中值定理的條件中，為什麼同時要「開區間內可導」和「閉區間上連續」兩個條件？

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羅爾、拉格朗日、柯西三人的中值定理的條件中，都有
（1）在閉區間 [a,b] 上連續
（2）在開區間 (a,b) 內可導
可導的一定連續，所以差別只在a和b兩點了，可是為什麼要在意這兩點呢？條建(1)該怎麼理解呢？條建(1)的存在是為了排除哪些情況的函數呢？包括ab兩點有無窮的情況嗎？包括的話為什麼要排除它們，不包括的話為什呢么？還有哪些呢？煩請回答時最好還描述一下這些函數的圖象，謝謝

其實是這樣，首先要知道Lagrange 中值定理和Cauchy中值定理都是通過構造函數從Rolle中值定理推的，所以題主的問題可以簡化到為什麼Rolle中值定理要有閉區間連續和開區間可導兩個問題。
這個問題的具體解決還是要從具體的證明過程入手：
撇開f(x)是常函數不談，Rolle定理用到的一個非常重要的性質是閉區間連續函數存在最大最小值的性質。既然存在最大最小值，而兩端點函數值又相等，那肯定有一個是在（a,b)取到的。而Fermat定理保證了f(x)在x0處可導，且f(x0)是一個極致，則f"(x0)等於0。這裡就要求在區間內可導，但是既然要的這個點不在端點取到，所以只要開區間可導就可以。至於為什麼閉區間連續不能改，是因為一旦改成開區間連續的話最大最小值就沒了，當然在廣義Rolle定理中用端點極限存在且相等來替代閉區間連續，這個就是耍流氓，因為有了那個條件就可以直接構造閉區間連續的函數了。反例的話樓上高票答案給的已經很好了。
以上

之前在這個答案挖了一個坑，這裡來填坑。

先明確下，中值定理應該指的是羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

這個問題比較簡單，我們來分類討論一下，看看這個條件可能有幾種情況：

$[a,b]$ 連續， $[a,b]$ 可導
$[a,b]$ 連續， $(a,b)$ 可導
$(a,b)$ 連續， $[a,b]$ 可導
$(a,b)$ 連續， $(a,b)$ 可導

下面解釋下，為什麼只能用 $[a,b]$ 連續， $(a,b)$ 可導。

1 $[a,b]$ 連續， $[a,b]$ 可導

這種情況會縮小中值定理的適用範圍：

上面就是 $[a,b]$ 連續，但只有 $(a,b)$ 可導的函數（在端點處，導數震蕩），但是依然可以使用中值定理。

還有一個原因我覺得也比較重要， $[a,b]$ 可導其實是一個不太好的說法。在同濟大學教材裡面說， $[a,b]$ 可導在端點處只要求單邊可導，這會導致一些邏輯上的麻煩：

比如 $[a,b]$ 可導，但是可能 $a$ 點不可導，又比如 $[a,b]$ ， $[b,c]$ 可導，但是可能 $[a,c]$ 不可導。

所以我們盡量用 $(a,b)$ 可導，這往往也夠用了（連續卻不會，想想為什麼？感謝@張無忌指正。）。

2 $[a,b]$ 連續， $(a,b)$ 可導

這是正確的表達形式，就不贅述了。

3 $(a,b)$ 連續， $[a,b]$ 可導

$[a,b]$ 可導那麼一定意味著 $[a,b]$ 連續，所以 $(a,b)$ 連續相當於沒有說，這個條件等同於第一種情況： $[a,b]$ 連續， $[a,b]$ 可導。

4 $(a,b)$ 連續， $(a,b)$ 可導

這可能意味這下列的情況：

上圖端點是間斷的，很顯然不能運用中值定理。

上圖函數無界，中值定理要求函數在端點處有定義，所以也沒有辦法運用中值定理。

說句題外話，我其實一度對 $(a,b)$ 連續的情況下的 $(a,b)$ 可導產生過懷疑，為什麼我會懷疑它在 $(a,b)$ 上的可導性呢？因為如果 $a$ 有後繼數 $a$ ，那麼根據導數的定義， $a$ 只有右側導數（左側不連續或者不存在）。哪怕忽略 $a$ 的問題，就認為單側導數是OK的，但是 $a$ 的後繼數 $a$ 呢？其左側鄰域只有一個點，這還能算鄰域嗎？這個問題導致我寫了這個回答，有興趣可以看一下。

1.在閉區間上連續是為了使用費馬引理。
2.在一點可導的一般情況，是左右導數都存在並且相等，所以如果將在開區間可導換為在閉區間可導，則對於端點處，可導性就成了左可導和右可導，這只是可導的特例，而作為定理，我們需要描述的是一般情況，因此用開區間。
3.將在開區間可導換為閉區間可導，還會導致 $xi =a$ 或 $xi =b$ ，從而不能保證在區間[a,b]上的其它點找到導數為0的點，儘管中值定理的中字不是指區間中間，但是，我們還是可以片面地理解為我們需要在區間中間而不是端點上找。這種情況也與結論不符，結論要求在除了端點的區間內找到。

$egin{equation} g(x)= egin{cases} 3 mbox{$x=0$}\ x mbox{$0<x<1$}\ 3 mbox{$x=1$} end{cases} end{equation}$ ，這個函數圖象很容易，我就不畫了。
根據拉格朗日定理有 $0=g(1)-g(0)=g$
但這個函數導數都是1，不可能為0，所以矛盾。

說下怎麼思考，直觀上的理解。
回顧下這幾個定理：
羅爾定理：如果函數f(x)滿足以下條件：（1）在閉區間[a,b]上連續，（2）在(a,b)內可導，（3）f(a)=f(b)，則至少存在一個ξ∈(a,b)，使得f"(ξ)=0=f(a)-f(b)。
拉格朗日：

發現沒有，這幾個定理不僅都有（1）在閉區間 [a,b] 上連續（2）在開區間 (a,b) 內可導，還有f（x）在兩個端點的值組成的一個關係式。
那麼如果函數在端點不連續，不連續的意思就是端點的值和區間內的值一點關係都沒有，而定理的結論是函數在端點的值和區間內的導數（依賴於區間內的值）有關係。這明顯就有問題。

其他人分析的很好了。補張相當直觀的圖。

這樣除去那兩點的可導性要求使其應用範圍更廣了