多元函數中，為什麼AC-B^2可以判定極值？AC-B^2這個判別式是怎麼來的？

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我曾經答過類似的題目，現搬運如下
二元函數求極值中的P(x0,y0)&<0是什麼原理? - 知乎用戶的回答

下面我用一種啟發式而不是嚴格證明的方法說一下個問題，當然需要你有一點線性代數的知識。

先從一元函數說起。
對於二階連續可導的一元函數 $f(x)$ ，判斷 $f(x_{0})$ 是它的一個極值的條件是：
(1) $f$ $Rightarrow$ 極大值
(2) $f$ 0" eeimg="1"> $Rightarrow$ 極小值
(3) $f$ $Rightarrow$ 需要進一步討論

一元函數的情況你應該是可以理解的，然後我們推廣到二元函數的情況。
對於二階連續可微的二元函數 $f(x,y)$ ，我們定義它的一階「導數」為Jacobian矩陣 $J_{f}=egin{bmatrix} frac{partial f}{partial x} \ frac{partial f}{partial y} end{bmatrix}$ ，定義它的二階「導數」為Hessian矩陣 $H_f=egin{bmatrix} frac{partial^{2} f}{partial x^{2}} frac{partial^{2} f}{partial xpartial y} \ frac{partial^{2} f}{partial xpartial y} frac{partial^{2} f}{partial y^{2}} end{bmatrix}$ 。
這裡我們令 $A=frac{partial^{2} f}{partial x^{2}}$ ， $B=frac{partial^{2} f}{partial xpartial y}$ ， $C=frac{partial^{2} f}{partial y^{2}}$ ，這樣就有了 $H_f=egin{bmatrix} A B \ B C end{bmatrix}$ 。
對一元函數的判斷條件做一個類比，把「一元函數二階導數的正負號」類比到「二元函數Hessian矩陣的正定性或負定性」（如果你不懂正定矩陣和負定矩陣的含義，請參閱正定矩陣，當然如果你理解的話就會發現這種類比是很自然的），這樣就有了判斷 $f(x_{0},y_{0})$ 是它的一個極值的條件是：
(1) $J_{f}=0,H_f$ 是負定矩陣 $Rightarrow$ 極大值
(2) $J_{f}=0,H_f$ 是正定矩陣 $Rightarrow$ 極小值
(3) $J_{f}=0,H_f$ 是半正定矩陣或半負定矩陣 $Rightarrow$ 需要進一步討論
那麼，如何判斷 $H_f$ 是不是正定矩陣或負定矩陣呢？
(4) 對於 $H_f=egin{bmatrix} A B \ B C end{bmatrix}$ ，它是正定矩陣的充要條件是：
$A>0,$ 且 $H_f$ 的行列式 $left| H_f ight| =AC-B^2>0$ 。
(5) 對於 $H_f=egin{bmatrix} A B \ B C end{bmatrix}$ ，它是負定矩陣的充要條件是：
$A<0,$ 且 $H_f$ 的行列式 $left| H_f ight| =AC-B^2>0$ 。
可見，不論 $H_f$ 是正定矩陣還是負定矩陣，都必須要有 $left| H_f ight| =AC-B^2>0$ ，也就是說，必須要有 $B^2-AC<0$ 。