一個早自習都沒想出來，好想知道答案？(題目在最下面劃紅線的地方)？

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複雜但是深刻的理解：我發車了，證明 不存在， 映射 可以遍歷全部的 , 對於其中任意的開集 ,可以證明

,

特別的，我們可以證明對於任意對於存在一個收斂子列 使得 。換句話說，集合 在 中稠密，顯然它不可能是一個收斂數列, 後者只有一個凝聚點。

好吧，簡單點但是本質上無用的解法，因為這個解法只是技巧性的，不能回答實質性問題： 假設 ，那麼 ，於是 ，於是 ,

因為 都是 的子列，所以

矛盾。

在學習數學的時候，雖然技巧性的東西比較簡單，但是實質上的東西才是關鍵，所以要提高自己的姿勢還是多去學習實質性的內容，而不是陷於技巧性的東西。

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如果題主是高中生：

第一題把根號變成指數，第二題考慮2kpi+pi/2和2kpi+3pi/2

如果題主是大學生：

讓我們來談談學習方法和學習態度的問題吧，我覺得你更想要得到解答是這個

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不放大招，就用basic高等數學。

如果sin（n）有極限為0，那麼sin（n+1）有極限且也是0。用兩角和公式，矛盾自得。

這裡的每一步都是初等和邏輯上毫無疑義的。

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形如n+2πm，其中m，n是整數的線性組合是稠密的，自己用劃分同餘類的方法試試看吧～（數論中Kronecker定理的小推論）

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？？？ 很明顯n趨於無窮的時候上面的指數趨於零。

第二個能不能自己看看極限的定義。

思而不學則殆

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謝邀，，第二題該數列極限不存在，樓主可預習（複習？）數列的上下極限（該數列上極限為1，下極限為-1），，

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不清楚題主現在所處階段。
若是高中感興趣看到這些在琢磨，那麼很好。

若是已經大學了，這兩個應該是學極限的時候非常基本的東西，題主多看看課本吧。。。

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什麼都來知乎了，百度知道，作業幫！！！嗨。。

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1、取下對數，就更明顯了
2、只需說明極限不存在
都得用的ε-N吧

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sin n根本就不收斂，哪來的極限，這題是搞笑的吧

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第一個。。。不是高中生都能想通的嗎。。。

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知乎作業幫？？？

@知乎小管家

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先瀉藥。 再放答案。
第一題，在我之前的筆記上有(見下圖)

需要說明的是，結論可對任意的正實數a都成立。更直觀的一種理解是，a^x為冪函數是連續函數，當x趨於0時，極限顯然為零，然後用海涅定理將函數的極限轉化為數列的極限，立證。

第二題，更加顯然，因為函數sin x始終在-1到1之間振蕩，所以極限不存在，當然不可能等於0了，如果要嚴格證明，可以參考下面的反證法!

有知友提出上面取的n=Nπ/2不是整數，在此更正一下，加個取整[ Nπ/2 ]就行了！
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2017.10.11 更新
再次更正，取整之後反而不對了，所以不要取整，直接就是像上圖那樣就是正確的!!!!!

我翻了翻華東師大《數學分析》第四版 數列極限定義中的N只需要是正數即可，不一定要是正整數!
請看這三處劃線部分!

對我的解答有問題，歡迎提出質疑!現原答案無須更改，就是像我手寫的那樣反證!

這些都是基礎中的基礎基礎基基礎題，還是自己多想想比較好！

最後

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第一個證明太簡單，略過。
第二題，這個極限是不存在的，我們甚至可以證明序列sin1,sin2,,,,sinn永遠不可能取0值。利用反證法，假定存在自然數N使得sinN=0成立，我們知道sinx的零點只能在x=kpi處取得，那麼有N=kpi,從而pi=N/k，得出pi有理數，而眾所周知pi不可能為有理數，從而導出了矛盾。

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