怎樣運用n階導數公式到複合函數上？

12-27

比如
怎樣運用冪函數n階導數公式
到f（x）＝（a2＋x2）^1/2上？

這裡取n＝2
如果直接寫-(1/2)*(1/2-1)*(a2＋x2)^(-3/2)*2x
這是錯的
應該怎麼寫呢?

Long Long Ago

我看高數的時候也思考過這個問題

然後我就找到了這個:

Faà di Bruno 公式:
${d^{n} over dx^{n}}f(g(x))=sum {frac {n!}{m_{1}!,m_{2}!,cdots ,m_{n}!}}cdot f^{(m_{1}+cdots +m_{n})}(g(x))cdot prod _{j=1}^{n}left({frac {g^{(j)}(x)}{j!}} ight)^{m_{j}}$

引入貝爾多項式

${displaystyle B_{n,k}(x_{1},x_{2},dots ,x_{n-k+1})=sum {n! over j_{1}!j_{2}!cdots j_{n-k+1}!}left({x_{1} over 1!} ight)^{j_{1}}left({x_{2} over 2!} ight)^{j_{2}}cdots left({x_{n-k+1} over (n-k+1)!} ight)^{j_{n-k+1}}}$

後這個式子可以寫成

${displaystyle g^{(n)}(f(x))=b_{0}+sum _{n=1}^{infty }{frac {x^{n}}{n!}}sum _{k=1}^{n}b_{k}B_{n,k}(a_{1},ldots ,a_{n-k+1})}$

當然為了避免你問超級無聊的三重四重五重複合怎麼辦

隆重推出廣義貝爾函數:

$Y_{n}(x_{1},dots ,x_{n})=det {egin{bmatrix}x_{1}{n-1 choose 1}x_{2}{n-1 choose 2}x_{3}{n-1 choose 3}x_{4}{n-1 choose 4}x_{5}cdots cdots x_{n}\\-1x_{1}{n-2 choose 1}x_{2}{n-2 choose 2}x_{3}{n-2 choose 3}x_{4}cdots cdots x_{{n-1}}\\0-1x_{1}{n-3 choose 1}x_{2}{n-3 choose 2}x_{3}cdots cdots x_{{n-2}}\\00-1x_{1}{n-4 choose 1}x_{2}cdots cdots x_{{n-3}}\\000-1x_{1}cdots cdots x_{{n-4}}\\0000-1cdots cdots x_{{n-5}}\\vdots vdots vdots vdots vdots ddots ddots vdots \\00000cdots -1x_{1}end{bmatrix}}$

廣義貝爾多項式可用於表示由 $m$ 個函數組成的合成函數的 $n$ 階導數

$D_t^n f_1left(f_2left(ldots ext{$ldots $f}_m(t) ight) ight)=Yleft( egin{array}{cccc} f_1$

不錯...破乎的 $\LaTeX$ 居然沒爆炸...

這個功能是 Mathematica 11 的賣點來著...