調和級數既然是發散的,那麼就是無窮大量了,它發散的快嗎,什麼級別的,lnn,n,....?

12-27

感謝評論區大神指出我的答案不嚴謹。。修改如下:
可以證明n趨於無窮時，lim(lnn-sum(1/i)) (i從1到n求和)是個常量，即歐拉常數。

------------原答案------------

可以證明lnn-sum(1/i)是個常量，即歐拉常數。

【不正經一下】
不發散
最新研究成果表明收斂於61.351783352…

施圖玆發威記2：調和級數有多大？原來是這個重量級的。。。超美的等式！！！

2017-04-06 今日方知 笑看數學

施圖玆發威記2：調和級數有多大？原來是這個重量級的。。。超美的等式！！！

【輕鬆一刻--你先寫「證」還是「解」】

非數學系學生：看到數學題，先寫個「解」，覺得特別帥氣，正在小有得意之時。突然發現，我擦，居然是個證明題，然後塗抹掉，改為「證」。。。

數學系學生：看到題目，都麻木了，先寫個「證」，再盤算著怎麼證明，結果仔細一看，哎喲我去，哈哈哈，居然是個計算題，然後改為「解」。。。

【調和級數發散的常規證明】

調和級數指的是：

這無窮多項的和，它不是收斂的，而是發散都正無窮的，可以證明如下。。。

這個證明還是挺簡單的。不過卻沒有解決一個問題：調和級數到底有多「大」？

【分等級的正無窮大量】

神都分三六九等，無窮大量當然也是有等級的，雖然都是無窮大量，但是有的高高在上，有的淪落街頭，富富差距也是蠻大的喲。。。

一般來說：...&

沒有最小的無窮大量：比如lnn之前還有lnln(n),lnln(n)之前呢，還有lnlnln(n)...

當然也沒有最大的無窮大量，畢竟n^n&

好了，既然調和級數是無窮大量，那麼他是屬於哪個重量級的呢？

【herehere】

誰都想壯大自己的家族啊，多一個成員，多一分力量啊。更何況是大名鼎鼎的調和級數啊，如果能賺的此君入伙，何愁大業不成？

大夥內心都是躍躍欲試，卻又在盤算說辭。

不想此時lnn首先開口，大笑著說道：herehere,它是我這的。。。

旁邊的lnlnn,n，n!都很不服氣，憑什麼啊，你說是你的，你能證明啊？

哈哈哈，lnn，大笑一聲，你還別說，我還真能，不服請看：

看吧，我lnn和調和級數是等價無窮大，施圖玆定理可以做見證哦，嘿嘿，服了嗎？

施圖玆定理：有老夫在此，誰敢撒野？？？

大夥真是無言以對，空氣死一般沉靜。。。

【領略數學之美】

我們再來看看這個等式，領略一下其中的數學之美。

上面是自然數倒數和，下面是自然對數,真是好一個「自然」的等式，上下皆自然，結果也是非常漂亮的1。以前提過：理論上的重要性+形式上的美觀性是檢驗數學之美的重要標準，理論上：不但說明了調和級數是發散的正無窮大量，而且還說明了它是和lnn等價的無窮大量，很有重要意義。形式上：上下皆自然，把兩個似乎毫不相干的鄰域完美的結合到了一起，在逼近無窮走向人生的極限中，不斷褪去虛偽裝飾的外殼，凝練成了最簡單1，真是大道至簡，九九歸一。。。。。。

我用一個比較初等的方法來說明這件事情，
其中的兩個不等式可以自己通過畫圖像來進行驗證。
新來知乎，不會用公式編輯器，只好手寫

補充一點：第二個不等式可以通過在等式左右同時除以x，則左邊是增函數，右邊是減函數。因為x=1時等號成立，故x&>1時不等號成立來得到。

lnn＜Sn＜1+lnn，所以這個級數與lnn是差不多的。