請教一下拓撲是什麼概念？

12-27

最近看到諾貝爾獎的頒布跟拓撲有關係，我特別好奇拓撲是什麼意思呢？
有大神可以詳解么，謝謝
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幾個小時前剛從 @Quantum 同學那裡收穫了一篇我看起來真心不錯的微信文章。（誒，可惜的是，原文貌似還是引了國外的科普書，不是咱中國人寫的。）不妨順水推舟吧。

如何讓你在10分鐘內了解拓撲變換

而能夠通過「拓撲變換」變過去的兩個空間，就叫做拓撲同胚的。同胚二字理解為等價就好。

Downvote那些把拓撲的教科書定義照抄一遍的回答。一個沿用已久毫無爭議的術語的定義在任意相關教科書中均可明確無誤地查到，抄一遍既不證明水平也幫不到非專業的人。科普就該有科普的樣子。當然了，我是沒有能力寫出這種科普，所以照搬了別人的。

註：拓撲和拓撲同胚是兩碼事。先有拓撲，再有連續映射，才有了同胚。對於公眾而言，認識拓撲本身的定義或許既不直觀也不容易，然而拓撲同胚可以幫助我們了解很多其他地方「拓撲」二字出現時的意義。

可不可能在不脫長褲的情況下脫掉內褲？（記住不許把一隻腿從長褲里撈出來）

可不可能在不脫上衣的情況下脫掉內衣？（記住不許把一隻胳膊從袖子里撈出來）

大家可以先做一會兒實驗，等到想不出轍的時候你就會想到去求助於拓撲來解釋了。

吐個槽，在我看來，研究拓撲空間度量空間開集閉集緊集列緊集和極限這一方面的點集拓撲，和利用各種同倫同調上同調群研究拓撲空間整體性質的代數拓撲，完全是兩個學科…

填坑，填坑！！！！

如果單純的是如題所問"請教一下拓撲是什麼概念"?

那麼我的回答根據不同的人群分別有不同的兩種回答:

第一種是針對專業的數學研究人群，或者有興趣成為其中的一份子的人。

回答如下：

定義1.1.1 設 $X$ 是一個集合， $mathfrak{T}$ 是 $X$ 的一個子集族.如果 $mathfrak{T}$ 滿足如下條件:

(1) $X,emptysetinmathfrak{T};$

(2)若 $若A,Bin mathfrak{T}$ 則 $Acup Binmathfrak{T}$ ;

(3)若 $mathfrak{T}_1subsetmathfrak{T}$ ,則 $cup_{Ainmathfrak{T}_1}Ainmathfrak{T}$ .

則稱 $mathfrak{T}$ 是 $X$ 的一個拓撲。

第二種回答是針對如題主一類的好奇人士作為科普:

回答如下：

拓撲學是數學的一個分支。它的主要研究內容，是幾何形狀在連續形變中所不改變的性質。例如，一個有把手的茶壺連續變化成輪胎，而不是一個球。參考果殼網這個圖,這裡面也說了點關於諾獎的內容。一個洞和兩個洞的結構是兩個拓撲結構。

回答完畢！。

另外！～～

針對前面的高票已經對諾獎的講解已經很到位了。這裡側重針對數學研究人群。說點拓撲相關的。

拓撲學大致可以分成兩個分支。一個是偏重於用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲，另一個是偏重於用代數方法來研究的，叫做代數拓撲。拓撲學的主要工作是研究拓撲不變性。至於在計算機方向上應用的網路拓撲，最後都可以抽象到數學的圖論上來。畢竟他們是從數學上發展而來的。

針對定義1.1.1做一下簡單的分析,

" $mathfrak{T}$ 是 $X$ 的一個子集族."現代的數學概念是在集合論的基礎上構建的所以以集合的概念來定義拓撲很容易理解，子集族的含義簡單來說就是:是對X的所有子集，你可以分別一個一個拿出來，然後任意組合。構成的新的集合稱為子集族。比如 $X={1,2,3}$ .

它的子集一共有 $2^3=8$ 個,它們分別是 ${1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},{emptyset}$ .

從中任意取出一些，再重新組合為新的集合為 $mathfrak{T}_2,mathfrak{T}_3$ ，那麼

$mathfrak{T}_2={{2},{3}}$ 可以稱為一個子集族。

$mathfrak{T}_3={{2,3},{1,3},{1,2,3},{emptyset}}$ 可以稱為一個子集族。

$mathfrak{T}_4={{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{1,2,3},{emptyset}}$ 也可以稱為一個子集族。

理論上講 $X$ 的子集族一共有 $2^8=2^{2^3}=256$ 個，你看 $X$ 本來只有3個元素，而他的子集族足足有256個,這不僅僅是指數倍的增長，而是指數的指數倍的增長，我們要從這256個子集族裡面挑選出符合條件的，才可以稱之為 $X$ 的拓撲。由此可以看出拓撲的博大精深了吧。

關於條件(1)：

要求空集和全集在這個子集族裡面。 $mathfrak{T}_2$ 沒有空集和全集，所以不是 $X$ 的拓撲。

關於條件(2):

$mathfrak{T}_3$ 滿足條件(1),但是不滿足條件(2)，因為 ${2,3}cap{1,3}={3}$ 而 ${3}$ 並不在子集族 $mathfrak{T}_3$ 里因此， $mathfrak{T}_3$ 也不是 $X$ 的一個拓撲。

關於條件(3):

$mathfrak{T}_4={{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{1,2,3},{emptyset}}$ 滿足條件(1)(2),但是 ${2}cup{3}={2,3}$

${2,3}$ 並不在 $mathfrak{T}_4$ 中，因此 $mathfrak{T}_4$ 不是 $X$ 的一個拓撲。

以下子集族均滿足定義1.1.1的條件(1)(2)(3),

也就是這裡給出 $X={1,2,3}$ 的所有拓撲,

$mathfrak{K}_1={{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_2={{1},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_3={{2},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_4={{3},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_5={{1},{1,2},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_6={{1},{1,3},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_7={{1},{2,3},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_8={{2},{1,2},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_9={{2},{2,3},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_{10}={{2},{1,3},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_{11}={{3},{1,3},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_{12}={{3},{2,3},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_{13}={{3},{1,2},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_{14}={{1},{2},{1,2},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_{15}={{1},{3},{1,3},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_{16}={{2},{3},{2,3},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_{17}={{1,2},{2,3},{2},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_{18}={{1,2},{1,3},{1},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_{19}={{1,3},{2,3},{3},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_{20}={{1,2},{2,3},{2},{1},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_{21}={{1,2},{2,3},{2},{3},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_{22}={{1,2},{1,3},{1},{2},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_{23}={{1,2},{1,3},{1},{3},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_{24}={{1,3},{2,3},{3},{1},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_{25}={{1,3},{2,3},{3},{2},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_{26}={{1},{2},{1,2},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_{27}={{1},{3},{1,3},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_{28}={{2},{3},{2,3},{1,2,3},{emptyset}}\ mathfrak{K}_{29}={{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3},{emptyset}}$

由此可以得出結論:3元素集合的拓撲數為29;

如上只是點集拓撲中的拓撲概念的解釋。是最最基礎的一個概念定義。除此之外還有同胚，連續映射，開集，閉集，導集，閉包，內部，邊界，基與子基等更為重要的基礎概念與定義。對於不同的空間性質。我們有第一第二可數性公理，

可分，空間，lindelof空間。T0 ，T1 Hausdorff空間，正則空間，正規空間，可度量化空間以及它們之間的轉化關係。這些都是需要學習的。如果有機會在別的問題裡面，可以補充回答。共同探討學習。

本人才疏學淺，如有不嚴謹不足之處歡迎指正。虛心接受批評意見。

一個集合X，將X的若干子集作為元素可作為一個新集合T，如果T滿足：
1，Φ和X都是T中元素；
2，T的任一子集的集族的並仍在T中；
3，T中任意兩個元素之交仍在T中。

這樣的T稱為X的一個拓撲，(X,T)稱為拓撲空間，T中的每一個元素叫做這個拓撲空間的開集。

我的公眾號里的一篇文章——

2016年諾貝爾物理學獎公布了，它頒給了3位美國科學家，分別是大衛·索利斯，鄧肯·霍爾丹和邁克爾·科斯特，獎勵他們在拓撲相變和拓撲相物質方面的理論發現。這是一個典型的，離所有人生活都非常遠的成果，讓我來幫你拉近理解。我們先從拓撲相變里的拓撲和相變這兩個概念說起。

1拓撲是什麼？

這是一個純數學分支。正是這次獲獎的這三個人的努力，讓這個分支第一次插入到物理學裡。每次物理學家把新的數學工具領進來，都會造成物理學上的很大突破。

拓撲和幾何有一些關係，它就是研究形態相似的程度。比如說，一個圓球和一個橢圓球，雖然咱們看起來樣子是很不一樣的，但是在拓撲上，卻是拓撲等價的，而且他們和一個立方體，甚至和一個飯碗，都是等價的。為什麼呢？你可以想像成他們都是可塑性很強的橡皮泥捏成的，如果僅僅通過揉一揉、壓一壓、按一按造成的改變，這就相當於沒有改變，他們是拓撲等價的。

但如果你把它做成了一個帶把兒的茶杯的形狀，那拓撲上就不等價了，因為你沒法通過揉一揉、按一按、壓一壓把一個平面上弄出一個窟窿來。所以一個飯碗和一個帶把的茶杯拓撲是不等價的，茶杯多了一個窟窿。如果是眼鏡兒呢，就是那種沒有眼鏡片的眼鏡，這下它出現了兩個窟窿，所以眼鏡框跟茶杯和飯碗都不一樣了，是另外一種拓撲了，如果是帶有三個窟窿的曲奇餅乾呢，那就又是一種新的拓撲結構了。

2相變是什麼？

比如說固態到液態是一種相變，液態到氣態也是一種，這很好理解，這中間的區別主要是因為分子間距的改變。但是還有一些相變從外觀上是看不出來的，比如說給磁鐵加熱，溫度到了一個臨界點以後，磁性就會完全消失了，雖然你從外表看，還是那塊吸鐵石，但它在磁性上已經發生了改變，這就是一種相變。同樣的，還有一些材料在溫度變化的時候，會從不導電變為導電，或者在極低溫下電阻從有到無，雖然從外觀上看，也沒有任何變化，但其實導電性大幅跳躍也是一種相變。

3拓撲相變的原理和應用

那麼拓撲相變是什麼呢？如果我們用拓撲學來描述一組原子的排列，那麼當外界條件發生變化的時候，這組原子的排列，如果從拓撲學的規則去看，有的時候可能從幾何學角度看，已經非常迥異了，但是它們仍然是拓撲等價的，而另外一些時候，連拓撲都不等價了，這個時候就相當於發生了拓撲相變。在索利斯和科斯特利茨研究的物質里，發生的就是這樣的場景。薄層的物質上有很多「旋」，低溫的時候是兩個兩個成對出現，溫度一升高，一下子全都分開成一個個的了。這個過程就需要用拓撲的不連續特徵來描述。這種相變不是僅僅體現在「排列順序」這種數學概念上，甚至也會帶來一些可以測量到的，物理特性上的改變。

（左邊是一對一對的「旋」，在高溫狀態下，變成了單渦旋。這個過程就是拓撲相變。）

諾獎官網稱，他們使用先進的數學方法來研究物質不同尋常的物相或狀態，如超導體、超流體或磁性薄膜，三位獲獎人開啟了通往奇異物質狀態研究的未知世界的大門。該項研究，使得反常量子效應的2個條件都已經滿足了，零電阻可以不需要龐大的磁場發生器來實現了，一個指甲蓋大小的區域就能實現零電阻。——電阻為零，這有什麼意義呢？哪怕是有那麼一點投資敏感度的人都會發瘋的，這就是巨大的商機啊。比如說，我們的CPU之所以按摩爾定律增長不下去了，其中一個原因就是發熱太大了，沒法繼續提高CPU的工作頻率。但如果我們可以找到一種材料，它的電阻為零，我們就可以繼續提高電流、加高頻率，發熱的問題也就迎刃而解了。也許今後我們手機晶元利用這個技術可以讓性能和現在的天河二號超級計算機比擬。

4數學知識還有可能再建奇功么？

三位獲獎人將拓撲概念應用於物理學是其成果的關鍵。拓撲學是數學的一個分支，它描述的特性只會階越式地改變。將拓撲學作為一種工具，他們做出了顛覆性的發現。

諾貝爾獎讓我們又一次感受到數學的重要性。微積分是牛頓力學的基礎，黎曼幾何是廣義相對論的基礎，微分幾何是弦論的基礎、量子力學的發展，不太一樣，它是在不斷地進展，每次進展都有新的數學工具加入，比如說矩陣啊、群論啊，在1980年後，拓撲學也加入了其中。我們還能期待什麼呢？數學中最大的一個分支叫做數論，它經過了2000多年的發展，仍然還站在物理學的門外張望，什麼時候數論應用到物理學，一定是一個讓諾貝爾獎都引以為榮的時刻。或許你就是下一個諾貝爾獎獲得者？

5一道有關拓撲學的高考數學題

6寄語

[閑談]很多小夥伴認為數學有什麼？學會了四則混合運算就綽綽有餘。三角函數？微積分？黎曼幾何(高數中的知識)............？這些東西何必去學？引用一個做教育公眾號大牛的話——絕大部分人用四則混合運算可以安然度過普通人的一生？為什麼還要過度教育？因為大部分人都不甘於做普通人。希望大傢伙都能憑藉自身努力，經歷不甘平庸的一生——金爸爸。

7延伸閱讀：國際上數學界的最高的獎

國際上數學界最高的獎是在四年召開一次的國際數學家大會上頒發的菲爾茲獎。由國際數學家聯合會主持評定,頒給有卓越貢獻的年輕數學家,每次最多四人得獎.得獎者須在該年元旦前未滿四十歲.在各國數學家的眼裡,菲爾茲獎所帶來的榮譽可與諾貝爾獎金媲美.

菲爾茲獎是以已故的加拿大數學家約翰·查爾斯·菲爾茲命名的.
　　菲爾茲獎只是一枚金質獎章,與諾貝爾獎金的十萬美元相比真是微不足道.為什麼在人們心目中,菲爾茲獎的地位竟然與諾貝爾獎金相當?它的地位如此崇高原因有三：第一,它是由數學界的國際權威學術團體—國際數學聯合會主持,從全世界的一流青年數學家中評定.遴選出來的；第二,它是在每隔四年才召開一次的國際數學家大會上隆重頒發的,且每次一般只2名獲獎者,因此獲獎的機會比諾貝爾獎還要少；第三,也是最根本的一條是由於得獎人的出色才幹,贏得了國際社會的聲譽,他們都是數學天空中升起的燦爛明星,是數學界的精英.華人數學家中唯一的獲獎者是丘成桐.（本文部分資料參考整理自網路，如有侵權，請與本人聯繫）

希望對你有所幫助~

文科狗以為跟毛筆字、圖章、碑文、石刻有關，興沖衝進來準備開眼，然後一臉懵逼的滾出，每個答案的每個字都認識，連在一起完全不知在講什麼

數學上，拓撲定義了什麼集合是開集。

拓撲就是關於連續性的學科。

1，討論兩個集合間映射的連續性需要「開子集」的概念，我們把「開子集」具有的性質「提取」出來。

2，然後在集合上定義：「什麼樣的子集叫開子集」，集合便有了原來(沒有定義「開子集」之前)，沒有的性質，這樣的集合我們稱之為拓撲空間。

3，拓撲空間即是賦予了拓撲結構的集合(定義了「開子集」)，藉此我們可以利用映射的連續性定義許多有用的概念，例如：緊緻性，連通性，同倫，同胚，…………

4，這許許多多的概念與性質都源於：「我們要討論映射的連續性，於是我們要定義什麼叫開子集」(賦予集合拓撲結構，使之成為拓撲空間)。最基本的概念就是這些了。

一個集合冪集中開集的集合

補充一點，正式的定義是，在一個集合X中取某些元素構成的集合的集合τ稱拓撲，如果有
(1)空集，全集X∈τ
(2)任意τ中的元素的並∈τ
(3)有限個τ中元素的交∈τ

這樣定義的拓撲中的元素稱開集。此外也可以用閉集來定義拓撲

直觀的看法是，拓撲給出了不用度量來描述集合中元素"距離"的方式。開集說明它們有多近，閉集說明它們有多遠。

至於科普中所說的各種麵包圈，對它的描述屬於另一分支，即代數拓撲。比如各維同調群可以用來確定各維"洞"的個數。

我打算寫9個話題的「民科科普」草稿，不過在準備過程中，發現很多「民科」也必須以高中水平為基礎，才好忽悠人。所以看之前請先確定你具備高中水平的知識，然後我才好開始忽悠你。

【以下正文】

拓撲是一種【如何將複雜事實（具象）抽象成簡單符號（意象） 】的辦法。
【將複雜具象抽象成簡單意象 】是人類最基本的思維方法。

其實對於我們中國人來說，只要經歷過正常高中義務教育，那麼應該會發現【將複雜具象抽象成簡單符號】是一個很常見的現象。

比如——【函數】、【質點】

和【質點】（在不影響問題結果的前提下）忽略形狀，只考慮重量相比，【拓撲】相當於（在不影響問題結果的前提下）忽略其它，只考慮「對外介面」的形式。

其實大多數人都用過拓撲思維，只不過你在用的時候不知道這是拓撲而已。

比如：

其實就是拓撲最基本的應用。

回看這和【哥尼斯堡七橋問題】的【化簡抽象過程】有什麼區別？

所以，解過高中電路題的你，其實可以在簡歷里這麼寫：

我在17歲的時候曾用拓撲理論深入地研究了電氣領域基層常遇到的問題。

奉勸各位看官和大部分答主（謝謝 @春雨提醒）
少上知乎，多看書。

拓撲，Toople，顧名思義，是一個很高深的自然科學分支

順便，我們ACM下賽季的隊名ToopleSim（拓撲模擬）

感覺大部分答案亂七八糟的。主要是拓撲這詞太寬泛了，前面的答案很多都隨便提一個方面然後發散些不相關的內容。

拓撲有點集拓撲，幾何拓撲，代數拓撲等等。一切的連續問題，真找不到比拓撲更基礎的了。既然有離散數學，我也不知道為什麼不把拓撲叫做連續數學，更容易理解對吧。

點集拓撲沒什麼用，太抽象，除了數學系沒什麼人關心，也不好解釋。總之就是研究基本定義，一切連續空間與連續映射的研究都是建立在點集拓撲研究的概念上的。

前面那些答案說的些甜甜圈和杯子什麼的屬於幾何拓撲。這是拓撲學最具象的部分，也是介紹拓撲時提的最多的。幾何拓撲很多成果簡單的幼兒園的孩子都能理解。但同時，這也是離現代數學最遙遠的一個分支，研究方法與其他方向有很大出入。相對的，其他分支你不在數學系花一年重塑三觀，幾乎無法理解

在數學系中，說拓撲，通常我們指的是代數拓撲。現代數學，代數完爆幾何，所以很多學校乾脆無視了幾何拓撲，需要的時候專門提幾何，否則默認是代數。代數拓撲考慮的是homeomorphism, 拓撲空間之間的映射關係。同時很多研究也是幾何拓撲與現代代數間的橋樑。這比點集拓撲更實用，比微分拓撲更普適一些。對數學系的學生而言是比較好的入門課程。

很簡單，在拓撲學眼裡，你和一個電蚊拍是一樣的，拓撲學就是研究東西有幾個洞的學問(逃

拓撲就是揉橡皮泥，研究被各種揉過的各種橡皮泥，以及研究怎麼揉橡皮泥。

來自喜馬拉雅音頻節目:卓老闆聊科技

建築設計中的拓撲學
拓撲學研究的是抽象代數空間的結構問題，而建築學則要具體得多，您應該是學建築或和建築有關的學科吧，像這樣建築學一類學科，通常會給出很多具體的知識與規律，而拓撲學則是研究數學規律之上的再抽象空間結構，他們的聯繫會有很多，當時並不是表面的、具體的。
學習好這樣的拓撲學，對於學習具體學科的理論深度、知識結構的框架構造的把握、與對於您所學知識本質的認識升華比較有幫助，在看同一個問題時候，你的見解就可以站在一個更加新的高度上；而掌握了像建築學、幾何學這一類的具體學科的內容，則可以有助於像拓撲學這樣抽象的理論知識，在學習過程中建立具體的現實模型，可以更好的理解學科中的抽象概念。就像我們在學習最初的『數』的概念時，都是現實的一隻綿羊兩隻綿羊的形象開始建立起來的。
就像我們所知道的，數學的延伸總是從具體的，已知的問題里，再衍生、抽象再抽象推廣的過程。

在拓撲學教授眼中，前半段和後半段其實是一樣的。