一元微分理論中，為什麼 d(dy/dx)/dx=d^2y/(dx)^2 ？

12-27

我的推理如下：
$dy = y$
$Rightarrow$ $ddy=dy$
$Rightarrow ddy/dxdx=dy$
若要 $ddy/dxdx=dy$ 即 $d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx$
則必然需要 $ddx/(dxdx)=0$

這裡我就卡住了，如果從二階導數的角度看 $d(dx/dx)/dx=d(1)/dx=0$ 是顯然的
但是我想不出怎麼證明 $d(dx/dx)/dx=ddx/(dxdx)$
可能要涉及到對ddx這個自變數微分的微分的理解。
求解釋！

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補充，關於標題式子「 $d(dy/dx)/dx=d(dy)/(dx)^2$ 」成立的出處和說明

以下摘自《工科數學分析基礎》第二版上冊，P119
(省略關於眾多字母的定義，以及可導性等等題設)

$d(dy)=d(f$ (其中第二個等式成立是由於dx=Δx，與x無關)
稱它為函數f在區間I上的二階微分，記作 $d^2f$ 或 $d^2y$ 。通常把 $(dx)^2$ 記作 $dx^2$
這時則有 $d^2y=f$

根據這一段
顯然有 $f$
同時 $f$
$d(dy/dx)/dx=d(dy)/(dx)^2$

誠心請教

這是什麼原理？是誰邀我的？
不過不管是誰，總之謝謝邀請。

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說回正題（其實上面那些才是正題）

要知道，發明微積分其實並不是一件特別難的事情，很多人都在幾乎同時做過，而且各自使用了各種各樣的符號。而且基本上各種符號都被沿用至今。比如說

Leibniz"s notation
$frac{d(f(x))}{dx} or frac{d}{dx}(f(x))$
$frac{d^ny}{dx^n}, frac{d^n(f(x))}{dx^n}, or frac{d^n}{dx^n}(f(x))$
$frac{dBig(frac{dig(frac{dy}{dx}ig)}{dx}Big)}{dx}=(frac{d}{dx})^3(f(x))$
（不過現在誰要是把三階導數寫成左邊那個樣子那純粹找虐）

Lagrange"s notation
$f$ for the first derivative, $f$ for the second derivative, $f$ for the third derivative.
（但是……悲催的是……some authors continue by employing Roman numerals such as $f^{IV}$ for the fourth derivative of f……也是夠難看的）

Euler"s notation
$Df$ for the first derivative, $D^2f$ for the second derivative, $D^nf$ and for the nth derivative, for any positive integer n.
（在方程裡面很喜歡把求導寫成這樣，因為看起來像個運算元似的）

Newton"s notation
$dot y=frac{dy}{dt}$ ， $ddot y=frac{d^2y}{dt^2}$
（物理裡面最喜歡這樣子了……）

（以上全部引自Notation for differentiation）
所以，為什麼會把二階導數寫成 $frac{d^2y}{dx^2}$ ，其實就是萊布尼茲的記號，也就是，如果把求導 $frac{d}{dx}$ 看成一個運算元，那麼這個運算元作用兩次就應當是 $(frac{d}{dx})^2$ ，於是不妨記成 $frac{d^2}{dx^2}$ ，也就是 $frac{d^2y}{dx^2}=(frac{d}{dx})^2y$ .
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好了說到這裡其實已經回答完了，但多說兩句個人看法。我們接著上面的歷史講，當大家都只是發明微積分的時候，要知道連極限還沒有出現呢，所有的定義都是不嚴格的。嚴格定義極限和微積分是要到很久以後了，也就是所謂的第二次數學危機，這段歷史相信大家都知道。對於學物理的人而言呢（我也加入一下黑物理的大軍吧），什麼東西描述一下就好了。但是數學不一樣，嚴格的定義是數學的一部分，甚至說，這正是數學的魅力所在。
就拿這個問題下的答案來舉例吧。比如說 @余翔同志的答案，那是一個標準的定義，所有的東西都是清晰的，雖然可能不是那麼好用，甚至有的答主還有些抵觸，但是定義就是這樣。
再比如說，

x的變化量△x趨於無窮小時，則記作微元dx——引自百度百科

當你看到這句話的時候，一定要清楚地認識到這句話是不嚴格的。什麼叫「趨於無窮小」？那不就是0嗎？別四處看是就是不是就不是……
回來看題主的問題。當你的目的是理解導數的時候，各種各樣的話都是可以聽也可以看的。但是當你在寫一個證明的時候，所有概念，記號，必須都要有定義。寫每一步，都要相應地問自己： $dx$ 是什麼？ $d$ 是哪個空間到哪個空間的映射？ $d(dx)$ 又是什麼？ $dy$ 和 $dx$ 是按照怎麼樣的除法定義能相除的？
當然，事實上，上面這些問題都是沒有必要回答的，因為這只是記號，是在微積分還沒有被嚴格定義的時候數學家所使用的記號。題主所謂的「證明」也是沒有意義的。
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btw如果題主以後三生有幸學了如下概念：微分形式，外微分，Grassmann代數，切空間，切映射，切叢，對偶叢。那麼相信會有更深刻的理解的。

$frac{dy}{dx}$ 和 $y$ 是相同的記號，都表示函數 $y(x)$ 在 $x$ 處的導數。

定義. 設 $f:mathbf{R} omathbf{R}$ 是可微函數， $x_0inmathbf{R}$ ，用 $df(x_0)$ 表示函數 $f$ 在 $x_0$ 處的微分，它是一個線性函數 $df(x_0):mathbf{R} omathbf{R}$
$df(x_0)(h):=f$ 。
比如，設 $f(x)=x^2$ ，那麼 $f$ 在 $x_0=2$ 處的微分是線性函數 $A:mathbf{R} omathbf{R}$
$A(h)=4h$

如果 $f(x)=x$ ，那麼 $f$ ，因此對所有的 $x_0inmathbf{R}$ ， $df(x_0)$ 都是線性函數
$df(x_0)(h)=1h=h$
如果將 $f$ 換成 $x$ ，上面的式子可以寫成
$dx(x_0)(h)=h$
因為對於所有的 $x_0inmathbf{R}$ ， $dx(x_0)$ 表示的都是同一個線性函數 $hmapsto h$ ，所有可以將 $x_0$ 省略掉，寫成
$dx(h)=h$
所以 $dx$ 表示的是恆等的線性函數， $A:mathbf{R} omathbf{R},~A(h)=h$ 。

由於 $dx(h)=h$ ，因此
$df(x_0)(h)=f$
即
$df(x_0)=f$
這個等式必須理解為關於 $h$ 的函數恆等式，這裡 $dx$ 應該寫成 $dx(x_0)$ ，由於這個線性函數與 $x_0$ 是無關的，所以省略掉了。
根據(1)式得到
$f$
即函數 $extstyle frac{df(x_0)}{dx}:mathbf{R} omathbf{R},~frac{df(x_0)}{dx}(h):=frac{df(x_0)(h)}{dx(h)}$ (表示函數 $df(x_0)$ 與 $dx$ 的商)是一個常數並且等於 $f$ ，由於這個緣故，我們用記號 $frac{df(x)}{dx}$ 表示導數 $f$ 。

第一次有人邀請我回答問題。。。首先，按照二階導數的定義，這個是顯然的吧。就是一階導數再求導。其次，按照你這樣形式化的推導，也是可以推導出來的。(雖然不見得十分準確)但是怎麼說呢，二階導數的定義是啥？就是一階導再導。你的論證中出現了循環論證才無法繼續進行。
最後，順便問下公式怎麼發的。。

這個可以證明，任意連續的函數，都可以看做無數的直角三角形的斜邊連在一起，如上圖，我取了函數的某一處，兩條斜邊代表這一處函數上兩個相鄰的點，這兩點的微分分別是 $frac{dy_{1} }{dx}$ 和 $frac{dy_{2} }{dx}$ 。
設左下角的三角形的橫坐標是x,設h是一個很小很小無限接近於0的數，則右上角的三角形的橫坐標則是 $(x+h)$ ，或者 $(x+dx)$ 。
$f$

這裡因為x是自變數，dx實際上應該是被看作是一個與x無關的常數因子，那麼再對x微分的話就很容易有：
$d(dx)=d(1cdot dx)=d(1)dx=0(dx)^2=0$
這一點是只有在x是自變數的時候才成立，如果x是t的複合，比如x=t^2的話，那dx=2tdt是和t有關的函數

其實這只是記號問題

就是一個記號而已。

反對所有只是一個記號的回答題主的問題我也想過後來知道了答案微分是差分的極限差分符號就是△x 二階差分是△∧2 x
這裡有一些非常有意思的東西比如對泰勒公式的理解
題主可以看看數學及其歷史 or 柯朗寫的那本微積分與數學分析引論

我們知道求導數的時候有(cy)"=cy"，其中c為常數

因此d(cy)=(cy)"dx=cy"dx=cdy

又因為x是自變數，所以說dx是一個無窮小（常數）

因此d(dy/dx)=(1/dx)*d(dy)=d^2y/dx

對dy/dx用除法的求導法則就算出來了，dy是x的函數，dx與x無關，ddx為零

不只是記號，這個記號的來源是可以證明的
如果要證明只是約定記號應證明左右兩式不等
設dx=u,du是u的無限小增量,du/u=0,ddx/dx=0
ddx/(dxdx)=(ddx/dx)/dx=0/dx=0
所以d(dx/dx)/dx=ddx/(dxdx)
結合題目中的步驟可得證

d(dy/dx)/dx=d^2y/(dx)^2

首先，我認為這個標題本身是錯誤的；即 $d^2y/dx^2=d(dy/dx)/dx e ddy/(dx)^2$ ,等式最左邊僅僅是一個約定的記號，並不能寫成d^2y/(dx)^2 或 $ddy/(dx)^2$ 。

「不問是不是就問為什麼」這不是耍流氓么，題主？！

$dy = y$ $Rightarrow$ $ddy=dy$ $Rightarrow ddy/dxdx=dy$ 題主的這部分推理並沒有問題，問題在於你想當然地認為標題正確了，然後又推出了矛盾。

再闡述下我的理由。

在這裡我們先認為x為自變數，y為因變數，方便理解。

通常把自變數x的增量 $！x$ 稱為自變數的微分，記作 $dx$ ,即 $dx=！x$ [1]

設y=f(x)二階可導，當 $x$ 從 $x0$ 變化到 $x1$ ， $！x=x1-x0$ ，同時 $y$ 從 $y0$ 變化到 $y1$ ， $！y=y1-y0$ ；
$！y=y_{0}^{(1)} dx+o(！x)$ ，
且 $！y$ 的主部： $dy=y_{0}^{(1)} dx$ ，
此處 $y_{0}^{(1)}$ 為一階導函數在 $x0$ 處的值。

當 $x0$ 在定義域內變化為任意 $x$ 時， $dx=x1-x$ ， $dy=y1-y$ ,對應的一階導函數值 $y_{0}^{(1)}$ 也就變化為對應的一階導函數(值)。
這樣可以理解導數是微商，反映的是 $dy$ 與 $dx$ 的比值，即兩個相關變數同一變化過程中增量主部的比值。而x處的一階導數值 $dy/dx$ 與x1是無關的！！！則 $d(dy/dx)/dx$ 即為y對x的二階導數值！

再關注 $dx$ ，需要注意的是 $x0$ 的變化可以引起 $dx$ 的變化， $x1$ 同樣可以；一個起點，一個終點，增量與兩者都相關。
那麼對dx取微分，則應該是全微分
$d(dx)=d(！x)= (partial！x/partial x1 )dx1+(partial！x/partial x)dx =dx1-dx$ ，
而不是 $d(dx)=0$ 或 $d(dx)=dx$ 。 @鄧永哲
同理對dy取微分，也是全微分，不只是與y或x相關。

所以對於兩個函數表達式而言， $d(dy/dx)/dx e ddy/(dx)^2$ ！！！

嘗試著回答一下題主的問題，歡迎各位指出錯誤。
[1]摘自同濟高數第六版