問教授有點想法，然後給了我一篇（很難的）參考文獻：拓撲方向的。之後我們陸陸續續地討論了幾次：由於他對問題不是很熟，我就把自己的思路寫了出來。不過我寫得很爛，所以跑到他的學校去跟他交流了好幾次才讓他完全明白了我的具體想法；現階段的草稿基本上是他重寫的。現在我們基本上確定問題能夠做。下個月他要來系裡參加會議。到時候我們又會進一步討論…… 其實跟其它人合作和跟導師合作其實差不了太多，就是不能夠及時交流這一點比較麻煩。只能通過郵件或者Skype交流。一個問題往往要拖很久才能完成。【還有一點，年輕人基本上都是做dirty work被壓榨的對象QAQ】

這些討論我們一般都是在辦公室或者教室進行的。至於在酒吧討論，一般而言這是在會議中，或者你去訪問別人的時候，到了晚上大家累了一天出去high。我們會聊一些數學，但是基本上不會太深入到具體的問題。基本上都是大家就聊聊自己最近在做什麼，有點什麼有趣的問題。有時候遇到有人感興趣就會稍微聊深入一點，但是都還不至於到拿出草稿本開始算的程度。不過這大概是因為我酒量不行，一般就只喝一杯果酒的原因吧啊哈哈哈哈哈~(つд∩)~

不過我倒是聽說當年在波蘭巴拿赫研究所就有人在上完課以後總是跟別人在酒吧討論，然後在酒吧的桌上各種畫。後來老闆怒了，就給他們準備了一個筆記本。後來那本筆記本就成了一本泛函分析問題集。【我也是道聽途說而已，記不清楚書名了。】

嘛，就醬喵 (=^_^=) 【順帶獻上一首歌喵~ 最近一直被它洗腦喵喵~】
アニマルらんど (Animal Land) - ななひら (Nanahira)

哈代-利特伍德規則：

1、無論他們寫給對方的信是否正確，都不重要。
2、沒有強制性的閱讀並回復對方來信的要求。
3、兩人盡量不要同時考慮相同的問題。

最重要的公理：
4、為避免爭吵，所有的論文都由兩人共同署名，即使某人對此毫無貢獻。

題主已經介紹了幾種華人數學家中常見的合作模式，還有一種是夫妻間的合作。建議有志於純數的妹子找學純數的先生，最好是同一方向的，睡覺時都能討論數學。

以下都是夫妻合作的佳話（李文卿除外）：

台灣「五朵金花」：
1.張聖蓉，先生Paul Yang，都做幾何分析；
2.金芳蓉，先生Ronald Graham，都做組合；
3.吳徵梅，先生Robert Kaufman，都做分析；
4.滕楚蓮，先生兼導師Dick Palais，都做微分幾何；
5.李文卿，做數論。先生不詳。

再來個海外大陸背景的：
韋國芳，先生戴先哲，都做微分幾何。

這個可能是國內最出名的：
胡和生，中國唯一女性數學院士，先生谷超豪，國家最高科技獎獲得者。

還有本校不那麼出名的：
肖體俊，先生梁興，偏微分方程，感謝評論補充。

那麼問題來了..你arxive的preprint作者不是倆人嘛應該已經合作過了呀