如何用微分方程表示墨汁在水中的擴散？

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感覺真是很漂亮，考慮到方程將會非常複雜，說出建立微分方程的方法就行了，最好詳細點。

這個並不複雜。

如果只是「表示墨汁的擴散」的話，用一個Fick"s Second Law就可以了。但是感覺題主應該是問「如何模擬墨水滴入水盆產生很好看的效果「，因此水不是靜止的。

那麼通常考慮水分子和墨分子之間的相對速度的慣性可以忽略，於是整個系統就只有一個速度場，場方程就是普通的不可壓Navier-Stokes方程加一個漂移擴散方程。

考慮每點附近一小塊區域中墨的含量是 $phiin[0,1]$ ，於是有

$frac{Doldsymbol{u}}{Dt}=-frac{1}{ar{ ho}} abla p+ar{ u} abla^2oldsymbol{u}+oldsymbol{f}_{ext}$

$ablacdot oldsymbol{u}=-frac{Dphi}{Dt}frac{ ho_s- ho_l}{ar{ ho}}$

$frac{Dphi}{Dt}=eta abla^2phi$

其中 $frac{D}{Dt}=frac{partial}{partial t}+oldsymbol{u}cdot abla$ 是物質導數，墨密度 $ho_s$ ，純水密度 $ho_l$ ，其中 $ar{ ho}=phi ho_s+(1-phi) ho_l$ 是混合液體密度， $ar{ u}= u(1+2.5phi)$ 是混合液體的粘性係數（這個是愛因斯坦1905年提出的方程，比較簡單，還有其他描述混合液體的粘性係數的版本）， $eta$ 是擴散係數。

如果忽略擴散導致的密度變化、粘性變化就更簡單了，速度對墨的含量就變成了單向耦合。

至於求解的話方法很多的，如果是追求視覺效果的話，FLIP／APIC之類大概都蠻好用。具體可以參考我們的專欄：

電影工業中的流體模擬（五）--- 拉氏方法，歐氏方法和混合方法

或者渦方法可能會對墨汁入水的湍流效果做得更好一些，以及混合方法比如 @張心欣的IVOCK：

IVOCK

渦方法的背景知識可以參考：

電影工業的流體模擬（特別篇）---渦方法的數學背景

電影工業的流體模擬（特別篇）---渦方法（二），N體問題初探以及最簡單的流體模擬程序

方程的話不可壓NS方程加輸運方程就可以。
也就是Raymond答案里的。

關於方程的求解我有點不同的意見。
你要是追求的是視覺上的效果，按Raymond提到的那些方法可以簡潔有效的得到很漂亮的結果。
但是那些方法在物理上是不夠準確的，做了很多簡化。

從流體力學的角度的話，用RANS，LES，DNS求解才是正確的做法。

首先你想到用數學的方法來描述這個系統，你肯定是有一定數學水平的。但是很遺憾，這是一個

非線性

的系統。如果我對這個詞的理解沒錯，應該就是

無法通過一定的初始條件去獲得之後任意一刻的狀態。

通常在計算機領域，對於這種模型通常採用迭代法，即給定初始條件及幾何元素之間的作用規則，通過對當前時刻進行計算，得出下一時刻的狀態，周而復始。

數學上有個詞叫「卷積」，就是拿來解決這種非線性系統的工具吧

美其名曰「卷積」說白了就是f(f(f(f(f(f(f(f(......))))))))不停的算下去。。。

可以做成耦合常微分方程，Lorentz模型的自由度為3

調節參數abc，選擇最適合視覺變化的參數..

dx = x + dt*(a * (y - x));

dy = y + dt*((x * (b - z)) - y);

dz = z + dt*((x * y) - (c * z));

X是水和墨水的密度比

Y是不同溶液的溫差

Z是流動速率比

abc分別可參考普朗特數，瑞利數，水平溫度結構衰減率與垂直溫度結構衰減率之差異

取值可為先取10，28，2.67再自行調整

.相關軟體參見:YChaos生成混沌圖像.

為什麼我覺得是布朗運動的擴散公示。。。而且不用N-s方程可以用初等數學表示。

流體力學非理想流體湍流非線性