如何直觀地理解群論？

12-27

大部分同學在學習代數學時都會被一大堆的概念搞得暈頭轉向。幾年前我剛開始看線性代數時也是這樣，完全不明白為什麼要定義這些奇怪的東西。直到後來看到如何直觀理解矩陣和線性代數？理解矩陣（一）等文章，才豁然開朗。我非常認同《理解矩陣（一）》文中強調數學直觀性的觀點。那麼，應該如何直觀地理解群論？群論中一些主要的概念究竟是為什麼、怎麼樣引入的？

參考問答：
離散數學中的群在現實中有沒有什麼比較具體的例子？
群論解決問題的實例有哪些？

群論不簡單么？一個集合和一個二元運算，並且滿足群論四大公理。黑紙白字，沒有一個符號、一個漢字是我不認識的。經過這麼多年的數學訓練，加上刷題，那是想證明就證明、想計算就計算，砍瓜切菜、手起刀落、猛虎下山、勢如破竹。

但是！我很不爽，這種感覺好比有人叫你去砍人，你也不問問為什麼，一言不合就出手把人砍翻在地，或者被人砍翻在地，這種行為我們一般把它成為腦殘，你的身份就是別人的小弟。

我們不要做數學的小弟，刷題不能給我們自由，唯有思考可以。

下面就講一下我對群論的一些思考。

1 集合

講群論先從集合講起，集合簡單來說就是把一堆東西放在一起（暫時就別提羅素悖論了）：

可是這用處不大啊，東西之間得有相互作用才能更好的描述世界啊：

東西我們把它稱之為對象，對象之間的互相作用我們稱之為操作或者運算。

自然數 $N$ 是一個集合，我們從自然數 $N$ 這個集合出發，通過運算可以創造越來越大的集合( $N$ 、 $Z$ 、 $Q$ 、 $R$ 、 $C$ 分別是自然數、整數、有理數、實數、複數)：

運算不止加減乘除，數學學到後面就多了很多抽象運算。甚至從集合和運算的角度來看，學數學的過程很多時候就是在不斷的擴大對集合和運算的認知。理解的集合和運算越多，相關領域的數學基本上也就理解了。

其中有種特殊的集合+運算就是群。

2 群

簡單來說，群的作用是描述對稱。

2.1 什麼叫對稱？

我們來看看：

正方形對稱嗎?
物理定律對稱嗎？
多項式的根對稱嗎？

上面的問題的答案都是：對稱！

對稱就是：「某種操作下的不變性」，關鍵字是兩個：「操作」和「不變性」，要說明這點讓我們通過上面的三個問題來理解。

2.1.1 正方形是否對稱？

先看看正方形，其實它對稱是蠻明顯的，符合我們日常的語義，可是我們也要把它放到數學的語境里來分析一下：

圍繞中心點旋轉這個操作，正方形所具有的不變性就是對稱。

我們換一種操作，正方形也可以對稱：

圍繞中垂線這個操作，正方形也具有不變性，也是一種對稱。但是因為操作變了，所以這種對稱和上面的那種對稱不是同一種對稱，之後我會再說到這個問題。

假如剛才的正方形只是桌子的桌面，繼續圍繞中垂線翻轉這個操作就不對稱了：

2.1.2 物理定律是否對稱？

這個聽起來就有點奇怪了，但是從不變性的角度出發，相對於時間流逝這個操作，物理定律保持不變，我們可以說物理定律相對時間對稱。相對於空間改變這個操作，物理定律保持不變，我們可以說物理定律相對空間對稱：

這聽起來蠻哲學的，不是說數學學到後面都是哲學嗎？

物理我屬於民科水平，大家可以參看對稱性----維基百科。

2.1.3 多項式的根是否對稱？

說明下，多項式方程指的是形如 $x^ n+a_1x^{n-1}+cdots +a_ n=0$ 這樣的方程。

群論就是從解多項式的根開始發展起來的，所以自然要談一下為什麼多項式的根具有對稱性。

首先要從簡單的一元二次方程說起：

從上圖中來看，相對於 $+ imes$ 運算，多項式的根互換之後結果不變，針對這個運算它們是對稱的。對於 $-div$ 運算就沒有對稱性。

這個對稱性有什麼用？根據韋達定理，一元二次方程 $x^2+ax+b=0$ ，其中 $a=-(x_1+x_2),b=x_1x_2$ ，係數是已知的，實際上我可以聯立這樣的二元方程組求得方程的根。

所以順便說一下，群論的發展過程是這樣的：

關於伽羅瓦與一元五次方程的問題，與群緊密相關，但是又涉及到更多別的知識，本文就不繼續推下去了。

2.2 對稱如何用數學表示？

讓我們從正方形開始解讀如何來表示對稱.

之前說過，對稱最重要的是在「某種操作下的不變性」，所以我們先討論正方形圍繞中心點旋轉，總共有4種對稱操作：

或許你覺得應該不止4種操作，比如轉兩圈，這可以等價於「保持不動」，而轉45°，這會導致不對稱（因為你會明顯發現變化）。

起始點是完全不用關心的：

甚至是不是正方形也不重要：

是的，群只關心對稱最本質、最抽象的性質。所以我們只關心操作，只需要把操作放到集合里。

要放進去我們必須要把操作給數學化，也就是符號化，我們起碼有兩種符號化的選擇，類比於加法或者乘法：

稍微解釋一下，什麼叫做類比於加法？比如我們通過類比於加法得到 ${ 0,r,2r,3r}$ ，「保持不變」映射為了0，「旋轉90°」映射為了 $r$ ，而兩個操作的依次進行映射為加法。所以「保持不變」 + 「旋轉90°」＝ $0+r=r$ ＝「旋轉90°」，是合理。而「旋轉90°」 + 「旋轉90°」＝ $r+r=2r$ ＝「旋轉180°」，也是合理的。注意，運算不需要符合交換律。

還要說明的一點是，這裡的加法和乘法是模加法、模乘法，類似於鐘錶，按照12小時制算， $3+11=2$ ， $3 imes 6=6$ 。

這樣我們就得到了兩個群，一個是 $(G,+)=({ 0,r,2r,3r} ,+)$ ，一個是 $(G, imes )=({ 1,r,r^2,r^3} , imes )$ 。但是我們明明知道它們應該是一樣的啊，只是符號不一樣，運算不一樣，所以我們可以稱之為同構，就是結構相同的意思。

這裡先用到群的解析式了，下面就要解釋一下。

2.3 群的定義

先祭出大殺器，群的標準定義：

群是一個集合 $G$ ，連同一個運算" $cdot$ "，它結合任何兩個元素 $a$ 和 $b$ 而形成另一個元素，記為 $acdot b$ 。符號" $cdot$ "是對具體給出的運算，比如整數加法的一般佔位符。要具備成為群的資格，這個集合和運算 $(G,cdot )$ 必須滿足叫做群公理的四個要求：

封閉性：對於所有 $G$ 中 $a,b$ ，運算 $acdot b$ 的結果也在 $G$ 中。

結合性：對於所有 $G$ 中的 $a,b$ 和 $c$ ，等式 $(acdot b)cdot c=acdot (bcdot c)$ 成立。

單位元：存在 $G$ 中的一個元素 $e$ ，使得對於所有 $G$ 中的元素 $a$ ，等式 $ecdot a=acdot e=a$ 成立。

逆元：對於每個 $G$ 中的 $a$ ，存在 $G$ 中的一個元素 $b$ 使得 $acdot b=bcdot a=e$ ，這裡的 $e$ 是單位元。

維基百科

數學是自然科學的語言，和日常的說話相比最大的優點是精確沒有歧義，缺點就是晦澀不好理解。群的定義也是這樣，下面我們用人話來解釋群。

套用正方形的例子來解讀群的定義，選 $(G,+)=({ 0,r,2r,3r} ,+)$ 這個群吧：

集合里的對象：所有保證對稱性的操作。
二元運算：模加法。
封閉性：操作相加還是在集合內，比如 $r+2r=3r$ 。
結合性： $r+3r+2r=r+(3r+2r)$ 。
單位元：保持不動就是單位元，映射為0，所以 $0+r=r$ 。
逆元：首先旋轉正方形的操作是可逆的，所以 $r+(-r)=0$ ，同時這還是一個循環的運算， $r+3r=0$ ，都可以說是 $r$ 的逆元。

其實吧，我可以再抽象一點， $(G,+)=({ 0,r,2r,3r} ,+)=({ 0,1,2,3} ,+)$ ，這個群基本上已經沒有原來正方形旋轉的影子了。群比我們之前學的數學的抽象性更近了一步，要不怎麼放在抽象代數課程裡面呢？本文只是想稍微讓群具體一點。

2.4 群的結構與同構

之前說過，正方形圍繞中垂線翻轉是不一樣的對稱

上圖我把運算直接表示為" $cdot$ "。這個群很明顯和正方形圍繞中心點旋轉的群不一樣，所以對稱也就不一樣，用群的術語來說就是，這兩種群結構不一樣。

現實中，還有各種各樣的對稱，比如正方形和圓：

這兩種對稱的結構也不同，對應的群也不一樣。群論就是對各種群的研究。

2.5 進一步的思考

關於同構，這裡再進一步思考，圓是有無數種對稱操作的，之前提到的相對於時間對稱的物理定律，也是有無數種對稱操作的（因為時間是可以無限流逝的），從某種意義上講，兩者是不是同一種對稱，也就是同構？如果是同構，那麼我只要研究一個群就可以研究兩者了。

思考，才是數學最大的樂趣所在。

最後推薦一本書，Visual Group Theory Nathan Carter，謝謝 @金凱。這書我以前看過，挺好的，就是沒有中文版，貴。

學習群的線性表示，用矩陣來理解群，一舉兩得

（群論其實比矩陣什麼的更直觀，只怕我寫不出來。）

群論是描述對稱的數學理論。

我們日常所說的對稱，大多是對於幾何圖案：正方形、正三角形、圓、立方體、球等等。如果要數一數有多少個對稱，也不難做到：長方形有兩個（左右對稱，上下對稱），正方形有四個（多了兩條對角線），圓有無數個（相對於每條直徑）。立方體怎麼數呢？

且慢，先把長方形正方形想明白。我們數的對稱都是「摺疊對稱」，或稱之為「反射對稱」 (reflection symmetry)。稍微推廣一下，對稱是我們對一個幾何圖形（或其他數學對象）所做的「作用」使得它（某種意義上）不變，而所有的這樣的對稱就構成一個對稱群(group of symmetries)。

對於長方形，「作用」可以是左右翻轉，上下翻轉，也可以轉180度，更重要的是「作用」還可以是「什麼都不做」！一定不要被中文「對稱」（或英文symmetry）迷惑而只看到「對摺」類的對稱。這種廣義的對稱有什麼好處呢？最大的好處是我們可以把兩個作用結合起來而得到第三個作用：先左右翻轉，再上下翻轉，結果是轉180度！先左右翻轉，再左右翻轉，得到的是「什麼都不做」！所以我們應該說長方形有四個對稱。

這個二元運算，很自然地符合「結合律」，用符號表示即為 (ab)c=a(bc)；但交換律不成立，作用的先後很重要（如正方形的對稱群，下邊會提）。如果把群的概念抽象化（不涉及作用在某個具體的對象），就得到我們一般看到的群的定義。而群的作用可以看作是一個homomorphism： $G ooperatorname{Sym}(X)$ ，這裡 $operatorname{Sym}(X)$ 表示所有 $X o X$ 的雙射（如果X有某種結構的話，也規定這些映射保持這些結構，通常稱作 $operatorname{Aut}(X)$ ）。群和群的作用早期是一體的，所有的有限群都被想成是symmetric group $S_n$ （含n個元素集合的對稱群，簡稱對稱群...中文表示無力）的子群，最「經典」的矩陣群都是作用在向量空間上的，直到後來群的作用發展成表示論，也是很龐大的數學分支。最新的「幾何表示論」又把群拉回到了幾何本源，但幾何已經發展的很遠了，那是後話；見表示論都在做什麼？幾何表示論是什麼？ - 數學

我們看圓的對稱，可分為兩類：我們顯然可以轉任意角度，也可以對任意直徑做翻轉。這個群顯然有無窮多個對稱，甚至不是有限生成的（finitely generated），但它其實很好描述。拓撲上這個群相當於兩個（不相連的）圓，給出坐標就很容易描述這個群的運算。這是最簡單的拓撲群，也是李群。球的對稱群（即正交群 $O(3)$ ， $3 imes 3$ 的正交矩陣）更複雜一點，拓撲上是某個（兩個不相連的）三維流形（manifold）。有趣的是，描述這個流形（整體結構）的最基本的方法反倒是一個群，叫基本群fundamental group。（基本群的定義更接近群的抽象公理，貌似沒有什麼「作用」，其實它的作用很大/多。）

另外提一句正多面體，我們知道只有五個（面數=4,6,8,12,20）。它們的對稱群其實很好描述，但只有作用在這些立方體上才好理解這些群的結構（有哪些子群，之間的關係等等）。而且這些群顯然都是球的對稱群的子群。

上邊提出的「廣義的對稱」其實遠遠超出幾何圖形的範疇。群最早的應用就是解決n次方程的求解，對稱群 $S_n$ 作用在方程的根上（後來解釋成作用在有理數域的擴張域上）。李群最早是用來解微分方程的，群作用在解上。另一個例子就是物理學家最愛提的對稱：作用的對象是物理定律，具體地說是可以導出運動方程的Lagrangian，而所允許的「作用」包括平移、旋轉所帶來的變化，也包括相對論的時空轉換，甚至更玄奧的gauge transformation。

續（不大好插到前邊，就寫在後邊了）：

當有兩個群作用在同一個物體上，很自然地我們會問怎麼把兩個群結合起來，構造一個最小的包含兩個群的群。當然一種描述就是「包含所有群作用的任意組合」，即 $g_1 h_1 g_2 h_2 cdots$ （有限長）, $g_iin G, h_iin H$ ，但很可能有重複。怎樣更簡潔地描述" $GH$ "呢？（從這個角度看，現代代數與中學的代數，甚至小學的分數運算，還是有相似之處的，都是把一個複雜的式子簡化，而且關注這個簡化是不是唯一的，以便判斷兩個式子是否相等。）

情形1：兩個群的作用是可以交換順序的，如上下翻轉和左右翻轉。這樣任何一串式子都可以簡化成 $gh, gin G, hin H$ ，群運算也很好描述。如果 $Gcap H={1}$ ，這種簡化就是唯一的。抽象起來就是兩個群的直積（direct product）： $G imes H$ 。

情形2：兩個群並不交換，如翻轉和旋轉。舉例來說對於正方形，翻轉群有兩個元素（記作 $1,s$ ，s為左右翻轉），旋轉群有四個元素（記為 $1, r, r^2, r^3$ ，r為逆時針旋轉90度）。為了方便，我們把正方形的四角標上1234:
$egin{matrix}21\34end{matrix} xrightarrow{r} egin{matrix}14\23end{matrix} xrightarrow{s} egin{matrix}41\32end{matrix}$ vs. $egin{matrix}21\34end{matrix} xrightarrow{s} egin{matrix}12\43end{matrix} xrightarrow{r} egin{matrix}23\14end{matrix}$
明顯 $rs eq sr$ 。但是顯然 $r$ 和 $s$ 的作用是有某種聯繫的，不難驗證
$egin{matrix}21\34end{matrix} xrightarrow{s} egin{matrix}12\43end{matrix} xrightarrow{r^3} egin{matrix}41\32end{matrix}$
即 $rs=sr^3$ （終於不得不規定，這裡我們的群作用的先後是按從左到右的順序相乘）。換言之，雖然 $s$ 與 $r$ 不能交換順序，但如果我們不介意把 $r$ 替換成 $r$ 所在群的其他元素，那還是可以把一串如rssrrrsrs的式子中的s都挪到左側，使得s和r生成的群與 ${s^a r^b}_{a=0,1, b=0,1,2,3}$ 的八個元素一一對應。概括來說，當兩個群 $G$ 和 $H$ 滿足 $gH=Hg, forall gin G$ （且 $Gcap H={1}$ ），則 $G$ 和 $H$ 生成的群與 ${gh, gin G, hin H}$ 一一對應，但群運算不像直積那麼簡單。這就是半直積（semidirect product），記作 $Gltimes H$ （這個符號可以理解成G作用於H的變體，即G的每個元素都成了一個 $H o H$ 的映射，即 $hmapsto ghg^{-1}$ 。更準確地說，有一個群同態 $varphi: G ooperatorname{Aut} H$ ，而半直積記作 $Gltimes_varphi H$ ）。這裡就引出群論的幾個基本概念：正規子群（normal subgroup），automorphism group，inner/outer automorphism 等等。

情形3：兩個群不交換，也不滿足一個normalize另一個，如兩種翻轉群，其夾角不是90度。這樣生成的翻轉群是很重要的一類群，不光是高維多面體的對稱群，在李代數中非常重要。這類群可以由幾個翻轉 $s_1,ldots s_n$ 生成，滿足的關係是 $(s_i s_j)^{m_{ij}}=1$ ，其中 $m_{ii}=1$ (因為 $s_i$ 是翻轉)。這些 $m_{ij}$ 並不是可以任意取的，而要對應 $s_i$ 和 $s_j$ 的夾角。這樣生成的群包括一串類似 $s_1 s_3 s_2 s_3$ 的式子，沒有同樣的生成元相鄰，但還能進一步簡化。如 $s_i s_j s_icdots = s_j s_i s_jcdots$ 兩邊各有 $m_{ij}$ 項，這樣替換之後可能會消項，式子就變短了。不幸的是，我們沒有唯一的簡化，但最簡的式子都一樣長。

情形4：兩個群完全沒關係（relations），即生成的群就是 ${g_1 h_1 g_2 h_2cdots, g_iin G, h_iin H}$ ，完全不能簡化！這個就是自由積（free product），記作 $G * H$ 。這種群自然界有嗎？還真有，在球的旋轉群 $SO(3)$ 里存在兩個旋轉，他們之間就沒有任何關係。這與Banach-Tarski悖論有關。

很多人提到對稱，其實是不對的。
群的特徵是變換，任何封閉的變換操作集都可以用群表示。物理里用它來表示對稱，是因為對稱操作總是某種變換操作，而且肯定是封閉的，所以必然成群。
但是即使不是對稱操作，也可以是群。一個旋轉對稱明顯破缺的理論，同樣可以討論旋轉群的作用。

從我接觸的一些知識中，簡單的說說：
用數學語言嚴格定義的群，是我們實際中遇到的問題的高度抽象。為了更好的理解這些概念，用「轉動」會更方便些。
1. 「轉動」這個東西在物理和數學上都很普遍。我們直接看得到的，平面/三維空間中把某個位置矢量繞原點轉動有限的角度；剛體繞某個固定軸的轉動；當平面/三維空間坐標軸轉動某個角度後，溫度場的變化；平面/三維空間中坐標軸轉動後，速度場的描述有什麼變化；物理中的，標量場，光子場，Dirac場在坐標旋轉後，如何描述。
2. 緊接著，就要區分「操作」和「對象」的概念。1中的位置矢量，剛體，溫度場，速度場，標量場，光子場，Dirac場都是具體的」對象「，我們把他們繞固定點轉動，繞固定軸旋轉就是」操作」。我們當然可以直接操作這些客體，叫「主動操作」；也可以去操作坐標軸，而讓客體被動的發生改變，因為要描述客體，必須建立一套坐標軸，叫」被動操作「。
3. 這些」操作「被提煉出來，就是群的概念。如果僅僅到此為止，那麼他們也僅僅是些符號而已，但是如果給這些」操作「賦予對象，那結果就立即豐富起來了。3D空間的轉動操作，可以作用到位置矢量上，體現為矩陣；也可以作用到標量函數上，矢量函數上，Dirac函數上，。。。。。體現為算符。這個過程，叫做求」群的表示「。當然，從數學的角度，就是要確定」表示空間「，然後求」群的表示「。數學上的表示空間，可以是x,y,z這樣的3D空間，複數空間，也可以是完備的函數空間(球諧函數為基底，多項式為基底。。。)等等。這裡其實並沒有嚴格的區分」算符「和」矩陣「。
4. 我們最感興趣，最能看得見的操作是3D空間的轉動操作，比如轉動一個位置矢量。我們一般需要求繞一個任意固定軸 $( heta,phi)$ [ $heta$ 表示軸和z軸的夾角， $phi$ 表示軸在xy平面投影和x的夾角]的轉動的表達式。很遺憾的是，這個目標一上來有點不好達到。先來求求繞x, y, z軸的轉動的表達式，這個還是很容易的。
越寫越多，以後慢慢寫。。。

遵循阿爾諾德，一個群就是某些對象的自同構
按照凱萊，一個群就是一種幾何對稱

群論討論的東西, 要麼是這個東西本身符合群論定理(這玩意的數學結構就這樣), 要麼是這個東西是從某個群作用中抽象出來的. 如果想找具體的例子的話, 那本物理中有一堆抽象出來的群作用, 比如 Galileo 變換群, Lorentz 變換群.
我們常常聽說的群論是刻畫對稱的, 說的也是同樣的事情. 比如說在 $R^3$ 中的矢量構成的集合, 我們把它繞著一端旋轉的操作, 抽象成群 $SO_3$ (這樣的變換符合群定義). 常見的群, 比如說置換群 $S_n$ , 或者循環群 $C_n$ , 或者二面體群 $D_n$ 都可以從群作用的觀點上非常直觀的理解.
繼續說旋轉. 其實我們在線性代數中可以用矩陣來刻畫這樣的操作, 可另一方面顯然這是個旋轉群. 譬如平面上的情形 $egin{pmatrix} cos heta -sin heta \ sin heta cos heta \ end{pmatrix}$ , 和對應的旋轉群 $SO_2$ . 說後者是矩陣群, 即是使用前面的那樣的變換構成的群. 當然沒錯, 可實際上這樣的旋轉操作是抽象的是, 是和基的選取無關的. 前面的矩陣是後面的群的表示(Representation). 這樣的從抽象群出發, 到某一類可逆矩陣的同態關係, 被稱為群表示.

你看, 群論這東西. 往裡面挖有各種結構(數學家關心的), 往外面找有群作用和群表示(一個找外面的東西折騰的規律, 一個想用線性代數折騰群). 理解起來比環論和域論直觀多了...環論和域論要想找應用, 大概只能去折騰代數數論了. baby level 的結果就是把因子能唯一分解啊, 能用 Euclid 輾轉相除法啊, 這些東西給個抽象的一般理論.
所以, 群論還是很形象和直觀的理論.

建議各位答主在回答完以後把參考文獻放上來

台灣交通大學朱超原老師,開放式課程化學應用群論,在開始的幾節課簡單詳細的介紹了抽象群的規則以及由來,非常有趣,精彩,易懂.

首先，對於不需要直觀就能理解的群的同學深表佩服。其次，說下我對群的直觀理解。群定義相信大家閉著眼就能寫出，上文也有，不再贅述。幺元、逆元運算的直觀對稱性很明了。這裡著重說一個結合律的對稱性。以二維空間向量加法為例，對於(a+b)+c=a+(b+c)，設a+b=d，b+c=e，令a+(tx,ty)=d，則一定有e=c+(tx+ty)，兩邊相加，消去(tx，ty)，得d+c=a+e，即(a+b)+c=a+(b+c).對於1維數軸亦同。其實，要想直觀，就用數形結合法，上述給圖，二元加法結合律對稱性一目了然:
c和a分別用對稱的(tx，tx)補一下，結合律就等價對稱了。

說真的，呢個所謂的直觀理解矩陣不就是在線性代數的抽象體系里理解矩陣？從來不覺著數學是一個需要直觀得東西，體系完整自然醍醐灌頂。

從起源來說，似乎最早的群是用來描述幾何對稱的，舉個例子：

比如一個正方形，關於對稱軸翻轉，關於中心旋轉90度等變換，得到的＂位置不變的＂正方形。只是各頂點位置變了。

假設正方形為：
A B
C D
逆時針轉90度就是：
B D
A C

這個旋轉可以對應於一個定義在{A, B, C, D}上的變換f，滿足：
f(A)=B, f(B)=D, f(C)=A, f(D)=C

所以旋轉、翻轉可以看成正方形四個頂點構成的集合上的變換。把這些變換收集起來，構成一個變換的集合，可以證明這個集合關於變換複合作為乘法是一個群，我比較喜歡叫變換群。

而實際上有一個更強的結論，就是Cayley定理，不正式地說，Cayley定理證明了：任意一個群都形式上等同於某一個變換群。

================ 2015-10-29 ==================

所以我見過的很多群都是大量變換構成的群。舉一些例子：

最好的例子莫過於全體n*n矩陣構成的群：如果理解矩陣和線性變換的關係的人會知道：矩陣代表的就是（在固定一個坐標系下）一個線性變換的數值表示。簡單說，矩陣就是線性變換。
那麼全體n*n矩陣構成的群也就是變換構成的群。（驗證四條定義我就不驗證了）

而且線性變換群還有很多子群，比如正交變換（剛性變換）構成的群，還有非退化變換（秩大於0的矩陣）構成的群。等等。

再舉一個例子，就是變換群，考慮一個有限集S = {1, 2, ... , n}。 S到S上的所有雙射也是構成了一個群（四條定義也不驗證了），這與前面正方形翻轉是一個東西。就是自同構群，或者說對稱群。

同樣的對稱群也有很多子群，比如偶變換構成的群。

在物理學裡面還有很多群，我不太熟悉，但應該也和變換有關係。

3B1B 最近有一期講了一點點群論推薦去看看

推薦一本書，visual group theory 就是用來直覺理解群的。
配套同名視頻 b站上就可以找到 b站或油管直接搜visual group theory

雙射

不是很理解你們為什麼一定要用一個「本質」去說數學的東西，全都是人造的哪來本質不本質，數學是自然科學嗎？

不妨玩玩魔方