對於Taylor 展開的感性理解？

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Taylor 展開實際上是嘗試用多項式來逼近一個函數，證明神馬的該證的都證了，但是回頭再看這個公式總覺得為什麼這麼厲害，難道是只要知道函數上面一個點 x0 點的值及其各階導數就可以近乎完整的得出整個函數的全部？這個我要如何感性的理解呢？求大神們指導

不是得到整個函數的全部，而是得到函數一個鄰域內的信息。而且taylor展開包含的階越高，在相同的精度限制下，這個鄰域也會越大。
之所以對於某些函數，知道其在某一點的全部taylor項，便可逼近該函數在整個定義域上的值。是這個函數本身的性質較好。一個例子是多項式函數（其多項式的表達本身就是有限項的）。還有餘弦函數（一個餘弦函數可由三個參數完全確定）。
之所以可以用一個點附近的信息來將某些函數重構（全息）。是因為這些函數處於一種極強的約束下。通常是無窮階光滑（但不是充分條件）。一些無法滿足這些條件的函數（如|x|），就無法用tayler展開來重構。

在複分析領域有更為極端的定理：如果一個函數在複平面的一個開區域處處一階復可微（全純），或在一個開區域內處處一階實可微，並滿足cauchy-riemann方程。那麼只需要確定該函數在該區域的邊界上的值，便可將該區域內的全部函數值確定（解cauchy-riemann方程，或使用cauchy積分公式）。

想像一個函數，你只能觀測其中很小一段的圖像，現在需要從這一小段預測其他點的函數值

隨便找了一張圖，假設泰勒原點在x=0，即你只能觀測x=0附近很小一段的函數圖像

這時你可能會想，切線在這段符合得挺好，就用它估計吧，這條線的斜率就是f"(0)

結果和實際相去甚遠

你可能會很奇怪，為什麼看起來這麼接近，結果還差這麼大，就使勁盯著這段函數看啊看

盯了半天，經過了n次放大，你終於發現曲線的左右比切線都要高一些，像是一條拋物線。於是你在切線的基礎上加了一個拋物線因子，對應的二次斜率就是f""(0)/2

雖然還是很不準，還是比一開始的預測准了不少，於是你信心大增，很快發現了新的不同，利用三次曲線去預測

然後你會發現越來越准，直到預測了n次，你看得累了，預測結果和真實函數也差不多了，就把可能的最大偏差用一個余項表示，當然離原點越遠就越不準，這個余項也和x有關。泰勒公式可以說是用函數在某一點的導數逐次逼近函數的過程。

在第一遍學的時候可以認為就是lagrange中值定理的推廣，第二學期學到了線性代數、Fourier級數以後可以反回來思考函數空間上利用「基」來分解函數的原因，第三學期如果學復變的話，可以理解收斂域等等為什麼是那樣的。不要急著一下就建立一個特別全面、感性上立刻說服自己的認識，慢慢來吧。

你要的感性理解可以去《複分析》或者《複變函數》這種教科書里找找。

1.樓主顯然忽略了前提是函數f本身性質好，比如解析函數。否則你拿一個不可導函數試試。
2.若考察解析函數，f展開成冪級數必為泰勒級數。在截斷意義下出現泰勒多項式就自然了。

3.一般地，連續函數f可由多項式序列一致逼近。如果函數f性質夠好，多項式序列各項之間可以建立遞歸關係，那就是泰勒多項式。4.有個很白的old MM泰勒確實很性感，就是爭議頗多。

把函數 $f(x)$ 與數列 $a_n$ 類比
那麼導數 $frac{dy}{dx}$ 就類比於差分 $frac{Delta a_n}{Delta n}=a_{n+1}-a_n$
類似地，二階導數就類比於二階差分 $frac{Delta ^2 a_n}{Delta n^2}=a_{n+1}-2a_{n}+a_{n-1}$
那麼如果我們知道了 $left{ a_n ight}$ 中的任意一項以及任意階差分，我們確實可以得到 $left{ a_n ight}$ 中的所有項
通過類比，不知道題主能否感性地認識Taylor公式？

Taylor展開，由於余項的存在，只能刻畫函數的局部性質，如果展開項不夠，誤差是可能非常大的。相關的討論在數值分析的教材里非常充分。
如果展開到無窮項，成為Taylor級數，當然可以精確刻畫函數。但是這需要函數無窮次可微。
你必須意識到，在數學裡，無窮次可微是非常稀有非常優良的條件了。因此Taylor級數有非常好的性質也就不奇怪了。
因為無窮次可微是複分析里解析函數的等價定義之一，而無窮次可微的實函數顯然只是解析函數在實軸的投影。所以對Taylor級數的詳細研究都出現的複分析的文獻和教材里。
這也側面說明了為什麼複變函數論里分定理結論都那麼「簡潔優美」。因為條件太優越了啊！

想想物理裡面的應用唄，數學和物理的關係是最密切的啊，比如對於下面這個狹義相對論中的，有名的公式 $E_k=m_0c^2/sqrt{1-v^2/c^2}-m_0c^2$ ，
我們可以寫為 $E_k=m_0c^2{(1-v^2/c^2)}^{-1/2}-m_0c^2=m_0c^2[{(1-v^2/c^2)}^{-1/2}-1]$
如果 $vll c$ ，利用泰勒展開我們有
$E_k=[(1+1/2(v^2/c^2)+...-1]approx frac{1}{2}mv^2$ （一階近似）
這也就是說，在低速情況,相對論動能近似為經典動能。
補充一點，最直觀的來說，泰勒公式反映的是函數在某一點處的近似情況，比如上面一個例子，我們其實是在原點附近做的泰勒展開的（假設 $vll c$ 情況下做出來的）

比如上圖，原點附近各階泰勒展開可以很好的逼近 $y=e^x$ ,但是再遠一點就不可以了。
再來一張很有意思的圖（圖片來自https://www.assignmentexpert.com/blog/what-is-taylor-series/）

以上。

Analytic function才行的啊親～像是e^(-1/x^2)這樣的function （定義在0的時候是0）就不行啦

站的越高，看的越遠。
對高階導數知道的越清楚，泰勒多項式的逼近範圍也會大一些。用sin x的泰勒展開感覺很明顯，次數越高，擬合的區間越大。就很有一種能力越大，能管的範圍越寬的感覺。

當然這是非常感性的，畢竟泰勒展開有自己的收斂區間，次數再高也出不去。

首先謝邀，
不太清楚題主所說的「感性」是什麼意思，
我來回答一下題主的問題吧，為什麼對某些函數而言，僅僅知道某點的「所有信息」，就可以得出整個函數。嚴格的表述就不細講了，這裡僅僅做一個灰常灰常粗淺的介紹。
（這或許就是感性吧(=^???^=)）

1，考慮一個無窮維矢量空間，其中的元素（矢量）是一元函數。
2，選定一組基，例如：x^0，x^1，x^2，x^3，x^4……
3，那麼我們只要知道一個矢量在所選基底下的分量就可以確定這個矢量（函數）。
4，分量不就是一點的各階導數嘛⊙_⊙
5，換一點展開，可以理解為「基底改變了」，換一組基底來表出同一個矢量。

怎麼樣，很性感吧(^(エ)^)

(圖文無關)

如果你學過線性代數的話，你可以把所有（解析）函數看成一個無窮維的線性空間， $f(x)$ 就是一個其中的一個向量。再把形如 $1,x,x^2,x^3, ...$ 的東西看做一組基，任意一個函數的Taylor展開 $f(x) = a_0 + a_1x+a_2x^3+...$ 其實就是向量 $f(x)$ 在這組基下的表示方式。
其實如果你還學了傅里葉級數（這個問題對應的是冪級數），那麼會發現傅里葉級數的好處在於組成它的基是滿足正交性的，比如 $int_{0}^{2pi} sin(ax)sin(bx)dx = 0, a e b$

建議重新看看高數。

在一點展開，只能得到這一點及其附近的信息。請注意，展開有區間的。

導數的階數越高，泰勒展開作用在 x0點處的鄰域範圍越大

怎樣更好的理解，並且記憶泰勒展開式？ - 知乎這個裡面的高票答案可以看看

正如這個世界能量是守衡的

信息也一定是守衡的啊！

大概理解答主的意思，答主說，「只要」，知道了一個點X0的值和該點各階導數值，就能近似還原出原函數的形態！一看，哇，好不科學，依靠一個點的信息就能還原出一個域？？？？？？

有道理！看似......

其實，答主萬不應該用「只要」來陳述這個事實。因為，這一點也不「只要」（如果只要是一個形容詞）各階導數值的信息量一點也不「只要」。

各階導數難道好求嗎？導數是什麼，你看定義，導數是領域的概念，是該點兩邊的函數值差比自變數差的極限，不止要看點，還要看點的兩邊。所以，你求得了導數，就意味著你偷窺了那個點的領域上的信息

這還不要緊，為了無限逼近原函數形態，你還要求任意階，甚至無限階的導數

哇，其實蠻貪心的不是嗎？

所以憑藉一個點和該點的各階導數值可以近似出原函數一點也不奇怪啊

因為求導階數越高，你從領域上偷的信息就越多

如果要糾結泰勒展開的證明，那你看泰勒展開的充要條件——函數某鄰域內任意階可導且泰勒公式余項趨於零

所以證明一些簡單的展開，就去直接暴力證明泰勒公式的余項趨於0就好了

另外若要看泰勒公式的證明，那柯西中值定理幾下就證出來了

上述若有不嚴謹，要請大神路過包容指正~~

看成了對taylor swift的性感的理解

可以近似的認為是拉格朗日中值定理的推廣。比如一階泰勒展開恰好就是拉格朗日定理的形式。只不過函數的性質比較好，可以進一步的"使用"中值定理，於是出現了各階導數。本來拉格朗日定理是個【微分】中值定理，所以考慮的是領域內函數的性質，並不是全局函數的性質。從一點就可以看到，每取一個x，對應余項中的一個ξ值，而ξ∈(x0，x)——是一個局部概念

我覺得，一個點的值及其各階導數就像是無窮多的「限制條件」。泰勒公式告訴了我們一個如何用這些條件，把它從茫茫多的函數中找出來的方法。
條件越多，越準確。

沒展開前：

展開後：

應該是這樣吧...

夠性感了吧~~~

昂，是感性啊...

哈哈哈...

我知道

但是我就是要理解成性感

狗-sin狗=1/6狗3

Taylor很感性，swift後很性感。