微分號 d 有何意義？

12-27

我們都知道dy是微分，也表示一個趨近於0的數，那麼請問單獨的d有何意義？
(我的理解是d是一個無窮小量，這樣d乘任何東西就都是一個趨近0的數，求各位輕噴)

流形： $M$

曲線： $gamma:R o M$ ；

函數： $f:M o R$ ；

切空間： $T_xM={[gamma],gamma(0)=x}$ ；

餘切空間： $T_x^*M=mathcal{F}_x/mathcal{H}_x$ ；

DG-代數： $Omega(M)=igoplus_{r=0}^{n}Omega^r(M)$ ；

外微分： $d:Omega(M) o Omega(M)$ ；

$0 o Omega^0(M) oOmega^1(M) oOmega^3(M) o ...$

考慮 $M=R^3$ ， $d:Omega^0(M) o Omega^1(M)$ ：

$Omega^0(M)$ 為 $R^3$ 上光滑函數的集合； $Omega^1(M)$ 為 $R^3$ 上光滑對偶矢量場的集合，那麼：

1，外微分符號 $d:fmapsto df$ 把光滑函數 $f:R^3 o R$ 變成對偶矢量場 $df:R^3 o T^*R^3$ 。每點的對偶矢量 $df|_{x=x_0}:T_xR^3 o R$ 。

2，簡單的說： $d$ 是把光滑函數 $f$ 變成光滑一形式（對偶矢量）場 $df$ 的映射；而每點的 $df|_{x=x_0}$ （對偶矢量）是把該點的矢量 $vin T_{x_0}R^3$ 變成實數 $R$ 的映射。

3，再說的簡單一點：對於映射 $df|_{x=x_0}:vmapsto R$ ，即：在 $x=x_0$ 點給一個方向（矢量 $v$ ），出一個函數 $f$ 沿著 $v$ 方向的增量，大小為實數 $df|_{x=x_0}(v)$ 。

謝邀。
d是exterior differential，是一個把n形式映到n+1形式的微分運算元。它的不尋常之處在於它是「自然的」，也就是與坐標選取無關的一個微分運算元。

謝邀：作為初學者，不要過度解讀數學符號，你暫時這樣理解：這裡的「d」不代表任何什麼具體意義，甚至在數學上dx的意義也不是你說的「趨近無窮小的數「，雖然很多物理／工程上的人喜歡這樣用，其實「無窮小」也是需要迴避的概念，作為初學者請你最好按照嚴格的 $epsilon-delta$ 語言來理解極限，如果你真的痴迷「無窮小」請你學習「非標準分析」，正如同它的名字一樣，這個分析並不是一個常用的「微積分語言」。如果你真的要知道dx的意思，我只能這樣解釋了， $dx$ 是 $mathbb{R}$ 餘切叢上的典範截面, $dxmid_{x_0}$ 是切空間 $T_{x_0}mathbb{R}$ 上的線性泛函， $dx$ 是一個covector field，... 我知道你要暈了，詳細的解釋在下面這個問題裡面有回答：

微分dx是什麼含義？

我覺得這個回答寫得比較初等，希望對你有幫助。

李文遠：微分dx是什麼含義？

總之， $dx$ 的嚴格定義不是那麼簡單的事情，遑論 ,那本身就沒啥意義，如果有，那就是外微分運算元，不過，我也不想在這裡解釋，你也不太可能聽懂。你現在就只把它當成一個符號就好，不要過度解讀，萊布尼茲的形式記號雖然方便，但是也的確誤導了很大的一批初學者，記住「數學不是玄學」，上面的「符號」本質上都是「規定」，一定要回到本源，不要過度解讀。

推薦閱讀 do Carmo 的小冊子《微分形式及其應用》。

看起來題主在看高數書。那從高數的練度來說，dx就是dx，dy就是y(x+dx)-y(x)或者視你左右微分需要的其他定義。就算你把dx dy換成♀♂也不會有任何問題，只不過約定符號而已。高數真正需要理解的是極限的定義特別是δε語言。只要理解了極限，後面所有的東西都是順理成章的。

低階理解（高中）：dx是Δx趨於零時的記號。

中階理解1（數分）：d叫微分，是一個接受一個函數返回一個函數的函數（以後對於這種東西我們叫泛函，運算元什麼的），表示的是函數某點的線性部分。
舉個例子：
設f(x)=x平方
(df(x)) (h)=2x·h
（這裡h才是變數）
（這個表示沒問題，(df(x))【整體】是一個還沒接受參數的函數。就像f(x)中的f一樣）

中階理解2（代數）：參與形式運算，沒有實際意義，只要滿足微分的運算規則，都可以稱作微分：
1)d(ku)=kdu
2)d(u+v)=du+dv
3)d(uv)=udv+du v
u,v是函數，k是常數（略）

高階理解？學無止境……我咋知道

哇居然把dx理解為乘法，妙啊

這樣一來dy/dx，上下約去d，得到y/x，哇求導真容易相除就行了~

剛學微積分就問這個問題會把自己繞暈的。
類似的問題還有dx什麼意思？df什麼意思？d到底是什麼？
開始學微積分時，就把它當成一個自變數x的微分一記號(自變數差分的一階逼近)。這時候容易出現的問題是df是什麼，都有哪些玄妙的意思？記住，在本科微積分里就一個意思df:=f"dx. 其餘的都是無窮小量觀點在作祟.
大學物理老師會把你的三觀徹底毀掉:隨手在黑板上畫條線，標出兩個點告訴你這一小段就是ds或df或ds. 這些正好是數學分析老師屢次禁止的。物理老師天然就懂非標準分析。

再往後就容易暈了，運算元d的意思多了去了.
切映射，外微分，協變微分，協變外微分...各種意思都有可能出現，要根據論文上下文語境判斷了. 陳省身先生的文章里這些用法都會出現.

Question:
Chern在論文里經常用ds^2=dx*dx表示黎曼度量，這裡的d怎麼理解？

問題是好問題，但是以你目前的知識沒法理解。
數學系會學一門課叫做微分流形，裡面有一個主幹內容叫做微分形式。在微分形式裡面會專門講這個符號。
目前你最好的辦法是，把它當做一種符號的約定而不去理解。隨著知識的深入，會逐漸明白的。
看到好多人對這個問題很感興趣，我就再多說幾句。為什麼我們要對「微分形式」積分？
事實上，當我們在每一點附著一個反對稱張量的時候，相當於在每一個點給出了一個n維平行四邊形。這是因為，我的在輸入n個向量，這個張量就能返回我們一個數字，這個數字理解為這個n維平行四邊形的「有向體積」。
學過微分流形的人應該明白，微分流形結構是非常軟的。打個比方，半徑不同的兩個球面是相互等價的微分流形。所以如果你直接討論流形上的體積和積分就沒有意義了。
那麼如何討論流形上的體積呢？方法是在流形上每一個點上附著一個體積的概念。而微分形式相當於給出來流形上每一個點局部的平行四邊形的體積（參考黎曼積分劃分的思想），這樣就可以求體積了。
這就是為什麼我們要對「微分形式」積分

引自《微分幾何入門與廣義相對論》梁燦彬周彬著

梁教授講課的時候說，其實df在微積分學中並沒有很好的定義，但是在流形(manifold)中其實定義就很明確了。

圖片中所示兩方面都有很明確的闡述。

我說個我的理解。

書上△x＝dx 而△y≈dy僅在x趨於0成立。

我們可以把d看做一個簡單的一次線性變化。
顯然，函數在x軸上，數一定是線性變化的。因為數是沿著x軸走的。即自變數。

但y不同，除了一次函數以外，隨著x自變數走動。y的變化不是線性的。假設x走了a個單位，y的變化一定大於a或者小於a。因此就是△y的意義。
而dy就是忽略其中的差異，完全把y的變化變成了和x同步的線性變化。要達到這樣的目的，只能把△y縮成至0，於是這樣就成了一個點，故而我們說微分一定強調某個點的微分。其表示為dy。

所以d這個符號的含義就是坐標點x坐標或者y坐標基於函數本身朝某個方向特定移動的趨勢的一個量，其中x的變化趨勢是給定的。y的變化趨勢根據x的變化來變，為了描述y到底怎麼變，我們就用導數來描述。

把dy/dx的坐標點在相應點上的變化趨勢的比值叫做導數。

d可以理解為一個前綴，但是dx不能理解為乘法，dx是一個整體，這個整體與x有關。

d就是difference……dx就是difference x，一小截x。
dy/dx就是"一小截y"比"一小截x"。
你可以把d直接看成一個形容詞。
所以完全不明白為啥數學書搞的那麼高大上……

有興趣的話可以去Bilibili看3Blue1Brown的數學科普視頻，已經更新到微積分部分了。

作為一個工科生我一直是這樣來理解的：d代表一個函數 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 點處線性化函數 $y=f$ 的自變數和因變數的變化符號。

對於函數 $y=f(x)$ 來說，自變數的變化用 $Delta x$ 來表示，相應的因變數的變化量為 $Delta y=f(x+Delta x)-f(x)$ 。而對於函數 $f(x)$ 在 $x_0$ 處的線性函數 $y=f$ ，則用 $dx$ 表示自變數的變化量，相應的因變數的變化量為 $dy=f$ ，即 $dy=f$ .

所以d是表示由 $y=f(x)$ 在 $(x_0,y_0)$ 處得來的另一個函數 $y=f$ 的變數（其中 $y_0=f$ ）的變化量的一個符號,用以區分 $Delta$ . 變化量可以是很大的，不代表無窮小量。

英文單詞differentiation，意思是極其微小的改變數

d不乘任何東西。

普通的初中/高中/大一新生

甚至可以將d理解為delta的縮寫

積分號自然包含Δx--＞0的含義

先解釋樓主問題：d
1675年萊布尼茲分別引入「dx」及「dy」以表示x和y的微分（differentials）,.始見於他在1684年出版的書中,這符號一直沿用至今.微分符號d取英文differential,differentiation的首個字母(difference有差距,差額的意思),其中與微分概念及符號d相關的英文單詞有divide,decrease,delta等.另外,符號D又叫微分運算元.（摘自百度百科微分符號）
再貼百度百科的微分詞條定義：設函數y = f(x)在x的鄰域內有定義，x及x + Δx在此區間內。如果函數的增量Δy = f(x + Δx) - f(x)可表示為 Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依賴於Δx的常數），而o(Δx)是比Δx高階的無窮小（註：o讀作奧密克戎，希臘字母）那麼稱函數f(x)在點x是可微的，且AΔx稱作函數在點x相應於自變數增量Δx的微分，記作dy，即dy = AΔx。函數的微分是函數增量的主要部分，且是Δx的線性函數，故說函數的微分是函數增量的線性主部。（△x→0）
再說個人理解，d就是表示微分、無窮小量的意思，dy就是y的微分，是lim △x→0 （△y），是y在一個小的臨域內的變化量。個人覺得d可以理解成臨域的意思吧，沒有單獨意義。同理可以推廣到多元函數微分學中的?表示偏微分（partial），代表在某一軸投影上的一個無窮小變化量，而此時d則代表的是全微分，表示函數或某個變數在多個坐標軸合力作用下的總變化量。
最後關於偏微分部分安利一個系列視頻：b站上搜《微積分的本質》，這是一個系列視頻，希望會對你又幫助。

瀉藥，正確的解釋其它答案也有了。
我來說個搞笑的事，我以前暑假幫一個女孩子補高數，你沒有看錯，真的有人怕不及格專門請人補高數。df/dx 居然問我，d為什麼不能約分，約分，約分

D是英文單詞differentiation.來源見下面黃色字體。