在你學習數學時有過怎樣「頓悟」的經歷？

12-27

有時在自學或者老師講課的過程中一下子沒搞懂，做題時也常常遇見瓶頸，思考後忽然恍然大悟，然後頓感很有成就感。你有過怎樣類似的經驗？請分享~

(多圖慎入)
之前一段時間我在學習Carleman估計，三年前我導師讓我看一篇論文，那個版本大概長成這樣

是不是有一種想死的感覺？那麼它的證明是什麼樣的呢？下面不是全部的證明，
只是其中一行計算。這樣的計算要進行10頁左右。

我的內心是這樣的：這樣要我如何去理解！

我鎮定了鎮定自己，找了一個簡單的version，簡單的version長成這樣：

它的證明是這樣的：

簡單的個屁啊！（雖然只有2頁）

幾年之後，你問中間發生了什麼，我發現那篇的計算包含一個錯誤，雖然不至於毀滅全局的結果，但是使得有些情況它的估計是錯誤的。但是我沒有理解這個方法，因為計算太複雜了，我也不知道怎麼改造它，用來做研究。然後，我幾年後需要再次學習這個東西，這個時候，我東找西找，找到下面這個版本的證明：

這是全部的證明，全部的證明！驚為天人有沒有！

本質上這兩種方法是等價的，但是計算複雜的那個只需要本科畢業就能「看懂（演算只需要會高斯公式等等）」，但是後者（簡單的版本）需要學習微局部分析，微分運算元理論（研究生高年級水平），通過學習這個方法，我理解了前者的本質，也能臉不紅心不跳的做出一樣長長的計算，因為我理解了每一步我在幹什麼，而不覺得exciting。當然了，最重要的是自己去算，pde(偏微分方程)這個科目不去自己動手算是不能真正理解什麼的。P.S. 很多人認為偏微分方程不美，其實我想說，它有自身獨特的美感：就像是
巴洛克

和極簡主義

的區別了。如果你學習偏微分方程你是可以愛上偏微分的繁雜的。

謝邀。
講兩個簡單的例子。
我最開始接觸黎曼度量是在From Calculus to Cohomology那本書上看到的，那本書上直接把度量定義成「光滑變化的一族內積」，一筆帶過，也不講為什麼要定義這麼個東西（哪怕他多說一句「有了這個東西我們就可以求流形上曲線的長度」我當時也能理解得更好），所以我當時完全沒弄明白怎麼回事。。後來專門看了一下黎曼幾何的書，基本是用坐標分量的形式寫的，然後我又不明白「既然有反對稱的微分形式了，為何又要搞個1形式的張量積」，當時心理上不太能接受dx^2這種東西，總覺得dx^2=0。。直到後來代數上學到張量積那一塊心裡才好過一點。。

然後對度量這個東西徹底接受，應該要到我學微分幾何（古典的曲目論）的時候。。（我學習經歷可能比較奇葩，先學的抽象的流形上的黎曼幾何，後學的R^3裡面的古典微分幾何。。）我看到度量就是第一基本形式的推廣，曲面上的協變導數推廣到流形上的聯絡，曲面的第二基本形式又該怎麼看成子流形的第二基本形式的抽象定義。想明白了這一切，黎曼幾何在概念上無非是古典曲面論在高維的直接推廣，心理上的障礙一下子全都沒了——R^3裡面的曲面是眼睛可以看到的啊，很實在的東西，而抽象的黎曼幾何無非是加了幾個維度而已，不就跟從2階3階矩陣到一般的n階矩陣一樣自然么？

第二個東西算是spin manifold。第一次接觸spin structure這個概念覺得很抽象，不知道它到底想表達什麼。然後學的多了，明白一個流形是spin的，無非就是說這個流形上的SO(n) bundle可以提升到Spin(n) bundle，具體地來說，你如果把它上面的SO(n) bundle的轉移函數寫出來，它也可以看成某個Spin bundle的轉移函數。無非就是類似複變函數裡面多值函數取單值支一樣的問題。

我這個人比較蠢，一些基本概念也要過很長時間才能慢慢接受。各位大神不要笑我。。

謝邀。剛整理下資料，盡量寫得認真吧。考慮到主題是在微積分框架下，盡量扣題吧，講一講與我與微積分的故事（顯然說明頓悟原因僅靠微積分的知識是不夠的）。知乎上論道好帖子不少，我就不再講大道理了，還是用我自己經歷的例子說明吧。總的感悟是三多：多看，多想，多動手。

1.這個例子是關於三角函數為什麼能求和的，最初源自高中，想了很久。

2.第二個例子是利用駐點求極值，解方程。題目沒什麼意思，方法自認為精彩，算是數形結合吧。這個解答想了兩個晚上。

3.這個例子是關於微分運算元解法的，不少工科生應該聽說過。我偶然之間聽說該方法本質是拉普拉斯變換，但具體細節不知道。後來學數理方程課程之後，嘗試推導一遍才發現其中奧妙。很多事不親自動手做做，難以感受到此間奧秘。

4.最後一個例子比較難，這個困惑困擾了我十多年，至今沒有完全解開。說的是哪些初等函數的原函數也是初等函數。劉維爾和給出一個結構性的結論，但在具體應用中並不簡單。下面的結論能有個感性認識：

首先是知乎網友Kuchler關於微分代數的原理性敘述，高大上也，這裡直接截圖：

上面的例子實際是對數積分，在素數定理中很重要。不過接下來舉的例子很微小，sometimes naive.

原函數是非初等函數的一些不定積分例子：

～～～～～～～～～～補充～～～～～～～～～
又想起一個例子（合寫之文章），關於猜測雅可比橢圓函數加法公式的，類比了三角函數：

～～～～～～～～～～～更新～～～～～～～～～～～
過百贊了，再講兩個例子吧。
先說難的，我在大一時就注意到我們接觸到的兩大級數泰勒級數和傅立葉級數的係數公式不一樣，一個用微分法確定，另一個用積分法確定。我曾猜想兩者之間應該有聯繫，至少在某些情況下如此。最初探索思路是把傅立葉級數每一項對應的三角函數都展開成泰勒級數之類的，但被計算量嚇到了，放棄。大二學了複變函數，初見柯西積分公式，把求導與積分統一起來。

但是，尚不知如何與傅立葉級數聯繫起來。然後有一天我就頓悟了，令柯西積分公式里的a=0，z=e^{it}，圍道C取單位圓，代入n皆導數的柯西積分公式，等式右邊就是複數形式的傅立葉係數Cn乘以n!，如此泰勒係數與傅立葉係數統一了。比較簡單的例子可以看做是一道智力題：

最左邊火腿腸的長度期望等於任取一段火腿腸的長度期望，不難猜出來是1/(n+1). 這個例子可以說是一個頓悟。
傳統的數學解法是：

分享一點人生的經驗（個人觀點）：
不少人認為數學分析的精華是實數理論，很遺憾，我自身的實際經歷以及N多數學大師的歷史行程都否定了這一看法。把理論的本源基礎看做是精華的思維定勢，容易忽略那些精彩紛呈的新天地，新發展。

PDE數值求解說白了就是先驗或者後驗的誤差估計和極小化。
真的做的時候無非心裡想著PDE的圖像，手裡做著數值優化的事情。
但很多時候看起來都在做數值線性代數，因為你發現差值結點取在哪裡可以最優這件事情，
其實有的時候沒有被人考慮過。

隨機常微分方程數值解，有時候就是隨機模擬+幾個余項的隨機誤差分析
和幾個鞅不等式的構造，看看隨機誤差的各種余項是在什麼條件下收斂的。
有的時候我們甚至不太會想去回答隨著時間具體的分布變化。

隨機網路的屬性，其實大家做來做去無非就是平均最短路和平均團簇大小，
要說真的在現實中遇到一個網路，還得找自己的指標。

我自己粗淺的優化手段，無非構建一些個勢函數然後求求導數；
或者使用枚舉法然後強行寫成動態規劃，似乎也沒什麼特別的。
或者使用一些依據直覺的數值近似方法，然後憑藉對待解決問題的
局部凸性質的了解減去一些枚舉的分枝和維度。

開始覺得隨機最優化裡面的神經網路+遺傳演算法真是無腦又好用，
但到了維度真的很大的時候，這招其實也沒用。最後不得不
把這些問題想像成一些不隨機的問題，然後找到解的特徵，
像個老中醫一樣對優化的解和目標函數的分布做參數估計。
話又說回來，維度很大的時候其實很多情況下都會收斂到一個凸
局部，因為維度的共性也很大，大家都得取得差不多。
如果大家有什麼隨機最優化解析方法的書和結論，求分享QAQ

感覺我學數學就像在學習妥協。【日常負能量

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想起周堅老師以前的課程介紹。

雜草叢生的工科生視角。。

我只發現，原來學懂之後，發現一切的trick都在於定義。有時候我們不斷學習地過程原來就是在加深對定義的理解，從而發現定義的匠心獨運。到最後可以看出定義的優缺點，此時已經跳出三界外不在五行中了，與眾多人類知識體系的締造者站在同一層次，我們也會成為別人眼中的宗師。

學數學就好像寫程序。一開始只是懂了一點語言，繼而學會用了一些輪子。之後越來越熟練，學會了更多複雜的輪子。然而有一天突然頓悟再好的輪子終究是別人已經完成的描述世界的方式，我想要蓋一棟更漂亮更廣大的數學大廈，卻必須從頭開始，用最基礎的建築材料，用更泛化的定義方式。突然，你變得興奮不已，就像從頭開始自己寫自己的輪子。最後，經過一段時間的努力，頓悟了智商不夠。。。

說一個神經網路的吧……
最開始接觸神經網路的時候，看著一層層的神經元鏈接起來組成神經網路，訓練使用什麼反向傳播演算法，感覺可高端了……後來發現一層神經元其實就是線性變換+非線性變換的過程。所謂神經網路其實就是一個帶了很多參數的（遞歸定義的）複合函數。你想要這個複合函數和樣本點擬合得足夠好，由於沒有解析解，所以就用了梯度下降的方法。而求梯度（偏導數）的時候實際上就是鏈式法則一路求下去就好了。以及如果使用多元微積分的視角，一次可以求一整層神經元的梯度，所以反向傳播的形式其實很簡單。（我看到的大多數版本都是一個一個神經元求的，看起來很煩……）
至於所謂神經網路可以以任意精度擬合任意函數，其實就類似於證明冪函數或三角函數可以逼近函數了……
想清楚這個之後頓時覺得神經網路其實也挺傻的有沒有……

更新：
7. 考慮有界線性運算元的像的時候，像集里的收斂並不能推出原像的收斂。
這件事導致了我那幾天所有關於「T(E)是閉的」的題目都不會做。
解決方案是原空間E商掉零空間N(T)，然後在E/N(T)上定義T』。這裡有一個很好的性質是如果E是banach空間那麼這個商空間還是banach空間。這就導致了假如T(E)是banach空間，那麼T』就是banach空間到banach空間的雙射，由banach逆運算元定理，它有有界逆。世界瞬間簡單了起來！鏘鏘鏘！
1. 一個lebesgue可測函數可以和一個borel可測函數幾乎處處相等。
看到證明的時候有一種被按在水裡半分鐘之後出水大口呼吸的感覺。
一開始看到用一列函數去逼近，總覺得很不對。＜ε和＝0能是一回事兒嗎！
最後學長取了個極限。
於是該相等的地方都相等了，然而極限依舊是borel可測的。
2. 感覺lebesgue測度的那些幾行就寫完的證明題很亂搞。
恨不得揪著出題人的衣領，說，你到底怎麼想出來的！
後來發現caratheodory判據和m外(A)+m內(EA)=m(E)正好差一個內外...
嗯期中考試第一題我就是這麼寫的...
哦第二題好像也是...
3. 證明可測函數的一些很簡單的性質的時候。
隱隱約約覺得每次逆回去然後使用sigma代數的性質好像有點(非本質上的)繁，但也說不清楚。
後來看到老師在書上定義了一個叫pushforward的東西。
4. 以前一直很好奇到底怎麼恰好就想到了用有理數去分一些東西，有理數恰好又稠又可數，好巧妙。
後來想起Rn的可分性難道不是很重要的么...
5. lebesgue積分那邊時不時要有些分步證明的題目。
恕我直言，我覺得每一步都可以布置成一道作業題啊！(就是那種不是很難鞏固基礎的...)
後來看破了「我們先對簡單函數證明，再用各大收斂定理隨便干」的套路...
6. 這一條是對於非數學知識的頓悟：
鑒於實變老師時不時把我們當高斯。
如果實變作業不會寫了，除了查一查各種提問平台...
真的還可以去維普什麼的搜一搜，來決定這一題要不要寫的...

科普書籍中總是說Riemann猜想和素數分布有關，但具體的關聯科普書是不寫的。
事實上Riemann早就給出了顯式公式，只不過涉及無窮求和不好用，在Riemann猜想成立的話有最好的余項估計。

$pi(x)=sum_1^inftyfrac{mu(n)J(sqrt[n]x)}n=J(x)-J(sqrt{x})/2-J(sqrt[3]{x})/3-J(sqrt[5]{x})/5+J(sqrt[6]{x})/6-...$

$J(x)=Li(x)-sum_ ho Li(x^ ho)-log2+int_x^inftyfrac{dt}{t(t^2-1)log t}$
如果在某些問題中，我們有更好的方法直接利用/處理這種無窮求和，不見得非要用余項估計。

科普書中又會告訴你 $pi(x)$ 經常小於 $Li(x)$ ，從幾十萬億的數據來看，直觀上好像一直小於，但Littlewood證明了事實上不等關係會反轉。
看起來很毀直觀。但是，如果你意識到， $-log2+int_x^inftyfrac{dt}{t(t^2-1)log t}$ 最終不會太大，而 $Li(x^ ho)$ 表現出某種類似周期性的變化

那麼你的直觀感受可能會完全反過來。Littlewood的證明，無非是落實細節。

概率論里經常使用的特徵函數，其實就是對概率分布的一種傅里葉變換。
所以通過特徵函數的技巧來證明，本質上就是用積分變換的技巧來證明。

神經網路演算法，說的很玄乎，其實就是一種特殊的函數擬合。
為了衡量擬合的程度，我們採用一個量（函數或泛函），認為這個量極小時擬合程度達到最佳。
於是在這個量可微的區域就可以用各種最優化的方法計算最佳的參數。

以前老師說過一句話，你不是理解了它，只是習慣了它。
現在感覺，數學是建立在定義基礎上的定理體系，對於定理的頓悟可能更多少是對定義的清楚認知，明白了定義的邊界，而定理也就豁然貫通啦。淺薄之見。
還聽過一個老師說，世界上的事物，最美的有兩種，一種是詩歌，另一個是數學。詩歌是創造，而數學是對世界的洞察與發現。
數學本質上是發現世界的規律，不過對我而言，理解之前的數學就很難啦。而天才們洞見世界的規律，發現定理，達到頓悟的地步，與開天闢地，創造一個世界也沒什麼不同。
世界就在哪裡，可是看清世界，卻需要天才們的引領，研究數學的都不容易啊。

突然間明白了為什麼數學系的基礎專業課是數學分析，高等代數，解析幾何，且這麼多年從未改變：
是為了讓我們在以後遇到任何問題時，都能從分析，代數，幾何三種角度來思考。

也更加明白了為什麼說學數學是對思維的鍛煉，這種思維上的優勢在以後進入其他任何領域都是一種絕對的助力。

如果選專業的時候不知道學什麼的話，就去學數學吧，一定會有驚喜的。

學cover space的時候懂了Galois theory。——有相同經歷的吱一聲，多謝。

微積分基本定理，分兩部分，高三考AP的時候百思不得其解。

學到數學分析的時候頓悟：
第一部分，一個函數積分再微分還是原函數；
第二部分，一個函數微分再積分還是原函數。
定義了積分和微分是逆運算，這的確是基本中的基本啊（棒讀）

我數學上的沒啥造詣，說的也不是什麼高深的東西，還往簡單里說了。
如果有問題請斧正。

先佔個坑，有時間再來詳細答。
最近在學大學物理的靜電學，感覺學了大物才對上個學期數學分析學的微分形式場論初步和活動標架法有理解！

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雖然當初占這個坑的時候以為自己真的懂了活動標架法了，可是最後認真做筆記的時候發現自己還是不會算。不過至少通過物理懂得了活動標架的動機是什麼（肯定在很多人眼中看起來很平凡，但是於我來說也還算是頓悟吧）。

一、不理解
我就不詳細講我之前是如何不理解數分課上教的卓里奇的活動標架法了，在缺乏對幾何自然概念的認識和對坐標系的理解的情況下，我根本就不知道活動標架法里麻煩的拉回來推過去到底算的是個什麼東西，比如：
在今年六月份，我是這樣學的：對 $mathbb{R}^3$ 里的函數 $f$ ，和一組球面給出活動標架（球面的徑向和兩個切向） $e_r,e_ heta ,e_varphi$ ，如何寫出 $grad f=v^1e_r+v^2e_ heta +v^3e_varphi$ 呢？
我當初看到這裡我就想，這不就是把 $grad f=(frac{partial f}{partial x} ,frac{partial f}{partial y},frac{partial f}{partial z})$ 在每一點處換組基來表示嘛！
然後考慮標準的球面坐標變換 $psi :(r, heta, varphi) mapsto (x,y,z)=(rsin( heta)cos(varphi),rsin( heta)sin(varphi),rcos( heta))$
以及球面坐標系中的3個標準單位向量 $xi _r, xi_ heta,xi_varphi$ 。然後陷入懵逼狀態：
$df$ 這個一形式可寫成 $omega _{grad(f)}^1$ 。我們來求 $psi^ast (df)$ 。
一方面 $psi^ast (df)(xi_r)=d(psi^ast f)(xi_r)=frac{partial f circ psi}{partial r}$ ，
另一方面 $psi^ast (df)(xi_r)=psi^ast (omega _{grad(f)}^1)(xi_r)=omega _{grad(f)}^1(psi_ast xi_r)=<grad f, sqrt{E_r}e_r>$ （ $sqrt{E_r}$ 是 $psi_ast xi_r$ 的模長）
結合兩方面就有 $grad f=sum frac{1}{sqrt{E_r}}frac{partial f}{partial r}e_r=frac{partial f}{partial r}e_r+frac{1}{r}frac{partial f}{partial heta}e_ heta+frac{1}{rsin heta}frac{partial f}{partial varphi}e_varphi$ 。

相信看到這裡，不熟悉這些記號的跟我一樣也是懵逼的，關鍵的是你寫 $grad f$ 在活動標架下的坐標（即便你想用 $f$ 對 $(r, heta, varphi)$ 的偏導數表示），為什麼要扯到微分形式，然後拉回來推過去。最重要的是，憑什麼這樣就做出來了！

（當然九月份學靜電學的時候，我也只是領悟到我們寫出活動標架下它的坐標的重要性，還沒能理解為什麼要用微分形式來做。）

二、物理動機
靜電學的高斯定理說的是對電場 $E$ 在封閉曲面 $S$ 上做一個面積分 $oint_{S}vec{E} cdot dvec{S}=frac{q_{in}}{varepsilon_0}$ 。看到這個公式，作為一名上學期在數分里學過Stokes公式優秀數學系本科生，高斯公式肯定就是要我們證內部沒有電荷的時候，單點電荷產生的電場的散度為0，也即對單點電荷產生的電場 $E=frac{q}{4pi varepsilon _0}frac{1}{r^2}$ 的散度 $frac{q}{4pi varepsilon _0} div(frac{1}{r^2})=0$ 。這時候，問題便來了，普通本科生只學過 $div(vec{A})=frac{partial A_x}{partial x}+frac{partial A_y}{partial y}+frac{partial A_z}{partial z}$ ，這樣 $r$ 就是一個形式較複雜的函數，算它的散度用笛卡爾坐標系不是很爽。要是我們可以把散度寫成由函數 $f$ 對 $r$ 求偏導的的形式該有多好啊！

事實上，我目前也還是沒太懂，至少我知道了用活動標架法那一套，我可以寫出來 $div(vec{E})=frac{q}{4pi varepsilon _0}cdot frac{1}{r^2 sin heta}(frac{partial r^2 sin hetacdot frac{1}{r^2}}{partial r}+frac{partial r sin hetacdot 0}{partial heta}+frac{partial rcdot 0}{partial varphi})=0$

我覺得，學習數學是需要動機的，需要直觀和例子，我們的ODE課的教授（做幾何分析的）說：微分幾何那些撓率啊基本型你要我看我肯定是不會去看的，你除非告訴我說這最後可以導出一個大定理，否則我是沒有耐心去看這些東西的，國外很多幾何學家學幾何也是從黎曼幾何先學起的……我上個學期年輕氣盛地選了代數學前沿基礎課，講基本的模範疇和同調代數，然後完全完全不理解，被抽象折磨了一個學期（雖然這門課的老師總說「不要為了抽象而抽象」），這學期學起代數拓撲才意識到同調代數、範疇論是在解決什麼問題有什麼用。
所以關於活動標架法，我上學期學是學了，可是完全沒有數學經驗在支撐著我，我就完全不懂它要幹什麼。物理帶給我了一個例子，我想今後要遇到更多例子，才能理解活動標架法，有需求（無論是現實的還是美的需求，這裡應該是現實需求）才去深入學習數學的某一小塊。
這學期數分課的時候我正好在做這個靜電學和活動標架法的關聯筆記，老師走過來在我身邊坐下問我在做什麼，我告訴他說：這學期學了大物才知道上學期的微分形式、活動標架法是在搞什麼，他似乎沒理解我的意思說：看來早點學數學還是有好處的是吧，我說：不是，是我上學期那些東西沒學懂，現在學了大物才開始懂一點，他很驚訝很詫異地說：沒學懂？！
希望以後還能繼續來填這個坑。

線代學逆矩陣的時候，求矩陣（5）的逆
唉呀媽呀，（5）的行列式5呀，那伴隨矩陣呢，伴隨矩陣呢，怎麼求怎麼求！？！？
想來想去，忍不住問了旁邊女票
"你484傻，逆矩陣逆矩陣，5的逆是多少？"
頓悟了……

序

我的語言的極限就是我的世界的極限。《邏輯哲學論》維特根斯坦

高中問數學老師問題，結果老師經常說我不會問問題。

其實，不懂數學的人與專業人士之間是存在著溝通的困難，他們找不到描述問題的關鍵概念：看似提出一個問題背後，實際對於專業人士來看，則要回答四到五個問題，最可怕的是，不懂的人問的問題和他們真正不會的問題基本上是兩件事，只有專業人士極端耐心的幫助他們梳理思路和整理概念才能徹底解答他們的疑惑。所以，很多時候，專業人士就以不知道而搪塞。

個人修養對於學術很重要！高中的時候，我的化學老師曾經說過心胸狹隘的人不可能學有成就，但是，當時的觀察發現老師說的不對：往往那些心胸狹窄的人學習都不錯，甚至好於心胸開闊的人。過了很多年以後的今天，我的閱歷增加，慢慢發現它真正含意：心胸開闊背後是經濟和環境支撐，結果是良好的視野和更加靈活的思維能力。

數學的體驗不僅僅是理性與抽象，還有感性與微妙的感覺。

規範不會讓你成功但是會讓你少走彎路：很敬畏多時候被認為是教條死板的代名詞，我很小就被這種解釋所吸引，但是，到了現在，慢慢體會到這句話的含意：規範在最大程度上讓一個剛學走路的人規避錯誤，更快的走好路。數學如是，編程如是，寫字如是，做人如是觀之。敬畏規則，規則就是對自己最好的保護。

所謂沒有「數學天賦」其實很簡單，就是對涉及數學的那些「常識」（數學抽象本質就是簡單化）表現出驚人的匱乏。因為這種常識的貧困，從而需要從最基礎去理解世界，然後才能用掌握的技巧去表達、去創造數學。這無疑大大延長了學習數學的周期。之所以我們反覆糾結於「數學天賦」，本質就是對這個學科不了解，缺乏基本的信息與常識。

那種迷信一本書要寫讀上十年、八年的陳舊觀念，把時間視為功力的全部，顯然是沒有價值的。

我們認識到訓練的方法是學習的關鍵，這也就是說，我們認為功力的主要成份，應該是科學的學習方法，而不僅僅是漫長的時間。

讀書的書之粘性--對於科學和數學類初學者：第一本引論帶給人不同的原點；而一本差的，帶給人噩夢；因為每個人都會不同時間不同程度返回這個原點。 很多時候會粘著一本書死啃，結果怎麼也擺脫不了，也看不進別的書。 精讀一本書是可以培養世界觀的，很多概念遇到有疑慮時總是會偏向於使用自己最熟悉的那本書的觀點來理解

眼高手低在很多領域作為一個評判標準帶有貶義的成分，而在學術類似藝術創造領域它卻是一個褒義詞，在藝術創作上，眼界和胸襟一定要高，最怕的就是「眼低手高」，技術再熟練，也難逃低俗的泥沼。有一個認識的高度是很重要的，有的人學了一輩子也沒學成，就是因為眼界的問題。數學是有其內在的發展脈絡的，而且是可以串通的，明白了這一點，相信就不會糾結於那個數學家強弱排名和學科重要性的問題了，只不過是不同發展階段的不同面貌而已

通讀數學書轉化為具體學科具體課題方向，到細節的追索研究是專業化的一個關鍵步驟，這也是具有問題意識的基本表現。

最基本也最為重要的審美是需要充分的知識經驗和刻苦的訓練。完整體系性的訓練進階過程：模仿分析綜合創造。

數學的不同的學科之間，存在著某種協同關係；每項學科的訓練都能有助於其他學科的執行，學習數學的整體性就有了顯著的提高。

總結過去只有努力和時間還不夠，方法更重要：沒有合適的資料，缺理論，少系統性思維方式，缺少重複，欠缺規範意識，最欠的是審美判斷。 過去讀數學書是線性，而現在讀數學書是網狀文本，反映思維方式改變為單進程為多線程。過去剛猛有餘而變化不足，不輕鬆。（家庭學校環境賦予的性格和思維繫統）

具體的目標 ――資源信息時間 ―― 方法技巧思想

作字之法，識淺見狹學不足，三者終不能盡妙，我則心目手俱得之矣。蘇軾

第一章

也許我更應該提醒大家的是，某些內容一時看不懂其實無傷大雅。我在從事數學研究時，有90%的時間會有不甚明白的感覺，所以，不必緊張，歡迎來到我的世界。困惑（有時甚至是挫敗感）是數學研究的一個必不可少的組成部分。 Edward Frenkel

數學是一個由許多想法組成的故事，這些想法通常是抽象的、技術性的、複雜的、反直覺的。數學的能量、深奧以及迴環曲折的「劇情」來自於觀點之間的碰撞。

讀數學書是一個消化的過程。所謂的「乾貨」，其實是別人幫你把書消化之後，再餵給你他們吸收到的片段而已。然而一本好數學書之所以好，不在於書本身寫了什麼，而在於閱讀能否引起你的思考。能夠引發思考的從來不是什麼乾貨，而是消化和閱讀的過程。

研究和理解證明就是還原出作者思考過程，理解證明所需要的所有概念和命題關係，補充論文書寫的省略。

數學家之間有顯著的傳承關係。――這就是讀數學家自傳和訪談的妙處：訪談作為一種重要的表達手段，能夠在隨意中偶然透露出一些難得信息。

我們大多數人對於某數學家的了解，可能僅限於幾個以他們名字命名的常見的定理，但一個成名的數學家，絕不是一兩個定理所能代表的。

數學不能理解的原因：符號不理解其實是概念不理解，概念不理解是概念背後的模型和各種概念之間的聯繫不知道。

舉例：主理想整環是關於理想或者集合的定義，而唯一分解整環是關於集合的元素的定義，換句話說，前者是集合性質，後者是元素性質。

研究與學習數學的順序和思考完全是相反的：學習數學是一步步構造的建築而與之相反的研究數學的最高境界就是頭腦中有一個picture，然後能清晰的熟悉各種脈絡，如果套套公式，糾纏於繁枝細節估計不會有什麼作為的！

類比圍棋，面對複雜的數學問題，人往往先產生整體的印象，然後進入局部的推理過程。

解數學題的過程是一個付出與收回不成比例的過程，也許你用了很多方法，也許花了很多時間，才做出結果

數學研究目標是研究複雜現象的，但是，數學的第一步卻是先退後一步描述簡單的模型去闡述現象主要部分再逐步推廣到目標：反證法，要證明正確先假設錯一樣，這退後的一步就是抽象和反證法的意義。

數學家和數學新手的區別：他們在不同層次上思考，他們的概念集是不同 。專家並不比新手超前搜索多，而是感知數學的方式像一個更好的過濾器：各種可能性組成的巨大的的樹形結構所做的「隱式修剪」。

數學的專業化就是如何用一些標準化方法將表面上複雜陌生的問題轉化為已知的數學結論，而數學的難度取決於研究者有多大的可能發現外部知識技巧與所求結果的相關性。

現代物理的所有的模型公式，不過1張A4紙，現代數學所有概念定理寫下來，不超過兩張A4紙。偏微分方程里看似有太多的方程要解，但好處是只有很少的幾類才是非常基本且饒有趣味的。這些方程現在會，以後更會不斷地出現。――林芳華所以，好的數學結構與原理會反覆出現在各式各樣新問題中，學會復用與重構數學概念及結構是理解研究數學的關鍵。

如果有人把格羅滕迪克，扎維斯基，永田宜三個人的工作梳理一下，就能發現我的奇點消解的結論――廣中平祐

讀出歷史繼承，數學論文理解了一部分，同樣，閱讀經典文獻可以了解過去的思維過程。

知道數學論文和作者原生思路不同，理解了論文的另一個側面：如何提出問題思考問題，如何在碰釘子後轉彎，如何在一項設想被證實行不通時獲取關於原問題的進一步的信息，這一切，恰恰難以在書本或正式發表的論文中學到。當成果整理成文時，作者通常不談在這之前艱苦摸索的歷史；即使個別作者願意提及，學報也不屑於刊登。

好的數學理論：既要有變化，又要有規則，即在規則中求變化，在變化中求統一。

對學術的認識和表達存在一般和個性的區別，真正有創造性的認識常常帶有一種微妙性，而不是人人都有的『大路貨』。就像打乒乓球的動作，大的動作模式很多人都會模仿，但真正微妙的是手腕體現出來的小動作。所以，尋找、感悟和表達一種認識上的『微妙性』，在理論思考和學術研究中是極為珍貴的。

第二章

抽象藝術是沒有的，由於它的起始，總得有所憑依，然後才能拋開現實的外表。畢加索

數學是一種文化，有形形色色的個性的人，而不是日常中遇到的嚴厲又教條的數學老師和那些長相誇張的「高智商兒」，數學家不是怪人，當然也不是傻子----陳省身。

我最尊敬的數學家是：菲利克斯克萊因，他就像父親一樣指引我思考數學；而阿蒂亞他像一個大叔帶領你進入一個美麗新的世界，但是我最欣賞也最為接近的人則是P. R. Halmos，他認真而不失輕鬆及幽默：

數學並非是一門演繹科學—那已是老生常談了.
當你試圖去證明一個定理時，你不僅只是羅列假設，然後開始推理，你所要做的工作應是反覆試驗，不斷摸索，猜測. 你要想弄清楚事實真相，在這點上你做的就像實驗室里的技師，只是在其精確性和信息量上有些區別罷了. 如果哲學家有膽量，他們也可能像看技師一樣地看我們.
好的問題，好的研究問題，打哪兒來呢？

它們也許來自一個隱蔽的洞穴，同在那個洞穴里，作家發現了他們的小說情節，作曲家則發現了他們的曲調。誰也不知道它在何方，甚至在偶然之中闖進一輛此後，也記不清它的位置。有一點是肯定的：好的問題不是來自於做推廣的模糊慾念。
幾乎正相反的說法倒是真的：

所有大數學問題的根源都是特例，是具體的例子。在數學中常見到的一個似乎具有很大普遍性的概念實質上與一個小的具體的特例是一樣的. 通常，正是這個特例首次揭示了普遍性. 闡述「在實質上是一樣」的一個精確明晰的方法就如同一個定理表述.
關於線性泛函的黎茲（Riesz）定理就很典型。固定一個在內積中的向量就定義了一個有界線性泛函；一個有界線性泛函的抽象概念表面上看來具有很大的概括性；事實上，每個抽象概念都是以具體特定的方式產生出來的，那定理也是。
作為數學家，我最強的能力便是能看到兩個事物在什麼時候是「相同的」.

例如，當我對大衛伯格（David Berg）定理（正規等於對角加上緊緻）苦苦思索時，我注意到它的困境很像那個證明：每個緊統 (Compactam) 是康托 (Cantor) 集的一個連續象。從那時起用不著很大的靈感就可使用經典的表述而不用它的證明了。結果是能取得伯格結果的一種意思明白的新方法.
這樣的例子我還可以舉出很多. 一些最突出的例子發生在對偶理論中. 例如：緊阿貝爾群的研究與傅里葉 (Fourier) 級數的研究是一樣的，正如布爾代數的研究與不連通的緊豪斯道夫 (Hausdorff) 空間的研究是一樣的，其它的例子，不是對偶那一類的有：逐次逼近的經典方法與巴拿赫不動點定理是一樣的，概率論與測度論也是一樣的.
這樣一聯繫起來看問題，數學便清楚了；看問題去掉了表象，揭示了實質. 他推進了數學的發展了嗎？
難道那些偉大的新思想僅僅是看清了兩個東西是一樣的而已嗎？我常常這樣想 – 但我並不是總有把握的.

節選《P. R. Halmos 怎樣做數學研究》

首次發現P. R. Halmos，是在《數學傳播》上的一篇文章，一時驚為天人，然後仔細閱讀他的故事和《測度論》，最後，發現這篇深得研究之道的文字：數學不是演繹，而是尋找那個特例：簡單的例子或者模型蘊含深刻的思想，而複雜的問題又被簡單的例子所表示。

Don"t just read it; fight it! Ask your own questions, look for your own examples, discover your own proofs. Is the hypothesis necessary? Is the converse true? What happens in the classical special case? What about the degenerate cases? Where does the proof use the hypothesis?
I Want to Be a Mathematician P. R. Halmos

附記

唐?察吉爾（Don Zagier，巴黎法蘭西學院數學教授、波恩馬克斯?普朗克（Max Planck）數學所所長）

例如，設想你有一串數，滿足這樣的性質：將其中任意一個數加上1以後，得到的數恰好是前後相鄰兩個數的乘積。那麼這一串數必在五步之內循環。比方說，如果你從3,4開始，那麼這串數是3,4,5/3,2/3,1,3,4,5/3，…，在五步之內循環。
數學家與非數學家的區別，不在於能否發現像這樣的東西，而在於是否關心它、並對它為什麼正確、有何意義、與數學中其它東西可能存在的聯繫而感到好奇。
在這個特殊的例子中，結果表明，這個簡單的斷言與高水平數學中許多深刻的課題有關：雙曲幾何，代數K-理論，量子力學的薛定諤方程，以及量子場論的某些模型。
我發現，這種非常初等的數學與非常高深的數學之間的聯繫極其優美。一些數學家認為公式和特例沒那麼有趣，而只關心對深刻的根本原因的理解。當然，這是終極目標，但對一個特殊的問題來說，可以通過例子以一種不同的角度看待它，而且無論如何，有不同的觀點和不同類型的數學家是有益的。

第三章

區別：代數拓撲微分拓撲微分幾何代數幾何交換代數微分流形？
代數幾何和交換代數先放在一邊，這幾個學科：
微分幾何（研究對象微分流形）研究微分幾何整體和局部的學科是微分拓撲，微分拓撲的工具是外微分，利用嵌入和切叢聯絡的知識，陳構造了是可以得到代數拓撲的chern-weil同態的特例

參考陳省身先生的文章：
《A SIMPLE INTRINSIC PROOF OF THE GAUSS-BONNET FORMULA FOR CLOSED RIEMANNIAN MANIFOLDS》
以及陳省身對於自己工作的總結的文章《CHARACTERISTIC CLASSES AS A GEOMETRIC OBJECT》

個人對這兩篇文章的總結：
嘉當的纖維叢和聯絡理論推廣了克萊因的幾何（空間加變換群理論）和黎曼幾何（完全的空間局部理論）：黎曼幾何看做切叢和LV聯絡的幾何。流形的向量場將去掉奇點的流形提升為切叢中幺正標架空間的曲面，利用流形的斯托克斯定理和龐加萊霍普福定理得到高維的高斯博內特定理。一旦幾何結構給定，基本問題就是聯絡的內蘊性。微分幾何的整體研究開啟於微分拓撲，基本工具是外微分，關鍵定理是de Rham定理。Heinz Hopf是首先研究曲率和拓撲關係。chern用的是內蘊單位切叢非嵌入的方法證明高維的高斯博內特公式，這個證明成為特徵同態的特例，也就是Chern-Weil理論。

換句話說，陳省身的這篇《A INTRINSIC PROOF OF THE GAUSS-BONNET FORMULA 》就是從微分幾何微分流形出發通過微分拓撲的工具得到了代數拓撲的結論；論文本質是從底向上（從具體到抽象）的思考

陳省身的從具體到抽象：微分幾何到代數拓撲。指標定理反過來從拓撲指標得到分析指標：分析中來自邏輯推理而又非常複雜的公式往往都是幾何的中簡單直觀圖形的表示。

思考陳省身真正在做什麼？他實際上將高斯為代表的連續為基本的微分幾何整體性博內特定理推廣到歐拉為代表的組合圖論關係歐拉定理。表面上不同的方程和公式表示其實很多時候都是同一方程在不同幾何邊界的表示。不理解組合學實在無法理解群論的意義，代數數論，拓撲學。

而我的頓悟開始於「chern用的是內蘊單位切叢非嵌入的方法證明高維的高斯博內特公式，這個幾何化證明成為特徵同態的特例，也就是代數拓撲中的Chern-Weil理論」

同時，代數拓撲的微分形式 (豆瓣)我無法理解為什麼tom類原始證明是個比較直觀的幾何構造，到了博特這裡出現了代數化推前構造？

第一階段我讀維基中格羅滕迪克的關於黎曼羅赫定理證明的，理解了推前構造，第二階段讀到陳省身的論文，兩次綜合結論：流形或代數簇之間的直觀但是複雜的幾何構造，可以用映射的代數理論（代數拓撲及其抽象化的同調代數）來抽象化得到本質的簡單結論。這也就是格羅滕迪克的不看方程只看嵌入的背景和來源：Algebraic K-theory 指標定理的前身

第四章

一個分析化學家，準備好了能測量小數點後四位的儀器，想去按照菜譜精確放調料烹飪一道美食。但是他打開了菜譜，發現所有調料用量都是「少許」---------這句話說出我六年前的開始做研究時候的那一瞬間的感覺

交換代數與點集拓撲，組合數學，線性代數的關係

自然數是集合。羅素《數理哲學導論》

交換代數（希爾伯特零點定理：範疇多項式環的理想等價於範疇仿射空間的點集拓撲的子集合：極大理想對應點，素理想對應不可約簇，根式理想對應簇）目標如何通過模素理想這樣的代數運算在代數簇上建立點集拓撲理論（諾特環性質類比點集拓撲的局部緊性），如果在引入拓撲後的閉子群，也有如有限情形一樣的結構。

交換代數有三個角度：

第一個角度作為域論的代數相關推廣到環論的整相關，工具從向量空間到模論：Serge Lang
域（代數擴張--嵌入，代數閉包，伽瓦羅定理，）推廣到
整環（整擴張，有限生成+整型=有限，整閉包，希爾伯特零點定理，）-交換環。

諾特的正規化定理本質是拓撲學的覆蓋概念模型的代數類比：k維仿射簇是仿射空間的分支覆蓋，k維概型是仿射空間的有限型。這套基於代數方程和線性代數的語言可以轉化為集合與映射的語言：嵌入――有限生成（多項式）――擴張（覆蓋空間的分類等價於底空間及基本群構造覆蓋）

線性代數中的Cayley–Hamilton 定理推理出抽象代數中Nakayama引理（交換環上有限生成模同構於域上向量空間），中山引理的整體定理Serre–Swan定理：交換環的投射模同構緊空間的向量叢---維基Nakayama lemma

交換代數的第二個角度：
類比微分學之於微分幾何，交換代數之於代數幾何提供了局部化的工具：素理想提供了具有幾何直觀的點的概念。利用素理想實現幾何的點概念，實現類比點集拓撲的性質。

群和模這樣的商分解得到的蘊含關係鏈與點集拓撲學的開集運算關係代數同態。模去素理想這些代數概念和運算得到局部性和完備性（賦值）。

關鍵的運算或者操作：局部化（模素理想保正合性和諾特性質，在點集拓撲中就是極限存在和局部緊性），完備化（根據賦值論誘導拓撲空間）：Artin-Ree引理本質是子模的拓撲和誘導的拓撲等價，其導出了完備化的正合性和Krull定理（類比複分析中解析函數由泰勒展開係數唯一確定拓撲可分性的定理的代數描述，這個定理則是交換代數的唯一性）

交換代數的第三角度：組合學（任意偏序集）和拓撲學的關係
射影幾何的結構（偏序集格保相交）同構於可除代數的理想的結構……代數幾何的希爾伯特零點定理的特例。
組合學和線性代數及有限群表示的相互作用。
特別在最後一章維數部分，布爾代數與極值集合論同構，有限群論和布爾代數的相互作用。

第五章

重要的是幾何模型，而不是材料本身――這是材料學最令人困惑的常識和經驗！

學代數時，讀諾特的弟子 B. L. van der Waerden 的《代數學》，總是感覺群環域之間邏輯不清晰或者混亂，直到我讀到下面一段話關於代數的發展歷史：

Emmy Noether』 aim was to reunite the theory of algebras with the theory of group representations .every module over a ring is an Abelian group with operators. Thus group theory began to be the framework within which the theory of modules and the theory of algebras over a field were treated.

我才恍然明白代數發展的脈絡，書里的思路：書的章節的順序不是數學思考的順序----serge lang 群是一個最簡單的代數對象，所有的代數結構都可以通過群來表示（坐標化），而不是按照書里的順序，群僅僅作為複雜結構的單元出現。諾特注重模的直和與直交的對偶關係，將模結構可以規約為群表示。

第六章

數學研究資料變化從中文教材轉向英文書最後到英文論文的轉變

現在幾乎所有的國內數學及理科的教科書都有碎片化和課堂筆記化（必須上課和老師講解做補充）趨勢，但是考試和應用仍然是需要系統的知識體系的，導致學習難度提升很大。

數學經典論文比英文專業書簡單，而學數學到陳省身先生研究的領域微分幾何就應該以陳省身先生的論文為主而不是專業書籍了！

論文直接面對問題，而不是專業書那樣極其龐大的概念群：理解一門數學最好的方法就是找出其核心論文和核心的大家寫的關於這方面的論述！

代數幾何原理 (豆瓣)

這本書的書評：

Globally, Principles of algebraic geometry is an impressive scholarly work, not only as a compendium of basic analytic methods, but also as a guidebook to the vital geometric core of the subject. My advice to a student of algebraic geometry would be: "Start with one of the other introductory books, but have it in mind to get thoroughly familiar with this one. You will probably need a knowledgeable teacher to help you over the rough spots. If it makes you feel better, think of this book as a set of lecture notes, or even as a fantastic collection of exercises, with copious hints. This is very high quality mathematics; put forth the effort and learn as much of it as you can.-----JOSEPH LIPMAN BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY

其實，代數幾何原理這本書真的是論文集，僅僅是把所有抽象的理論下降到了具體的例子，問題是那些理論實在是太難了，例子是闡述不出來的，只有讀論文而不是讀書那點殘缺的理論了

二：發現了幾何比分析簡單（幾何是很直接的，但是分析的底層直觀和圖像都是偶然發現的複雜而且極其精巧的集論和組合意義圖像），其次代數又比幾何簡單和本質（結構簡單僅僅是方程的解的或者是多項式的特殊的結構，目標簡單就是求解方程）。

三，為什麼要閱讀名家大師的論文集？除了知識體系本身，關鍵在於其特殊的審美判斷，這些對於個人研究至關重要。

四，學術學問過程很奇怪：開始要極其謙卑和老實，但是到了自己開始做的時候又要極端的叛逆，越不老實越有成就。

五，數學真的不僅僅是和年薪相關，更重要的是分析複雜的人際關係時候的沉著冷靜氣質和不同角度出發全面處理問題的能力。

六，創作，必須讓一種感覺相對固定下來，讓它變成自己真正擁有的東西，然後再擴展到更大的範圍。偶爾得來的不算，只有到了這個程度，它才真正屬於你。創作收穫必須在本能的層面上安放好。

七，熟就是要掌握你所研究的學科的主要環節，要懂得前人是怎樣思考，念別人的論文要究根究底分析論文的實質，要弄清楚論文的出發點，這篇論文的來龍去脈，最後還要考慮是否有比作者更好的方法來解決論文提出的問題；弄清這本書是如何從關鍵出發得到充分發揮的，也就是念書要「從厚到薄，從薄到厚」。……華羅庚

雙曲線，在實軸虛軸附近才是曲線，但是從宏觀來看，它就是自己的漸近線——兩條交叉的直線！

這是我復讀班上的數學老師說的。從那以後，我每次畫雙曲線，就都會先畫漸近線。

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再來一個，小學的時候覺得等差數列求和公式和梯形的面積公式有些相似的地方，自從學了微積分以後我就更覺得「不過是連續和離散的區別」。

用圖像變換去理解特徵值特徵向量的時候

從幾何意義來看，求特徵值和特徵向量即為求出該矩陣能在哪些方向上（即特徵向量所示方向）只發生拉伸，使其發生拉伸的程度如何（特徵值大小）。這樣做的意義在於，看清一個矩陣在空間的哪些方向上能產生最大的效果，並根據所產生的每個特徵向量（一般研究特徵值最大的那幾個）進行分類討論與研究。

2.傅里葉分析究竟是幹什麼用的？

先說一個最直接的用途。無論聽廣播還是看電視，我們一定對一個詞不陌生——頻道。頻道頻道，就是頻率的通道，不同的頻道就是將不同的頻率作為一個通道來進行信息傳輸。下面大家嘗試一件事：

先在紙上畫一個sin（x），不一定標準，意思差不多就行。不是很難吧。

好，接下去畫一個sin（3x）+sin（5x）的圖形。

別說標準不標準了，曲線什麼時候上升什麼時候下降你都不一定畫的對吧？

好，畫不出來不要緊，我把sin（3x）+sin（5x）的曲線給你，但是前提是你不知道這個曲線的方程式，現在需要你把sin（5x）給我從圖裡拿出去，看看剩下的是什麼。這基本是不可能做到的。

但是在頻域呢？則簡單的很，無非就是幾條豎線而已。

所以很多在時域看似不可能做到的數學操作，在頻域相反很容易。這就是需要傅里葉變換的地方。尤其是從某條曲線中去除一些特定的頻率成分，這在工程上稱為濾波，是信號處理最重要的概念之一，只有在頻域才能輕鬆的做到。

必須說說我對實數構造的理解啊。
大一學數分的時候，對實數構造那是一臉懵逼，什麼閉區間套，Baire綱，等等定理全是一臉懵逼，倒不是覺得它難，而是難以想像一個數軸會有這麼多的東西，再加上實數構造內容不考，所以基本沒認真看，直到大三上實變，老師花了一個月把集合論講的通通徹徹的時候，回頭看實數構造，覺得卧槽，真是well defined，平凡且美妙的一件東西，大概那個時候才對數學提起了興趣。。雖然目前還是渣。

太多次了，特別熱愛這種感覺。
印象比較深刻的一次，是初三的時候年幼無知，自學微積分。當時我特別不能理解什麼叫dy/dx，更不能理解的就是為什麼積分寫完積分符號後要加一個dx。書上永遠寫的是：「記作」。記作記作！你得有點道理吧，我就一直卡在這，必須把他搞明白。

直到，也不知道是多少天后，我突然有一天突然也不知道怎麼回事突然意識到d，無非就是delta，完全是一個意思！然後高興的那天晚上睡不著覺。