洛倫茲變換為什麼是線性的，是如何推導得線性的？

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一直想不通，書上一筆帶過，說洛倫茲變換方程慣性系下是線性的，可是是為什麼呢？求大神數學推導

考慮洛倫茲變換 $x$ ，使得原時間隔 $c^2d au^2 = c^2 dt^2 - dm x^2$ 不變，即，
$eta_{mu u} dx^mu dx^ u = eta_{ hosigma}dx$ 。這裡 $eta_{mu u} = mathrm{diag}{+1, -1, -1, -1}$ 。注意到，其逆矩陣為其自己 $eta^{mu u} = eta_{mu u}$ 。這樣以來，洛倫滋變換需要滿足：

$eta_{mu u} frac{partial Lambda^mu}{partial x^sigma } frac{partial Lambda^ u }{partial x^ ho} = eta_{sigma ho}$ ........ [1]

兩邊求導可得：

$eta_{mu u} frac{partial^2 Lambda^mu}{partial x^sigmapartial x^lambda}frac{partial Lambda^ u}{partial x^ ho} + eta_{mu u} frac{partial Lambda^mu}{partial x^sigma}frac{partial^2 Lambda^ u}{partial x^ hopartial x^lambda} = 0$ ........ [2]

將式［2］里指標 $sigma, lambda$ 對換，得到：

$eta_{mu u} frac{partial^2 Lambda^mu}{partial x^lambdapartial x^sigma}frac{partial Lambda^ u}{partial x^ ho} + eta_{mu u} frac{partial Lambda^mu}{partial x^lambda}frac{partial^2 Lambda^ u}{partial x^ hopartial x^sigma} = 0$ ........ [3]

將式［2］中指標 $ho,lambda$ 對換，可得：

$eta_{mu u} frac{partial^2 Lambda^mu}{partial x^sigmapartial x^ ho}frac{partial Lambda^ u}{partial x^lambda} + eta_{mu u} frac{partial Lambda^mu}{partial x^sigma}frac{partial^2 Lambda^ u}{partial x^lambdapartial x^ ho} = 0$ ........ [4]

［2］＋［3］－［4］，並注意到求導順序可以交換，並且 $eta_{mu u} = eta_{ umu}$ ，可得：
$egin{split} 2eta_{mu u}frac{partial^2 Lambda^mu}{partial x^sigma partial x^lambda} frac{partialLambda^ u}{partial x^ ho} + eta_{mu u}frac{partial Lambda^mu}{partial x^lambda}frac{partial^2 Lambda^ u}{partial x^ ho partial x^sigma} - eta_{mu u} frac{partial Lambda^ u}{partial x^lambda} frac{partial^2 Lambda^mu}{partial x^ ho partial x^sigma} = 0 \ Leftrightarrow 2eta_{mu u}frac{partial^2 Lambda^mu}{partial x^sigma partial x^lambda} frac{partialLambda^ u}{partial x^ ho} =0 end{split}$
只要假設坐標變換是可逆的，便可以消去雅科比矩陣 $J^ u_ ho equiv frac{partial Lambda^ u}{partial x^ ho}$ 和 $eta_{mu u}$ 得到，
${Huge oxed{ frac{partial^2 Lambda^mu}{partial x^sigma partial x^lambda}= 0} }$

補充與討論：

$frac{partial ^2 Lambda^mu}{partial x^sigma partial x^ ho} = Gamma^lambda_{sigma ho} frac{partialLambda^mu}{partial x^lambda}$ , $Gamma$ 叫做仿射聯絡；它與時空曲率密切相關，在弱場近似下， $Gamma^i_{00}$ 就是引力（包含了慣性力）的場強。
上面得證明基於 $eta_{mu u}=mathrm{diag}{+1,-1,-1,-1}$ , 即直角坐標系；若採用曲線坐標，洛倫滋變幻不一定是線性。
洛倫滋變換將閔可夫斯基空間中的直線變換到直線，這與洛倫滋變換是慣性系之間的變換相容。當然，我們可以問相反的問題，是否所有聯繫慣性系之間的（光滑的）坐標變換都是線性的？換句話說，將閔可夫斯基空間中直線變換為直線的做標變換是否都是線性的（允許一個平移操作）？仿射幾何給出肯定的回答。
當然在相對論中定義慣性參考系時，我們應當僅考慮速度小於光速的粒子的勻速直線運動。因此上面的問題可以加強為，將閔可夫斯基空間中「速度」小於（等於）光速的直線變換為「速度」小於光速（等於）的直線的坐標變換是否都是線性的？注意，上面所說的速度不是幾何中定義的直線速度 $dx^mu/ds$ (這裡 $s$ 為某一描寫直線的參數)，而是真實的速度 $v = sqrt{dm x^2}/dt$ (或者按照幾何上叫法叫斜率)。這個答案也是肯定的。

破輸入法
假定我們有兩個慣性參考系 $(M,eta),(N,eta)$ ，其中 $Msimeq Nsimeq mathbb{R}^4$ 而 $eta=diag(-1,1,1,1)$ 。相對性原理說 $f:M o N$ 應該保持度規（內積）。
從"positive" point of view來看，問題等價於要說明 $(mathbb{R}^4,eta)$ 到自身的等距映射(isometry, but not translation type)是線性的。

方法1：對 $gin Isom( mathbb{R}^4)$ 和 $x,yin mathbb{R}^4$ ，有，
$x^{T}eta y=g(x)^{T}eta g(y)$
（都是矩陣乘法的記號）分別令 $y=e_a$ ,其中 ${e_a}$ 是關於 $eta$ 的標準基底，得到，
$pm x_i=g(x)^Teta g(e_i),i=1,2,3,4$
正負號就是 $eta$ 的符號（這個式子已經可以說明 $g$ 是線性的了，因為 $x$ 變動時 $g(e_i)$ 是固定的），所以， $g(ka+b)^Teta g(e_i)=pm (ka_i+b_i)=kg(a)^Teta g(e_i)+g(b)^Teta g(e_i)=(kg(a)+g(b))^Teta g(e_i)$
$eta$ 的非退化性使得我們可以消去兩邊沒用的東西，就行了。

推廣：http://en.wikipedia.org/wiki/Mazur%E2%80%93Ulam_theorem，對於帶有一般norm的vector space，等距也意味著線性性。

方法2：更物理一點，和樓上的方法本質相同，（和恆等映射在同一個連通分支的）等距同構由Killing vector field的flow生成，考慮Killing vector field $K^i(x)$ ，應該滿足Killing方程，
$abla_iK^j+ abla_jK^i=0$
對於 $(mathbb{R}^4,eta)$ ，上式化為，
$partial_iK^j+partial_jK^i=0$
令 $i=j$ ，得到 $K^i(x)$ 是常數，所以對應的等距同構一定是線性的。

推廣：這種方法的優勢是可以用來計算更一般的流形的等距同構群。

等距和保內積的區別是前者可以是一個trivial的平移，後者固定原點，我前面術語亂了別怪我啊= =。

這應該是一個很物理的問題，諸位的思想都太現代了？從（ct，x，y，z）到（ct"，x"，y"，z"）的變換從數學上講當然可以是非線性的，但如果這個變換是可導的，經過計算容易得到，（cdt，dx，dy，dz）到（cdt"，dx"，dy"，dz"）的變換是線性的雅可比矩陣。一般來說我們關心變換的局域性質，線性性是理所當然的。重點在於慣性系在任意四維坐標下（即任意時間和空間點）都保持了相同的局域性質，故變換矩陣也是處處相同的，所以我們就認為這個變換本身就是線性的。

當然，如果我們從該變換的數學定義出發，線性性是內稟的。但問題在於，為什麼我們要這麼定義，如果只學過經典力學可能會難以理解。

一個線性空間的連續可逆變換（採用R^n的拓撲），若其將直線映成直線，則其必為線性映射。這個在數學上不難證。

如果是非線性的將對應另一種物理情景：引力。

若一個物體在某一慣性系下為勻速直線運動，在另一慣性系下一定仍為勻速直線運動;從一個一元一次函數到另一個一元一次函數當然是線性變換。當然這是慣性系下最為特殊的例子，但應該足以說明問題。

額科普向（民科向）地說，所謂線性就是均勻的，平等的。

如果變換不均勻，慣性運動就不是勻速的了，人類很早就能發現狹義相對論效應了。

沒學過物理，看數學書的時候例題里的求一個線性變換，條件是這個變換滿足光速不變原理推出來的... 這樣當然是一個線性變換。
估計歷史上也是這樣討論的... 畢竟伽利略變化也是一個線性變換，這樣自然會想到求一個滿足光速不變原理的線性變換。

一列火車兩節車廂我在車上你在地上
依我所見兩廂等長如你所見兩廂不等
我見兩倍你見非倍不是線性非慣性類

剛開始洛倫茲變換中時空變換的線性是合理假設的，後洛倫茲變換被近代物理很多實驗證實，也就肯定了假設的合理性，後來數學的發展更加證明了。是一個科學假設。