數學到底是什麼？學數學到底學的是什麼，是計算還是數字？
數學
這個問題對準備邁入數學大門的萌新的確有思考的意義。
每一個向我表示想讀數學專業的孩子，我都會問他，你真正知道數學是什麼嗎？
大學以前的數學課本，完全無法體現數學的是什麼，更好像是數學的使用指南。
很難用語言表達數學到底是什麼，柯朗寫了一本書都還沒說清楚。我給這些年輕人的建議是去讀數學史，特別是是近現代的。數學的發展會越來越顛覆三觀，比如說我經常舉的例子是幾何發展至今已經和圖無關了(當然還剩交換圖)。而且現在也很難展望未來會不會出現更神奇的東西了。現在數學已經發展的非常龐大，不可能有人再像希爾波特一百多年前一樣跳出來指點江山，給大家提點問題指明數學的方向，論誰跳出來都有人不服，單個領域倒還有可能。
數學家們在做的事情，主要就是造裝備和打怪。造裝備也是為了打怪，打了的怪又可以做成裝備。一般數學家兩件事都會做，當然也有極端，比如說格羅滕迪克和埃爾多什。
最開始也就要學習已經有了的裝備怎麼用的，已經這些是東西原理是什麼的，然後試著能不能打點訓練用怪或者小怪，再試著能不能自己改進一下武器。這個時候差不多就可以出新手村了。
之後每個人都套路不一樣，有的人就會苦練已有的武器，甚至創找出新玩法;有的人就閉門造車，自己弄個大殺器。或許有一天數學女神降臨，幫你加了個buff或者給了一件神器，這個時候就可以大個打怪搞個大新聞了。
初等方法像是赤手空拳，分析的方法像熱兵器，幾何的方法像是魔法但是保持某些東西不變，而代數方法便是精巧有針對性又極具技巧的劍技刀法了。熱兵器簡單粗暴，特別是爆炸性武器，僅僅是來幾發都很爽。解析數論便是這種情況，一言不合就給你算個積分，效果爆炸炫酷。然而攻擊目標配備特殊裝甲時，RPG也只能當煙花放了。所以感覺這幾年解析數論也快發展不動了。
再比如外爾認為代數本質做的事情是「坐標化」，這也是為什麼表示論在代數中舉足輕重。這類似於結界魔法，你把一個怪弄到一個合適的結界裡面，弱點直接就暴露出來了，可以直接上去砍了。
(滿滿的輕小說既視感……)
諸如此類，數學到底是什麼還是需要在長期學習和思考自己慢慢體會。
我想從「我眼中的數學的意義」出發，結合個人體會談談感想，希望能給樓主解惑。我選的角度是「數學心智探奇」。名字非真，還請認出我的朋友們口出保密。本文多圖，慎入之。
為了明確起見，本文主要針對大一、大二學弟學妹們所寫。高中生也可以參觀，但不以此群體為讀者設定。
在天朝，數學的意義是什麼往往被簡化成數學有什麼用，甚至簡化為能賺錢嗎？這個問題沒有答案，而且有很多人厭惡數學物質化的說法。其實，不用我舉例子，很容易感受到數學的應用，這從各自然學科中出現大量數學公式這一點可以看出。
但是，這些例子可能使人產生一種錯覺：數學=計算。感覺框架是給定的，然後機械套用就行了，變成一體力活兒。這其實是狹隘的看法，把數學局限化。數學中也有很多不是大量繁瑣計算的例子，群論中就有不少。
根據，我的觀察關於數學的意義有三類觀點具有代表性：
1、數學是一門工具；
2、數學是理解世界的一種方式；
3、數學是一門藝術，為了人類心智的榮耀。
這裡不去探討三類觀點的高低，而只談談我贊同的觀點2. 這裡的世界既包括物質世界，也包括精神世界。還是讓我舉幾個親身例子吧：
先談談物質世界。我們有這種感覺，從高手（不一定是數學高手）那裡零散地學個一招半式往往效果不佳，要學就得系統學習。但有些人系統學習之後，效果還是不佳，於是感嘆天賦差距。對這些人追蹤分析發現，他們往往把這些系統方法進行局部修改，美其名曰符合自己實際情況。很多人覺得很正常，但其實沒細想。講個笑話：我覺得歐氏幾何挺好的，但感覺平行公理不合理，得改一改，於是我認為我系統掌握了歐氏幾何。了解非歐幾何的人很容易看出笑點。推而廣之，這也是為什麼外國很多東西經過天朝符合國情的本土化改造之後，往往南轅北轍，事與願違之所在。
上面的例子有點抽象，再說一個具體的例子。請看下圖：
試猜測：圖中那一個女孩是著名明星佟麗婭小時候？
答案是右四。難度並不是特別大，關鍵是你的思考方式。我通過三個判斷：1長相好；2男孩子氣質（想想丫爺綽號）；3尖下巴。我是佟麗婭的粉絲，所以知道佟麗婭有丫爺的綽號。
上述三判法的理論基礎來自概率論：
推而廣之，在現實生活中做一個決策，只要能找出三個相互獨立的理由，哪怕每個理由的把握只有70%，三判法的準確性也有97.3%！控制論中，並行設計也是基於上述數學理論。
我想，這兩個例子算是數學的活學活用吧。
再說一個工科大一水平的例子，一道計算題：
初看上面兩種解法似乎殺雞用牛刀，但站在高層次境界看低層次境界，往往別有洞天，不可言傳。
有人說，這樣的例子沒有逃脫考試題的範疇，顯得很low.其實，還沒聽說過那個數學大師不會做題的，厄爾米特和伽羅瓦已經被闢謠了。做題是基礎，但只做小題，難以提升境界，也會產生厭噁心理。也得做點大問題，對於本科生來講，先從歷史名題入手比較適合。很多歷史名題已經在技術上被後人簡化了，可以作為本科閱讀材料，比如素數定理：
以上為典型的歐拉style，看到這裡，如果作為一個大一或大二學生還沒有幾分激動的話，也許真的不適合搞基礎數學研究了，數學也是講究緣分的。至少當初親手推導時很激動，儘管上述方法被數學系稱不嚴密，我卻對形式推導情有獨鍾。其實，很多big發現不一定使用特別高深的數學知識，很多時候在於你思考的方式。
寫到這裡，估計能看懂的人不多了，所以沒必要再往深了寫了，點到為止。如果讀者覺得這篇文章還是太難，那不妨去讀一讀《數學它的內容、方法和意義》這本科普書，讀完至少能明白數學不僅僅是計算。此外，學數學不能當看客，推導再詳細的文章，如果你不親手推一推，你不會有太多收穫的。而如何運用你所學的數學知識去理解這個世界，更需要你用心思考，這方面沒有老師能幫你。但我相信，多一分思考，多一分收穫。就像那句調侃的話：再純粹抽象的數學也有被應用的一天（比如數論與密碼學）。
每當看到這種比較空泛的問題和下面的回答，我就會想到一段話。
「現在經常有來自中國大陸的學生，他們可以大談數學的哲學與意義，縱論數學分支間的關係和影響，恣意品評數學家們的成就高低，卻往往不能坐下來做一些基本的題目和紮實的計算。我舉辦大學生數學競賽就是希望改變這種狀況。」—丘成桐
言猶在耳，諸位共勉。謝邀。數學的內涵一直在擴展。現代數學包含對代數結構、幾何對象和函數與（微分方程）等等的研究，也包含對數字的研究（比如數論）。
這個問題太大，可能對每一個研究數學、甚至與數學相關的人，都是需要一生來追尋答案，我不能給出答案，這裡我想摘錄一位大師的話，以下均出自張景中院士《數學與哲學》，與諸君分享。
《數學與哲學》第11章 數學與哲學隨想（摘錄均手打，轉載請說明）
1、數學的領域在擴大；哲學的地盤在縮小。哲學曾經把整個宇宙作為自己的研究對象。那時它是保羅萬物的，數學只不過是算數和幾何而已。
17世紀，自然科學的大發展使哲學退出了一些列研究領域，哲學的中心問題從「世界是什麼樣的」變成「人是怎麼認識世界」這個時候，數學擴大了自己的領域，它開始研究運動與變化。
今天，數學在向一切學科滲透，他的研究對象是一切抽象結構——所有可能得關係與形式。
哲學，在某種意義上是望遠鏡。當旅行者到達一個地方是，他不在用望遠鏡觀察這個地方了，而是把它用在觀察前方。
數學則相反，它是最容易進入成熟的科學，獲得了足夠豐富實施的科學，能夠提出規律性的假設的科學。它好像是顯微鏡，只有把對象拿到手中，設置切成薄片，經過處理，才能用顯微鏡觀察它。
模糊的哲學與精確的數學——人類的望遠鏡與顯微鏡。
2、數學始終在影響著哲學。
為什麼哲學家如此重視數學呢？
當哲學家要說明世界上的一切是，他看到，萬物都是具有一定的量，呈現出具體的形，數學的對象寓於萬物之中。
當哲學家談論怎樣認識真理時，他不能不注意到，數學真是是那麼清晰而無可懷疑，那樣必然而普遍。
當哲學家談論抽象的事物是否存在時，數學提供了最抽象而又最具體的東西，數、形、關係、結構。他們有著似乎是不依賴與人的主觀意志的性質。
數學也受哲學的影響，但是不明顯。
及時數學家本身也是哲學家，他的數學活動並不一定要打上哲學觀點的烙印，他的哲學觀點往往被後人否定，而數學成果卻與世長存。
數學太具體了，太明確了。錯誤的東西，易於被發現被清除。
3、哲學對具體的東西作抽象的研究。數學對抽象的東西作具體的研究。
哲學研究世界上一切事物共同的普遍規律，研究人如何認識世界，研究概念的意義。這些被研究的東西是具體的，一般人都可以想先個，可以把握。
數學研究的東西是人難以想像，高維空間、非歐幾何、超限數、豪斯道夫怪球，達到高度的抽象。不是內行，很難理解。
哲學家的有些命題，只可意會，不可言傳。
數學研究的對象雖然抽象，但是可以作具體的而研究，而且只能做具體研究。數學中的許多概念，可以言傳而不可以意會。用符號、語言，一步一步可以講得很嚴格，很具體，至於它究竟是什麼，由於抽象的次數太多，頭腦中已難以想像。可是推理、論證，卻絕不含糊。
4、涉及到具體問題時，語言必須精確嚴格。數學家的看家本領，就是把概念弄清楚。這本領是經過兩千多年才練出來的。
（夫子注：這裡插入一段，張院士對「雞生蛋，還是蛋生雞？」問題的回答）
（什麼是雞蛋呢？雞蛋的概念不應當與雞無關，否則問題也無意義了。根據常識，我們可以提供兩個可能定義：
1、雞生的蛋才叫雞蛋；2、能孵出雞的蛋和雞生的蛋都叫雞蛋。
如果選擇定義1，自然是先有雞，第一隻雞是從某種蛋里出來的，而這種蛋不是雞生的，按定義，不叫雞蛋。如果選擇定義2，一定是先有蛋。孵出了第一隻雞的蛋，按定義是雞蛋，可它並不是雞生的。
只要我們把定義選擇好，問題就迎刃而解。）
（夫子註：似乎這是一個生物學的問題~~）
5、客觀事物作用於人的感官，使人產生相應的概念。我們看見月亮這個東西，才有了月亮這個概念。這表明先有事物後有概念。
但是，有些事物是人發明出來的，人必須現在頭腦中形成一定得概念，作為穿鑿具體事物的依據。因此，對於認為的事務，則可以先有概念，後有事物。
提到數學對象，產生了一個難題：點、線、面、數這些概念與他們所代表的事物，是哪個在前哪個在後呢？是先有了點、線、面、數這些事物，反映在人們頭腦中成為概念，還是人們在頭腦中形成概念之後，把他們穿鑿出來用以描述客觀世界呢？
（夫子注：似乎是一個數學上的「雞蛋」問題）
一個真正奇怪的故事是虛數的產生。-1的平方根，是數學運算的結果。在幾百年的漫長時期中，最偉大的數學家也認為它是虛幻，後來才發現它並不虛。它反映了客觀世界的某些性質與規律，但它一開始並不是客觀事物在人頭腦中的反映，是人通過運算把它創造出來的。
人創造了虛數，課時虛數服從的數學規律不以人的意志為轉移，因此，數學家覺得，不是人創造了虛數，是人發現了虛數。
同樣的，數學家認為哈密爾頓發現了四元數，而不是發明了四元數。
可不可以說，數學對象是和概念同時產生的呢?這時，事物不過是概念，概念也就是事物。
6、懷疑主義哲學懷疑數學真理的主要論據就是認為這種「無窮回歸」（夫子註：前面有一段關於無窮回歸的哲學論述，既最初概念的爭論，類似於物理中最小粒子的爭論，總是沒有概念可以作為最原始概念，總是需要新的概念描述最原始概念。）不可避免，但是數學已跳出這個無窮回歸的怪圈，那就是結構主義數學。數學說：我們研究某種結構，這種結構如果具有某種性質，則必具有另外的某種性質。
這時數學的特點，它不是肯定「是什麼」的問題，它只說，如果是什麼，那麼就如何！
7、數學從客觀世界汲取營養，形成自己的概念。然而概念一旦形成，就有了自己的性質，數學家奈何它不得。
數學世界是人創造的，它確實客觀的。它的內在性質與規律不以人的主觀意志為轉移。
8、數學特別關心變化中不變的東西。
平移運動下，與評議方向一直的直線是不變的。旋轉運動下，轉動中心是不變的。變化中不變的東西，往往是最重要的東西，刻畫了變化的特性的東西。
宇宙中的一切在運動與變化，但是我們相信變化與運動遵循的基本規律是不變的。如果基本規律也在變，比如說，某一天萬有引力突然消失了，或光速變得更快，或能量守恆定律不成立了，人類會覺得世界是不可想像的。
我們日常感到的規律，如冬去春來，日出日落，總有一天是要變的。然而這變化的背後，仍有不變的東西在支配，這應當是數學與哲學的基本信念。
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夫子註：摘錄了一部分我認為與題目比較相關的，但個人水平有限，難免摘錄的內容不能與張景中院士的想法完全吻合，建議還是去看原著，多謝大家。
謝邀。數學是數學。
計算和數字都不是。
數學是人類超越感官，認識世界的工具。它可以讓人類"感受到"感官無法感官的東西
除了自然數，數學都是人類的創造。
將語言中所有引起歧義和東西刪掉，就是數學了。
學數學和數學是什麼關係不大。
如果你真的喜歡數學，並且接受了專業的數學教育，比如本科4年。
對於數學是什麼，你會有自己的理解。
你並不需要知道數學是什麼，就可以開始學數學了。
歸根到底，數學是什麼，這個問題已經超越了數學本身
計算和數字只是數學很小很小的一部分
高等數學和現代數學是兩個概念高等數學一般特指包括微積分在內的數學分析，可以理解成數學分析的簡化版，是一門具體的課程
現代數學是指1940年至今的數學，包括的範圍很廣，具體的內容請自行搜索
數學是工具。
學數學是學習使用工具。
研究數學是了解工具原理構造。
探索數學是發明或者發現新工具。
第一個問題沒法準確地回答。不同的人有不同的觀點。
- 維基上說數學是研究數量，結構，空間和變化。數學確實一直和計算相關，而另外三個方面也有對應：結構(代數)，空間(幾何)，變化(微積分)。
- William Stein說數學就是將問題歸結為線性代數的藝術。這種說法也不無道理，現代數學動不動就要定義加減乘除運算，把未知問題用已知手段來解決，是最基本的思想。
- John Conway說數學就是一堆例子，定理是用來表述這些例子，而證明定理的目的在於對這些例子進行分類和澄清。換個詞的話，數學就是研究所有我們能想到的對象，及對象之間的關係。基於現實世界，數學家們構造了一個更宏大的數學世界。
第二個問題，考慮幾個典型的例子就行了。
微積分：光滑幾何對象的性質，最重要的計算工具，和思想來源。衍生出微分方程這個很大的應用學科，以及無窮概念的嚴格定義，及標準的數學分析語言。
解方程：線性方程衍生出線性代數，代數方程衍生出抽象代數，從而成為現代數學的標準語言之一。方程和幾何結合又有了前沿的代數幾何。
幾何：歐氏幾何的公理化，推動數學體系的公理化，並直接導致非歐幾何的產生。結合微積分的思想，又產生了討論內蘊幾何的黎曼幾何，於是有了相對論。
謝邀。
這個問題太大了，我回答不了，只能說幾句有的沒的。
數學是一個自成體系的學科，同物理化學不同點在於，很多事物我沒有辦法告訴你觀察它的存在，你得先接受基礎概念的鋪墊，然後在此基礎上才可以進行學習，拓展和創造。例如歐式空間，度量空間和抽象空間，我們只能實際看到三維的空間；維度的增加我們很難想像出來，距離拓展成度量和範數時也難以從直觀的幾何上來理解。這時候需要我們有更抽象化的思維，我們默認這些定義都是準確無誤的，在此基礎上在於理解更深層次的理論。當整個理論框架建立之後，就可以尋求應用方面的適應性。很多時候，一些實際工程或經濟金融問題過於複雜，無法用簡單的模型進行刻畫，則利用更為抽象的數學理論來提供基礎支持，以便進行更深層次的刻畫。
數學系學生學的數學:前人定好了遊戲規則，先學遊戲規則，然後試著玩遊戲，然後試著改良或者創新這些遊戲。
其他系學生學的數學:算。
0629上午更新
說一些題外話，選擇基礎數學和應用數學的建議。
儘管我認為中國最缺基礎數學的人才，但是當有聰明的學生和他們的家長問我的時候，我絕大多數情況下還是會建議他們選應用。
基礎數學的投入產出比太低了，基本上把一百個絕頂聰明的大學新生拉到純研究這條路上去，只有幾個甚至一個能做出Fields或者Wolf級別的結果，而其餘人基本是一輩子默默無聞，最多衣食無憂那種，更何況沒有多少人會心無旁騖。當然有的時候全世界幾年沒有這樣的成果，那就是老美想給誰發獎就給誰了。
我也思考過為什麼中國本土出不了Fields，當然評獎是一個小小的原因，更重要的原因是中國沒有多少人願意心無旁騖地做這件事，畢竟人還是要面對現實的。
有興趣的朋友們可以看一下俄羅斯的大數學家是怎樣煉成的這篇文章，那裡面也講到了需要投入大量年輕的數學天才，並且犧牲掉他們中的一部分，才能得到幾個能力和運氣極佳，做出轟動全球的成果的數學家。
我認為中國最有機會做成大批量生產基礎數學人才是在90年代初。那時適逢改革開放，而且中國的數學競賽剛剛在國際上佔有一席之地，競賽的優勝者大抵是75年左右出生，家中還有兄弟姐妹，他們賭得起。政府若能給他們出國留學的學費和一些生活費，並且給他們洗腦，讓他們只做研究，相信最近一兩次的Fields就會有土生土長的中國人的名字。可惜政府從來不會預先投資，都是出了成績之後才給獎勵，大概直到98年以後才有了出國風，感覺已經晚了不少。且不說有些孩子已經是獨生子女，家裡不敢賭，就是01年北京申奧成功和之後幾年的房價上漲就會讓天才們不得不面對現實。畢竟學數學的都會考慮期望值，當搞應用的期望值高到離譜的時候，沒有什麼人會再堅持清貧。
所以，對於選擇基礎還是應用頭疼的學生，我還是建議，除非你家裡是富豪家庭，並且20年內不指望你來養活，你又很有理想，否則不要做基礎。如果真要做基礎，也要到老美或者西歐去。
最後說一下Yau的事情，他關於Poincare猜想的笑話和舉辦丘中學生數學競賽搞出的飛機我就不細說了，怕某些ncf說我抓住人一點失誤不放。如果有人覺得Yau在這兩件事情上沒做錯，或者不知道這兩件事是什麼，歡迎評論。另外他在浙大那攤子事兒也不提了，沒意思。我只說他在清華做出的改革:找了一幫海龜，排盡量少的課，其餘時間全部用來做研究。甚至前幾年清華數學系進人，Yau有一票贊成或否決權。儘管他給這幫海龜複製了老美的教授的科研環境，但永遠無法複製老美的社會制度和社會環境。事實上，他手底下不止一個人用空餘的大量時間做兼職掙錢，年薪二十萬外快三十萬的比比皆是。不能怪人家，北京房價就這熊樣，環境決定人的選擇。與此同時，真正做的好的人大都在老美不回來，他們才是更接近頂級的水準。所以Yau的這些做法，除了讓他的賬戶上數字增加之外，並沒有太多實際意義。中國不缺一般的人才，中國缺的是頂級的數學家，頂級的結論，這一點上確實沒什麼作為。我想我一個30來歲的人能想明白的事情，某些人不至於想不明白。
與其扯東扯西，不如認真回答問題。作為一名工科生，數學對我來說純粹是一種工具，就跟吃飯要用筷子一樣。
學了數學，你會發現這不再是一個簡單的問題
學了數學，你會獲得力量
「度量和順序」——笛卡爾
是一種解讀宇宙運行的的規則語言
數學是智商不夠的物種輔助思考的工具
而用好這個工具的人，則是傻瓜（人類）中的佼佼者
數學是數學，
計算（數學）是計算（數學）。
做計算數學、應用數學的一般都說「我不是做數學的」，或者「他們做數學的得到了%￥#%@結論」
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