應該按照怎樣的順序來自學英文版本科及研究生數學書籍?

12-27

即對國內高中水平的讀者而言，如何通過自學達到英語國家本科生、研究生的數學水平？
具體的參考書目和閱讀順序是怎樣的？

GTM定位為研究生或高年級本科生，有連續編號，但只是按照出版順序，沒有邏輯聯繫。
比如GTM94是微分流形與李群基礎，GTM95是概率論，GTM96是泛函分析教程。
Graduate Texts in Mathematics

UTM定位為本科生教材，似乎比較散，沒有通用編號。
Undergraduate Texts in Mathematics
這兩者均為Springer出版

還有GSM系列，是美國數學會出版，也定位為研究生或高年級本科生，有連續編號。
其中的Evans的PDE比較著名。
http://www.ams.org/bookstore/gsmseries

別的系列還有一些好書，但就不列舉了。

可以參考
美國大學數學研究生基礎課程參考書目
稍微調整了一下，前面的選了幾本加粗體可以多留意一下，後面的我也不熟悉。

本科
　　分析：
　　Walter Rudin, Principles of mathematical analysis;
Apostol , mathematical analysis;
M.spivak , calculus on manifolds;
　　Munkres ,analysis on manifolds;
　　Kolmogorov/fomin , introductory real analysis;
　　Arnold ,ordinary differential equations。
　　代數：
　　linear algebra by Stephen H. Friedberg;
　　linear algebra by hoffman;
　　linear algebra done right by Axler;
　　advanced linear algebra by Roman;
　　algebra ,artin;
　a first course in abstract algebra by rotman。
　　幾何：
　　do carmo, differential geometry of curves and surface
　　Differential topology by Pollack;
　　Hilbert ,foundations of geometry;
　James R. Munkres, Topology。
　　數學基礎：
　　1、halmos ,native set theory;
　　2、fraenkel ,abstract set theory;
　　3、ebbinghaus ,mathematical logic;
　　4、enderton ,a mathematical introduction to logic
　　5、landau, foundations of analysis;
　6、maclane ,categories for working mathematican。
應該在核心課程學習的過程中穿插選修

　　第一學年
　　幾何與拓撲：
　　1、James R. Munkres, Topology：較新的拓撲學的教材適用於本科高年級或研究生一年級;
　　2、Basic Topology by Armstrong：本科生拓撲學教材;
　　3、Kelley, General Topology：一般拓撲學的經典教材，不過觀點較老;
　　4、Willard, General Topology：一般拓撲學新的經典教材;
　　5、Glen Bredon, Topology and geometry：研究生一年級的拓撲、幾何教材;
　　6、Introduction to Topological Manifolds by John M. Lee：研究生一年級的拓撲、幾何教材，是一本新書;
　　7、From calculus to cohomology by Madsen：很好的本科生代數拓撲、微分流形教材。
　　代數：
　　1、Abstract Algebra Dummit：最好的本科代數學參考書，標準的研究生一年級代數教材;
　　2、Algebra Lang：標準的研究生一、二年級代數教材，難度很高，適合作參考書;
　　3、Algebra Hungerford：標準的研究生一年級代數教材，適合作參考書;
　　4、Algebra M,Artin：標準的本科生代數教材;
　　5、Advanced Modern Algebra by Rotman：較新的研究生代數教材，很全面;
　　6、Algebra：a graduate course by Isaacs：較新的研究生代數教材;
　　7、Basic algebra Vol III by Jacobson：經典的代數學全面參考書，適合研究生參考。
　　分析基礎：
　　1、Walter Rudin, Principles of mathematical analysis：本科數學分析的標準參考書;
　　2、Walter Rudin, Real and complex analysis：標準的研究生一年級分析教材;
　　3、Lars V. Ahlfors, Complex analysis：本科高年級和研究生一年級經典的複分析教材;
　　4、Functions of One Complex Variable I，J.B.Conway：研究生級別的單變數複分析經典;
　　5、Lang, Complex analysis：研究生級別的單變數複分析參考書
　　6、Complex Analysis by Elias M. Stein：較新的研究生級別的單變數複分析教材;
　　7、Lang, Real and Functional analysis：研究生級別的分析參考書;
　　8、Royden, Real analysis：標準的研究生一年級實分析教材;
　　9、Folland, Real analysis：標準的研究生一年級實分析教材。

補充：
嘉當解析函數論
沙巴特複分析導論
　　第二學年
　　代數：
　　1、Commutative ring theory, by H. Matsumura：較新的研究生交換代數標準教材;
　　2、Commutative Algebra III by Oscar Zariski , Pierre Samuel：經典的交換代數參考書;
　　3、An introduction to Commutative Algebra by Atiyah：標準的交換代數入門教材;
　　4、An introduction to homological algebra ,by weibel：較新的研究生二年級同調代數教材;
　　5、A Course in Homological Algebra by P.J.Hilton,U.Stammbach：經典全面的同調代數參考書;
　　6、Homological Algebra by Cartan：經典的同調代數參考書;
　　7、Methods of Homological Algebra by Sergei I. Gelfand, Yuri I. Manin：高級、經典的同調代數參考書;
　　8、Homology by Saunders Mac Lane：經典的同調代數系統介紹;
　　9、Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry by Eisenbud：高級的代數幾何、交換代數的參考書，最新的交換代數全面參考。
　　代數拓撲：
　　1、Algebraic Topology, A. Hatcher：最新的研究生代數拓撲標準教材;
　　2、Spaniers 「Algebraic Topology」：經典的代數拓撲參考書;
　　3、Differential forms in algebraic topology, by Raoul Bott and Loring W. Tu：研究生代數拓撲標準
　　4、Massey, A basic course in Algebraic topology：經典的研究生代數拓撲教材;
　　5、Fulton , Algebraic topology：a first course：很好本科生高年級和研究生一年級的代數拓撲參考書;
　　6、Glen Bredon, Topology and geometry：標準的研究生代數拓撲教材，有相當篇幅講述光滑流形;
　　7、Algebraic Topology Homology and Homotopy：高級、經典的代數拓撲參考書;
　　8、A Concise Course in Algebraic Topology by J.P.May：研究生代數拓撲的入門教材，覆蓋範圍較廣;
　　9、Elements of Homotopy Theory by G.W. Whitehead：高級、經典的代數拓撲參考書。
　　實分析、泛函分析：
　　1、Royden, Real analysis：標準研究生分析教材;
　　2、Walter Rudin, Real and complex analysis：標準研究生分析教材;
　　3、Halmos，」Measure Theory」：經典的研究生實分析教材，適合作參考書;
　　4、Walter Rudin, Functional analysis：標準的研究生泛函分析教材;
　　5、Conway,A course of Functional analysis：標準的研究生泛函分析教材;
6、Folland, Real analysis：標準研究生實分析教材;
　　7、Functional Analysis by Lax：高級的研究生泛函分析教材；
　　8、Functional Analysis by Yoshida：高級的研究生泛函分析參考書
　　9、Measure Theory, Donald L. Cohn：經典的測度論參考書。
　　微分拓撲李群、李代數
　　1、Hirsch, Differential topology：標準的研究生微分拓撲教材，有相當難度;
　　2、Lang, Differential and Riemannian manifolds：研究生微分流形的參考書，難度較高;
　　3、Warner,Foundations of Differentiable manifolds and Lie groups：標準研究生微分流形教材，有相當的篇幅講述李群;
　　4、Representation theory: a first course, by W. Fulton and J. Harris：李群及其表示論標準教材;
　　5、Lie groups and algebraic groups, by A. L. Onishchik, E. B. Vinberg：李群的參考書;
　　6、Lectures on Lie Groups W.Y.Hsiang：李群的參考書;
　　7、Introduction to Smooth Manifolds by John M. Lee：較新的關於光滑流形的標準教材;
　　8、Lie Groups, Lie Algebras, and Their Representation by V.S. Varadarajan：最重要的李群、李代數參考書;
　　9、Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory , SpringerVerlag, GTM9：標準的李代數入門教材。
　　第三學年
　　微分幾何：
　　1、Peter Petersen, Riemannian Geometry：標準的黎曼幾何教材;
　　2、Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature by John M. Lee：最新的黎曼幾何教材;
　　3、doCarmo, Riemannian Geometry.：標準的黎曼幾何教材;
　　4、M. Spivak, A Comprehensive Introduction to Differential Geometry I—V：全面的微分幾何經典，適合作參考書;
　　5、Helgason , Differential Geometry,Lie groups,and symmetric spaces：標準的微分幾何教材;
　　6、Lang, Fundamentals of Differential Geometry：最新的微分幾何教材，很適合作參考
　　7、kobayashi/nomizu, Foundations of Differential Geometry：經典的微分幾何參考書;
　　8、Boothby,Introduction to Differentiable manifolds and Riemannian Geometry：標準的微分幾何入門教材，主要講述微分流形;
　　9、Riemannian Geometry I.Chavel：經典的黎曼幾何參考書;
　　10、Dubrovin, Fomenko, Novikov 「Modern geometry-methods and applications」Vol 1—3：經典的現代幾何學參考書。
　　代數幾何：
　　1、Harris,Algebraic Geometry: a first course：代數幾何的入門教材;
　　2、Algebraic Geometry Robin Hartshorne ：經典的代數幾何教材，難度很高;
　　3、Basic Algebraic Geometry 12 2nd ed. I.R.Shafarevich.：非常好的代數幾何入門教材;
　　4、Principles of Algebraic Geometry by giffiths/harris：全面、經典的代數幾何參考書，偏復代數幾何;
　　5、Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry by Eisenbud：高級的代數幾何、交換代數的參考書，最新的交換代數全面參考;
　　6、The Geometry of Schemes by Eisenbud：很好的研究生代數幾何入門教材;
　　7、The Red Book of Varieties and Schemes by Mumford：標準的研究生代數幾何入門教材;
　　8、Algebraic Geometry I : Complex Projective Varieties by David Mumford：復代數幾何的經典。
　　調和分析偏微分方程
　　1、An Introduction to Harmonic Analysis,Third Edition Yitzhak Katznelson：調和分析的標準教材，很經典;
　　2、Evans, Partial differential equations：偏微分方程的經典教材;
　　3、Aleksei.A.Dezin，Partial differential equations，Springer-Verlag：偏微分方程的參考書;
　　4、L. Hormander 「Linear Partial Differential Operators, 」 III：偏微分方程的經典參考書;
　　5、A Course in Abstract Harmonic Analysis by Folland：高級的研究生調和分析教材;
　　6、Abstract Harmonic Analysis by Ross Hewitt：抽象調和分析的經典參考書
　　7、Harmonic Analysis by Elias M. Stein：標準的研究生調和分析教材;
　　8、Elliptic Partial Differential Equations of Second Order by David Gilbarg：偏微分方程的經典參考書;
　　9、Partial Differential Equations ，by Jeffrey Rauch：標準的研究生偏微分方程教材。
　　複分析多複分析導論
　　1、Functions of One Complex Variable II，J.B.Conway：單復變的經典教材，第二卷較深入;
　　2、Lectures on Riemann Surfaces O.Forster：黎曼曲面的參考書;
　　3、Compact riemann surfaces Jost：黎曼曲面的參考書;
　　4、Compact riemann surfaces Narasimhan：黎曼曲面的參考書;
　　5、Hormander 」 An introduction to Complex Analysis in Several Variables」：多復變的標準入門教材;
　　6、Riemann surfaces , Lang：黎曼曲面的參考書;
　　7、Riemann Surfaces by Hershel M. Farkas：標準的研究生黎曼曲面教材;
　　8、Function Theory of Several Complex Variables by Steven G. Krantz：高級的研究生多復變參考書;
　　9、Complex Analysis: The Geometric Viewpoint by Steven G. Krantz：高級的研究生複分析參考書。
　　專業方向選修課：
　　1、多複分析;2、復幾何;3、幾何分析;4、抽象調和分析;5、代數幾何;6、代數數論;7、微分幾何;8、代數群、李代數與量子群;9、泛函分析與運算元代數;10、數學物理;11、概率理論;12、動力系統與遍歷理論;13、泛代數。

我讀過一些感覺很棒的數學教材，列一個單子吧。

基礎書(必讀！！！)：

卓里奇著《數學分析》，一共有兩本上下冊，我看的是英文版，閱讀體驗流暢。個人認為這是學習數學分析較好的教材，內容豐富，也不啰嗦。
Axler著《線性代數應該這樣學(第二版)》，有中譯本。個人認為這是學習線性代數最棒的選擇，沒有第二個。
Munkres著《拓撲學》，有中譯本。這是學習拓撲學最好的著作，也是了解數學語言最好的基礎書。

三本教材分別是分析、代數和幾何的基石。前兩本書你會讀地相當舒暢，拓撲學真的很費腦子，建議你邊看邊想，把各種公理、定理之間的關係拿張紙畫畫。
這三本書是我研究生階段才讀的，讀完了就是這種感覺——這就是數學，美、有條理！

基礎書要反覆刺激：
如果你有時間，可以閱讀一些平行教材幫你查漏補缺，這樣理解會更深刻。比如Rudin的《數學分析原理》和卓里奇的《數學分析》內容上就差不多(不過個人認為後者更吸引人，當然也更厚些)；線性代數的其他教材就太多了你隨便看；阿姆斯特朗《基礎拓撲學》也比較有名，它很薄，值得一看，但是完全沒有Munkres的《拓撲學》那種細緻與系統。

進階：
代數

然後就開始學代數理論，群環域，Sylow定理什麼的，不要小瞧這門課，學不好可能會限制你以後的興趣發展。我本科用的是個國內教材，感覺夠用了，後來想重溫下，就買了：

Artin的《代數》，英文版。名氣很大，淺顯易懂，厚。
科斯特利金《代數學引論》三冊，有中譯本。這套書也挺好，更厚，你可以在第一冊回味矩陣理論，第二冊學習一些代數空間和結構，第三冊學群論。

其他教材也可以，書厚了你就當是複習前面的知識，把代數理論過一遍。代數學的教材往往是0基礎就能學，你可以從一開始接觸數學就看，也可以學完線性代數後反過來再看。

微分方程
國內的常微分方程和偏微分方程隨便找一本看看吧，微分方程就是一大堆解題技巧，弄懂它，然後你就能暢遊了，樂趣就來了。

《微分方程、動力系統與混沌導論》這是一本學習常微分方程的絕妙教材。前半本書用非常乾淨的語言敘述了常微分方程理論，後半本書都是微分方程在各個領域的經典應用。
《費恩曼物理學講義(第一卷、第二卷)》尤其是第二卷電動力學，600頁就是集中給你講偏微分方程怎麼用、波動方程有什麼用，費恩曼還特別花了一章用來吐槽他接觸變分法時的震驚和快樂。讀這兩本書能夠給你很大的快感和自信。
彭家貴《微分幾何》，這是一本微分幾何的入門教材，比較簡潔，能讀懂。

概率論
概率論、數理統計、隨機過程，我用的都是國內教材。但是很清楚在《圖靈數學統計學叢書》里，相關課程都有很棒的中譯本外國教材。大家可以去亞馬遜上或者在大學圖書館裡找找，好教材挺多。
測度論(也就是實變函數)的教材，不推薦嚴加安《測度論講義》，過度簡潔了，反正我沒看懂。

Bogachev《測度論》第一卷可以試試，英文版，雖然沒有毅力看完但是從前幾章中我已經完全理解了測度和積分是如何構造的(參見：面積的精確定義在什麼地方才能完全被清晰的搞懂啊？)。

泛函分析
國內的泛函分析書一般以幾個大定理為框架：Hahn-Banach定理，共鳴定理，開映射定理和閉圖像定理，很瑣碎。泛函分析是線性代數在無線維上的推廣，也更加抽象。因為研究的集合是函數的集合，它必然和拓撲學聯繫的極其緊密。讀泛函分析你要經常停下來想，想清楚，再往前看。我讀了幾本教材中的一部分：

Rudin《泛函分析》第一部分，當時讀的是英文版，這本書的泛函分析使用拓撲線性空間入手的，你在Munkres的《拓撲學》中讀到的很多知識都有應用。
Lax《泛函分析》這本書名氣很大，但是簡潔的可怕，很多定理證明過程就一句話：留作習題。但是如果你跳過中間一些完全看不懂的章節，會發現後面又能看懂了。

加上本科時就用不知所云的講義學過一部分，對泛函分析還是有些認識。

複變函數
標準教材可以看這個

Gamelin《複分析》

強烈建議你買一本：

《複分析：可視化方法》，這本書讓人從另一個角度認識複數域，並且內容也是包羅萬象，非常有趣。

微分流形
微分流形的教材我看懂用的是：

《微分流形與黎曼幾何》，非常啰嗦，但是其他的教材我都沒看懂。一門課越難，啰嗦反而是好事。
Dodson和Poston《Tensor Geometry: The Geometric Viewpoint and its Uses, 2nd Edition》這本書涉及張量、微分流形以及廣義相對論。
可以去網易公開課上聽《斯坦福大學公開課: 廣義相對論》。
《現代幾何學，方法與應用》全三卷。應該是一套非常好的書，對我來說太難了。

我覺得到了這個階段，一定要找能讀懂，能讀下去的書看。

如果你家在以下城市之一，那就去蹭當地大學的分析、代數、幾何基礎課。藉助學校資源打好基礎再自己看。至於選哪個大學就不用明說了。

北京、上海、南京、杭州、合肥、武漢、廣州、西安、哈爾濱、蘭州、天津、濟南、長沙、大連、長春、成都、廈門

如果你不在這些城市，那最好先努力考上個好大學再說。大多數大學的三大基礎課非常稀爛，不適合引一個熱愛數學的人進門。

最後，珍惜生命，遠離數學吧和類似網路社區。

這個答案是Prof. Stephen DeBacker對我們說的：
我們學校設置有Honors Math 1,2; Honors Algebra 1,2; Honors Analysis 1,2。DeBacker說這六門課學完了你可以學"whatever you want"。具體內容大概是：
Honors Math 1:單變數數學分析，基本點集拓撲
Honors Math 2:線性代數，多元微分學，基本抽象代數
Honors Algebra 1:群論，高等線性代數，表示論
Honors Algebra 2:環，域，伽羅瓦理論，基本交換代數
Honors Analysis 1:度量空間，點集拓撲，流形上的分析（有時會有常微分方程和測度論）
Honors Analysis 2:微分幾何
教材是Spivak的Calculus（超級好書，習題全做了，比國內的數學分析學得還要多），Calculus on Manifolds，他寫的微分幾何五卷的第一卷以及Artin的Algebra和HoffmanKunze的Linear Algebra
兩年學完這些東西，相信會有一個好的基礎

能不自學就別自學。
（優秀老師&>討論班&>純自己學，不得不自學比如：老師實在太差以及類似不可抗力）

（這一條的解釋：
1.我第一年基本自學，第二年開始上研究生課後大部分是老師帶著學。效率不可同日而語，因此原因首先是經驗。
2.進度：老師帶著能夠比較科學地把握進度，並且隨著學生掌握程度具體微調。幾個同學一起學的話平均下來進度也不會快或慢的太離譜。並且如果是學習類的討論班標準規格是有個不一定要管太多事的指導老師的。
相反自學一門學科課本也不會把所有重點都標出來，不太好掌握在哪些內容上花多少時間。
此外更重要的一點是，一個好的老師和好的大綱可能能把進度正好卡在能力上限上逼著人拚命，我就上過這樣的課，反之自己學容易有懈怠之心，低估自己的潛力最終造成時間的浪費。
3.卡在一個東西上很有可能是因為某個前置概念掌握不牢靠，老師能在合理偏題(digress)以及補充必要內容，自學能嗎？
4.書上必要的練習，同學做完了能互相對，老師能留作作業，自己做完對錯都不知。很多是網上查不到的——lang的algebra作為標準課本被用了三十年很多章末練習的答案網上都沒有，更別提那些不那麼著名的課本。
5.很多老師講課不一定是根據一本書，他會從各個地方挑出想講的內容甚至完全自編講義，你自己學做不到。寫書的人不會把所有解釋性的話語都寫上而有水平的人能讀出字裡行間的東西，你自己學讀不出來。
6.網路：誰也不是你媽有義務24小時在線回答所有弱智或不弱智的問題，i.e., 即時性和有效性甚至正確性都值得斟酌。se之類的論壇當然有幫助但也沒那麼大，何況屠版是很沒道德的。
7.借地兒噴點別的：網上總有按照某個物理/數學的書單好像順著讀下去就一定能到達怎樣怎樣的水平，我們管這種東西叫流水線式的培養方案。基本是扯淡，每個人的具體素質完全不同，對知識的接收速度，學習習慣，可能對某些分支的偏愛都不同，沒有哪個方案能把每個人都培養成合格的物理/數學工作者。何況人不是機器，哪能輸入指令就完全照做。學習計劃要及時調整，對很多東西不要想當然。絕知此事要躬行。
8.原本沒想解釋這麼多，評論區被刷了一堆+暑假閑得蛋疼。
9.不管是怎麼學，唯一不變的是自己付出的努力是不能被任何其他形式所代替的。

@龍洋自學跟自習是兩碼事。我提都沒提民科。稍微讀過一本本科數學書的人都應該知道我在說什麼。以及我一向反人類謝謝。）

如果你一定要自學，先學本科的再說，別好高騖遠。書後的bibliography會告訴你之後該讀什麼。
在水平不高時，大部分情況下，找一本不錯的書讀下去比找一堆同類的書一起讀要效率高。
以及題主想看英文書是好事，要堅持。

基礎的東西紮實了。高級的東西沒有順序，你永遠不可能一步一步把需要的東西學完。找到自己的興趣，諮詢相關方向的老師，認認真真讀上幾本書就不錯了。

不要總是自學。

謝邀

不過很慚愧，我覺得我答不來這個問題

先mark 晚上考完試來嘗試回答一下吧

以上內容發表於2014-06-19……我是有多懶……

分析：
數學分析：卓里奇（英文版）、Rudin的數學分析原理
實分析：Rudin或者Stein的
複分析：Arnold的複分析
泛函分析：Schwarz有一本就叫functional analysis

代數：
線性代數：可以看Linear algebra done right，不過個人覺得數分和高代看中文版問題不大
抽象代數：可以考慮Artin的Algebra
交換代數：Atiyah有一本小書，挺不錯的
表示論：……這個真不記得書名了……
李群李代數：Lie algebra, beyond an introduction

幾何：
點集拓撲：Munkers的小書
代數拓撲：Hatcher……
微分幾何：這個隨便找一本書看看就好了
微分流形：這個真不清楚（我從來沒上過這門課我會到處亂說么……）
黎曼幾何：Do Carmo

暫時就這麼多，以及：
1、不要和我說誰名字打錯了……我懶得改
2、請參考1

本人今年數學專業本科畢業，嘗試著回答一下。一下回答為本人個人理解，僅供參考，求同存異，不喜勿噴，不過歡迎討論和更正哈~

首先我想說的是，英語國家的數學本科生的水平未必高啊...而且很多排名還可以的學校據我了解上課內容淺顯的很，不知道為啥非要去達到人家的水平....自己學好數學就行了啊。數學這東西，語言只是一個載體，其實讀啥文的，只要是好教材，都沒區別。我國國內很多教材真的很好，絕對超過了大多國外教材，為啥非要看外國的？注意，看數學教材可是無法鍛煉英語的哦。。。

下面進入正題，零基礎開始接觸高等數學，哪些好教材可以讀？很多人推薦教材都是一門課十幾本，都說好，都有特色，然而該看哪本呢？看幾本呢？每本看到什麼程度？一天24小時夠用么？還是懵逼的，所以我爭取每門課只推薦一本教材，另推薦幾本作為參考書，並說明如何參考。
應該按照怎樣的順序來自學英文版本科及研究生數學書籍? - 數學書籍推薦
基礎課：
一、數學分析
教材：《數學分析》第二版作者：陳紀修，於崇華，金路
數學分析的教材實在是太多了，經典的也很多，但是這是我覺得最好的一本，不是因為它比其他的經典教材講的更精彩，而是因為它很合適，各個方面都讓人舒服，讓人覺得恰到好處。上下兩冊，內容詳實，又不像菲赫金哥爾茨、卓里奇（其實卓里奇還好）那樣厚的嚇人。絕對不是簡單的定義定理的羅列，對概念、定理提出的歷史過程，有何意義，有哪些特別的或者有趣的例子，說明了什麼問題，都清楚凝練的娓娓道來。習題的難度、數量也恰到好處，而且專門出版了針對上下冊的所有習題的詳細解答，這點對自學者很重要。用這本教材，在努力、天賦等條件一致的情況下，絕對不會比用其他教材效果來的差。
參考書：菲赫金哥爾茨《微積分學教程》（第八版）
講真，如果菲赫金哥爾茨說自己的這本教材第二，沒人敢稱第一。但是吧，這本書太完美，太詳實，太厚了。。。所以，作為參考書還是比較合適的，可以當做步步高點讀機，哪裡不會點哪裡，教材哪裡看完了覺得還是不懂，理解的不透，你就翻開菲赫金哥爾茨，打開目錄，找到相應的內容，看起來就行了。菲赫金哥爾茨的書里有大量的例子，一個一個看下來總是可以理解的啦~ 另外，這書是蘇聯的教材，原著肯定俄文咯，這裡我默認您不懂俄文，那同樣是看翻譯的版本，選中文的還是英文的？送分題啊同學！
參考書：裴禮文《數學分析中的典型問題與方法》
一本虐哭一批又一批數學系本科生的習題集，內容高大全，學有餘力又對淑芬hin感興趣不能自拔可以用來自虐。不多說哈，只為學好學紮實數分，前兩本足夠了。

二、高等代數
代數這門課，內容相對於分析來說，相對就不是那麼好掌握了。我個人覺得還是從線性代數學起來比較好。
教材：《線性代數及其應用》Lay D.C. 第三版
自學入門的完美教材。絕對不是上來就幾句話說下來，然後就我們要用矩陣，然後就開始定義定理，他切入的角度，各種例子，應用舉例，當然還有嚴謹的知識的闡述讓人看完有一種讓人直拍大腿叫好的衝動。你會真的覺得學懂了，老子知道了線性代數的來龍去脈，而不是一坨定義定理背在腦子裡。
另外貼個網站，Math 115A，這是特侖蘇陶大神在UCLA開的線性代數課的網站，一門課的各種材料裡面一應俱全，不過很精練，可以作為課後總結和練習。
當然，數學專業對代數的要求可要比這個高。但是我這裡選取的教材還是以介紹線性代數框架的知識為主，涉及到抽象代數的部分統一放到抽代那邊去答。
參考書：姚慕生《高等代數學》第三版及配套的相應的講解書
選這本書是因為他的特色。這本書的觀點比教材高，所以看得時候，忽略掉計算部分，直接看其他部分就好。這本書很注重幾何的觀點，配套的講解書（俗稱「白皮書」）習題質量和解答思路都很獨到，可以說看完會完全提升一個層次。兩本書加起來，高等代數的學習足夠。

三、解析幾何
感覺國內大多數的解析幾何都幾乎等同於線性代數的應用..幾乎沒什麼純幾何的思想和觀點。這方面我了解的不多，暫且空著，歡迎大神補充。

四、常微分方程
常微分方程這門課某種程度上是個承上啟下的課。學完了淑芬高代之後，常微是第一門以淑芬高代知識為基礎的進階課程，而且將淑芬高代結合的很緊密，這門課學的吃不吃力，也能檢測出淑芬高代基礎打的如何。
教材：常微分方程金福臨，李訓經等著上海科學技術出版社
一本很老的書，大概是上個世紀60年代的。內容詳實豐富高大全，習題配置也可以很好的鞏固你的知識。不像很多所謂常微分方程的參考書和教材，幾乎整本書都是花式解方程，這本書對於常微的理論的介紹還是很詳細的。這本書有個缺點，在解常係數線性常微分方程組的部分寫的比較啰嗦和繁瑣，這部分建議參考下別的教材（隨便搞一本就行了，反正大家都在花式解方程）。
參考書：常微分方程阿諾爾德
沒說的，阿諾爾德的書都值得看，都值得看！經典中的經典，而且完美地銜接了上一本。定性理論初步那章也可以直接看阿諾爾德這本書。流形部分可以不用看。不多說了，有的書真的是看完了才知道有多精彩。

五、抽象代數
作為我最討厭的一門課沒有之一，推薦他的教材我也是有點拒絕...
教材：artin 《代數》
經典教材了哈，學過數學的應該都有所耳聞，這本書內容比較豐富，也介紹了很多線性代數的內容，當然你可以不用看了，所謂抽代嘛，簡單說群環域+伽羅瓦理論，說起來容易，學起來能要命..(個人感受哈），這本書的習題似乎也是有答案的，代數不在刷題，重在對思想方法的理解。

參考書: 還要啥參考書...畢竟是artin擼透了的boy/girl，不做代數的話完全夠用了...

六、實分析/實變函數
教材：H.L.Royden P.M.Fitzpatrick 《real analysis》 Fourth edition
旁友們！旁友們！好書啊！個人建議好好看懂第一部分1-8章，實變函數就入門了，然後習題要好好做，馬里蘭大學這門課的網站上有部分答案可以參考，網上似乎也流傳著老版本的答案。如果覺得自己需要進階，那歡迎接著看第三部分，一般的測度論。
參考書：《實變函數論與泛函分析》上冊夏道行等
這本書大概有個幾十年了，絕對是中國本土最好的數學教材之一，而且內容比royden的第一部分要豐富很多，很多地方思路也是不一樣的，很值得參考/開拓眼界，課後題豐富，難度跨度也較大，習題答案有少部分，建議關鍵定理和定義兩本書都要看，肯定有收穫，當然，如果不要求英文，直接把這本書作為教材，一點毛病都沒有。
七、概率論
教材：《Probability:Theory and Examples》Durrett著
概率論的經典教材，內容豐富，不用你有啥測度論基礎，人家都給你講的明明白白，淺顯易懂，順著他的思路一個定義定理的這麼看下來，感覺完全不陡峭，很順暢，看完了一回頭髮現卧槽老子都懂了這麼多東西了，就是這種感覺。習題也很豐富，值得認真做。這本書常看常新，值得多看幾遍，每次肯定都有收穫。
參考書：程士宏《測度論與概率論基礎》/汪嘉岡《現代概率論基礎》
這兩本書看哪本都行，汪的書難度更大一點，習題都很豐富也都有答案，durrett的書的測度論與概率部分好懂，但是還是略淺，而且對測度論都是用到什麼才拿什麼，這兩本書介紹的更嚴格，而且你會發現他們對於測度的引入和擴張和durrett敘述上還是有差別的，思路不同，可以開闊眼界。
八、泛函分析
教材：《實變函數論與泛函分析》下冊夏道行等
啊沒辦法泛函我了解的基礎性國外的教材不多，我覺得這本書入門是很好的，另外，劉培德的《泛函分析基礎》也是很不錯的，這兩本都可以，也是國內被廣泛使用的書。
參考書：《functional analysis 》W. Rudin
沒啥說的，rudin大神的泛函分析，學泛函必備，內容比較豐富和深入，正好可以作為教材的擴展來看，習題也比較多，做不做就看自己了，建議是多和同樣學泛函的人討論。
九、偏微分方程
教材：《數學物理方程》第三版谷超豪李大潛陳恕行鄭宋穆譚永基
旁友們，你們就看看這個作者的夢幻全明星陣容，這本書得質量就不用我過多安利了吧，三大院士加兩個大師，敢不敢再夢幻一點？？學這門課之前別玩了複習一下數學分析裡面的多元微積分啊格林公式啊啥的哈。

暫時就說這麼多。

你想要我就要告訴你啊？還「必須寫清楚順序」，你算哪根蔥啊？要求誰「必須」呢？

大學都沒學呢，就考慮研究生，還」以上「了？要不要把看哪本能得菲爾茲獎也告訴你？

樓上還真有幾位菩薩心腸的老師給你指點，我沒那麼好心，只能來罵你：
不管你想不想學數學，你必須先學點幼兒園的基本的禮貌，學會說人話，知道「請」、「謝謝」、「對不起」怎麼用。然後知道自己有幾斤幾兩，學會辦人事，學會用自己的腦子而不是指望別人替你動腦子。

罵完了扔給你本書：《Treatise on Analysis》，本科到研究生都夠了。前七卷都有英文版，有能耐就去啃下來，沒能耐請回去老老實實看《數學分析》。

這個問題之前思考過很久，問了好多老師，看了好多博客，也求助了好多專業人士==，不知道題主是不是數學專業，我是數學專業，專業小白一名，由於學制原因現在在自學英文教材，@運算元列的單子好全，書也好好，但實在精力有限，如果不是數學專業就要精選幾本來看，我來列幾本我們professor推薦給我的書+自己發現總結出來的書咩～

Caculus：
Caculus on manifolds. -Michel Spivak
(professor說微積分這個領域太經典了，誰都可以寫出不錯的書，只要自己熟練掌握就好，之後他說這本書蠻難，推薦看一看）

Analysis:
Principles of mathematical analysis. -Walter Rudin
(個人認為如果英語過關，分析上手就先看這一本，不然沒有效率。如果有些不明白可以配合看一點中文教材，中文就不說了，主要上英文教材）

Geometry：
Differential Geometry of Curves and Surfaces. -DoCarmo

(幾何我還沒有開始看，老師推薦，難度對我還是很大的，因為畢竟是新的東西，涉及Riemann幾何種種，還有topology，感覺也蠻有趣）

Algebra:
Abstract algebra. -I.N Herstein
Linear algebra. -Hoffmann(這本老師強推）

Topology:
Topology. -Munkres
（真心覺得這書好玩，作者還會與讀者交流，很人性化，也蠻好理解，說實話，看了topology的第一章set，感覺理解數學分析里有關set都容易了～而且提供了全新的視角，很有趣，topology入門這本足夠）

自己還收集了一些書，但只是作為參考或是偶爾燒個腦看看的，有一套是：
Princeton lecture，有三本出版的：Real analysis. Complex analysis.
Fourier Analysis（總感覺傅立葉對工科更重要），都是關於分析的，留著有時間看看
記得還有一本在library借得，關於數論的，忘記作者了，回去看看再補發吧。
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btw.
如果題主英文不過關，還是先狠狠刷英文吧，不然看英文教材真心心塞。
老師告訴我如果真心想學好數學，無需分類別學，原話是：learn pieces of every area...大概就是全方位一點點學，不要太偏頗，之後學深再有所側重，這樣學才合格，而且要把眼光一部分應用化，因為現在已經不像十幾世紀那樣那麼pure math了，在做好理論同時要思考如何運用實際。。
貌似我又跑題了，ipad答題，無排版，見諒～～
共勉：）

反對排名第一的答案，這樣列書單是非常不負責的做法，如果你需要在知乎上問這種問題，說明兩個問題：第一，你在現實中找不到能指點你的老師（或者你沒有去找），第二，你沒有足夠的判斷能力去分辨數學與自己。
並且你一下子就要別人給你列出從大一到研究生的閱讀順序。
可以判斷：1.你是一名熱愛數學的高中生，可能性不大。2.你是非985學校非數學專業的本科生，有一定可能性。3.最有可能的，你是像strongart那樣的姑且認為是「民科」或者想成為「民科」的人。你提出的要求對任何一個懂一點點數學的人都知道絕不可能做到，「嚴格按照順序」，具體我也不想解釋，但是我可以給你一個小建議，如果你覺得沒用就把他當作bullshit，你先隨便找一本中文的數學分析或者線性代數書（中國人愛叫高等代數），並且要有詳細習題解釋，然後把這本書上的課後題全部做掉，對答案，然後再來，好嗎

GTM難度大，不太合適，大部分都是topic，比較建議上網下載本GRE math subject 然後看看目錄，知道需要要學習的知識。MIT opencourseware 不錯，或者Google相關topic 可以下載到很多大學的course notes 這樣比較有效率

從我自身經驗來說，迷信英文教材是不可取的，確實英文教材精品很多，但是實際上在某些時候真的是中文的一些教材更好。而且有的時候譯本比原版好(國內某一些垃圾譯者搞得大家總覺得原版好)。此外，前蘇聯的數學教材更是歐美比不了的。

做數學研究不需要懂太多東西。首先，應該對於自己將來的研究興趣有一個清楚的認識，再針對性的看書。另外，看書也不要從頭讀到尾。帶著問題看書是最好的（引用一個老師的話）。學到的東西一定是自己需要用到的，數學中那麼多結果，你能夠理解的只有你能用到的。

舉例來說，如果你對哥德巴赫猜想有興趣，就該去讀陳景潤的文章。去看這個文章，你發現自己需要學習篩法，你就會去學一些複分析以及Fourier分析等等。

建議和一些科研做的好的教授聊聊，讓他們給你一些建議，這樣會少走彎路。