函數連續和一致連續有什麼區別？開區間上的連續函數不一定是一致連續的，為什麼？

12-27

看定義感覺太抽象了，弄不明白一致連續到底是在描述什麼，能不能給幾個具體的例子。
更讓我困惑的是，閉區間上的連續函數也是一致連續的；開區間上的連續函數不一定是一致連續的。想不通問題出在哪裡

函數一致連續與函數連續有什麼區別，到底一致連續的「一致」是什麼意思？

一切從什麼是連續說起。

1 連續

1.1 某點連續

$c$ 點連續用極限表達式可以表示為： $displaystyle lim _{x o c}f(x)=f(c)$ ，我們移一下項，變成 $displaystyle lim _{x o c}(f(x)-f(c))=0$ ，容易看出其幾何意義：

可以拖動玩玩：

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1.2 函數連續

函數內每個點都連續，則此函數連續。

它的畫風是這樣的：

2 一致連續

設函數 $f(x)$ 在區間 $I$ 上有定義， $forall epsilon >0$ ， $exists delta >0$ ,使得對於區間 $I$ 上的任意兩點 $x_1,x_2$ ,當 $|x_1-x_2|<delta$ 時,有 $|f(x_1)-f(x_2)|<epsilon$ 。那麼稱函數 $f(x)$ 在區間 $I$ 上一致連續
高等數學同濟第七版

2.1 幾何意義

這個複雜一點。我們一步步來構建：

好，上面都相對好理解，其實這就是連續，此處解釋了，為什麼一致連續一定也是連續的，為什麼一致連續裡面有「連續」這個詞。

好了，下面就是一致連續的關鍵了，一致連續對比連續實際上多了一個條件：

這個是什麼意思呢：

我們找一個比較好的展現方式來幫助你想像：

怎麼辦？我把 $delta$ 這條船縮小一點，再試試：

你可以劃著這條船自己試試，不合適就調整下船的大小：

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那麼一致連續到底是什麼呢？就是如果你能夠找到一條 $delta$ 小船（真的會很小），划過整個區間，對應的函數曲線都不會刺破你的矩形，那麼就一致連續了。這條小船也就是所謂的「一致」！

馬同學就是這麼苦口婆心，我還要繼續啰嗦一下，注意 $forall epsilon >0$ 。這個意思是對於確定的 $epsilon$ ，我們要找到那艘船，並且對於每一個 $epsilon$ 我們都要找到那艘船，不過每艘船是可以不一樣的：

2.2 代數意義

幾何只能幫助理解，要入微還得靠代數。

首先，我要把一致連續變成極限形式，這樣方便和連續進行比較。

一致連續的極限形式是： $displaystyle lim _{x_1 o x_2}(f(x_1)-f(x_2))=0$ 。

和連續來比較一下：

2.3 為什麼會不一致連續

就是說為什麼某些連續函數會找不到一條合適的 $delta$ 小船，「安全」的（指矩形不會被刺穿）划過整個開區間（在閉區間，一致連續和連續是等價的）呢？比如 $f(x)=frac{1}{x}$ 。

$f(x)=frac{1}{x}$ ，從代數上來看：

上面這種形式我不知道你是否好理解，要真正理解可能需要讀下我之前寫過的兩篇文章：無窮小量是否為0 ，以及請用通俗的語言解釋下海涅定理。看不明白也沒有關係，幫助思考嘛。

另外再給一個書上的標準答案：

兩個解答的關鍵都是，當 $f(x_1)$ 與 $f(x_2)$ 皆為變數時。 $n$ 被約掉了。

$f(x)=frac{1}{x}$ ，從幾何上來說（我之前舉的例子其實就是 $f(x)=frac{1}{x}$ ）：

3 總結

我欲乘舟歸去，奈何不一致連續，卒。

一致連續描述的是所考察函數在其定義域上「均勻」的程度，而這個均勻是全局意義的，而不是局部，這是它與單點連續最大的區別。

上面這句話用數學語言來解釋就需要回到定義中，一致連續的定義為：

對 $forall varepsilon >0,exists delta>0$ ,s.t $forall x,y,|x-y|<delta$ ，有 $|f(x)-f(y)|<varepsilon$ 成立。

對比單點連續性的定義我們可以看到區別就在這個 $delta$ 上，對於單點連續來說，我們需要對每一個點x來單獨討論 $delta$ ,即 $delta=delta(x,varepsilon )$ 同時依賴於所討論的點x及我們所設定的 $varepsilon$ 。而在上面列出的一致連續的定義中，我們的 $delta$ 被加強了，這個 $delta=delta(varepsilon )$ 只依賴於 $varepsilon$ ，獨立於點x，意味著它是全局的，可以用來刻劃整個區域上的振蕩程度。

至於第一條閉區間上的連續函數也是一致連續的，這一等價性的的本質原因在於閉區間是一個緊集，緊集就意味著任意開覆蓋都有有限子覆蓋，這個有限非常重要。

對於一致連續的問題，這就意味著我們可以首先對區間里的每一個點x_0，找出一個 $delta_0$ ,構成一個開區間 $U(x_0,delta_0)$ ,進而有一個該閉區間的開覆蓋 $cup_{x_0in D}U(x_0,delta_0)$ ，從這個開覆蓋中找出一個有限的子覆蓋，那麼我們就從無限個 $delta_0$ 的複雜情形簡化到了只有有限個 $delta_1...delta_n$ 的簡單情形，那麼我們只要取 $delta=min(delta_1,delta_2,...,delta_n)$ ，就得到了我們想要的一致全局的 $delta$ 。

而開區間上不一定有一致連續,最簡單的例子就是：
$f(x)=frac{1}{x},xin(0,1)$
如果一定要問原因的話，那就和閉區間的相反咯~~

其實這種東西當然是看定理證明最好，證明沒有錯誤結論一定沒有錯誤。

我只說一些幫助題主理解的方法，不太嚴格，如有錯誤歡迎討論。

只說完整區間上的情況，更容易為初學者理解。連續和一致連續的概念大致都可以理解為在x有微小的變動時y的變動也不大，但一致連續之所以更嚴格，是因為它要求所有的x在有微小變動時y的變動有個上界。從幾何上看，如果你把連續函數理解為一條不間斷的曲線，要判定一個連續函數是不是一致連續，就看能不能找出曲線「最陡」的一部分，這個「最陡」的一部分的δ和ε一定能適用於其他所有x，所謂最難搞定的地方都搞定了，其他的就不在話下，找出來了就是一致連續。來個例子，考慮一個函數曲線，x趨向於零時，y趨向於無窮，它是連續的但不是一致連續的，因為你發現這個曲線是越來越陡的，找不出最陡的地方來。我們老師教這個概念的時候，說想像一個以2δ和2ε為寬和長的筒子，如果能完整穿過曲線，就是一致連續，這個筒子最難通過的地方自然就是最陡的地方。

然後在想想開閉區間上連續函數的問題，開區間的端點之所以難纏，多是在靠近端點處曲線無限延伸或者無限振動，大量的點在某一點附近密集搞事沒個頭。但有了閉區間的端點，就有個衡量附近的點的方法，如果是無限延伸，區間端點像兩面牆，函數的線必須要連在上面，曲線就不可能越來越陡，如果是無限振動，因為把端點也納進考慮，加上連續的定義就能推出一致連續。

希望對題主有幫助。

經網友提醒，此說法太不嚴謹，僅供參考吧。以下是原答案。

給你一個具體而不嚴密的說法：
導數有界。

更具體而更不嚴密的說法：
圖象陡的程度要有限。

如果對這個問題很糾結，我們不妨從定義上考慮：
連續性的定義：對於任意的ε&>0，都存在δ&>0，使得當|x-x0|&<δ時，恆有|f(x)-f(x0)|&<ε，則稱f(x)在點x0連續。
一致連續性的定義：設f(x)定義在區間X上，若對任意的ε&>0，都存在[只與ε有關的]δ&>0，使得[對區間X上任意的兩點x1、x2]，只要|x1-x2|&<δ，就有|f(x1)-f(x2)|&<ε（用[]擴出的表示著重內容）
首先我們發現，連續性的定義最初是定義在某點上的，而後再推廣到區間的情況。而一致連續性是直接定義在某個區間X上的。再來看「只與ε有關的」，這說明對於同一套δ與ε，不管應用到哪兩個任意的函數值上都滿足相應條件，也就是說函數的每一點對於「連續」的要求（即δ與ε這兩個數）是一致的。而若函數僅在某區間內連續，則對於每個點，δ不僅與ε有關，一般而言還與那個點的坐標x有關，這就是「不一致」。
下面舉個例子。f(x)=1/x顯然在(0,1)上是連續的，但在(0,1)上並不一致連續。比如說，令ε=0.1，那麼對於任意的x1、x2，我們要使|x1-x2|&<δ時|f(x1)-f(x2)|&<ε。不妨設x2&>x1，則有
(x2-x1)/x1x2&<ε
得到
x2-x1&<εx1x2
我們發現，只要x1、x2很小，我們就無法找到一個只與ε有關的δ，使得x2-x1小於δ時恆有x2-x1&<εx1x2。注意這個「恆有」，它要求δ&<=εx1x2，但顯然εx1x2可以任意小，而δ對於給定的ε又是一個常數，這隻可能是δ=0，但顯然與條件不符。故f(x)=1/x並不一致連續。

一致連續是比連續強得多的條件。
我想以一道例題演示一下，一致連續這個條件究竟有多強。

已知：

對 $forall a>0$ ，都有 $lim_{n ightarrow infty }{f(na)=0}$ ( $n$ 為自然數，此處極限位數列極限),
且 $f$ 在 $[0, +infty )$ 上連續

求證： $lim_{x ightarrow +infty }{f(x)=0}$ ( $x$ 為實數，此處極限為實數極限)

這是實數上的數學分析題，但一般的方法證明不了。
我們先用普通的辦法試(zuo)證(si)一下：

對 $forall epsilon >0$ , 想找一個 $X>0$ , 使得 $forall x>X$ 都滿足 $left| f(x) ight| <epsilon$ .

由已知條件1. 我們試著取一個 $a_1>0$ ，則 $exists N_1$ , 使得 $forall n>N_1$ , 都滿足 $left| f(na_1) ight| <epsilon$ .
由阿基米德定律， $exists m_1$ , 使得 $m_1a_1>N_1$ .
也就是說：數列 $left{ s^{(1)} ight} = left{ m_1a_1, (m_1+1)a_1, (m_1+2)a_1, ... ight}$ 中任意成員 $t$ , 滿足：
1. $t >N_1$
2. $left| f(t) ight| <epsilon$

如果我們繼續取 $a_2, a_3, ...$ , 取到天荒地老，則有相應的 $N_2, N_3, ...$ 和 $left{ s^{(2)} ight} , left{ s^{(3)} ight} , ...$ , 滿足相應的條件。
記數列 $left{ s ight} :=igcup_{i=1}^{infty } left{ s^{(i)} ight}$ , 則 $left{ s ight}$ 中任意元素 $t$ , 滿足：
1. $t>sup_ileft{ N_i<br /> ight}$
2. $left| f(t) ight| <epsilon$

這樣一來，我們離結論還差兩個問題：

能否保證 $sup_ileft{ N_i ight} <+infty$ , 這樣我們就能取 $X=sup_ileft{ N_i ight}$
$left{ s ight}$ 能否填滿區間 $[X, +infty )$

但從表面上看：

不能。
不能。

證明到了一條死胡同，而且第2個條件連續性，完全派不上用處。

現在我們把第2個條件改成一致連續。
證明：
由一致連續性： $forall epsilon >0$ , $exists delta >0$ , 使得 $forall left| x_1-x_2 ight| <delta$ , 滿足 $left| f(x_1)-f(x_2) ight| <epsilon /2$ .
由條件1 ：對上述的 $delta$ , $exists m>0$ (只要讓 $mdelta >N(epsilon )$ ), 使得 $mdelta, (m+1)delta, (m+2)delta, ...$ 滿足 $left| f( .) ight| <epsilon /2$ .
也就是說，任意自然數 $i$ , $left| f((m+i)delta ) ight| <epsilon /2$
於是，取 $X=mdelta$ , 則任意 $x>X$ , 都有：

$exists i_0$ , 滿足 $left| (m+i_0)delta -x ight| <delta$ , 那麼就有 $left| f((m+i_0)delta )-f(x) ight| <epsilon /2$

2. $left| f((m+i_0)delta ) ight| <epsilon /2$

一致連續可以直接把一道S級難題變成了送分題...

總結：如果你有一張實數軸上的網，那麼連續的函數是水，再細的網眼也盛不了水；但一致連續的函數就是石頭堆，只要網眼足夠小，就能把函數值全部網住，一個不少。

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下面補充這道題在連續條件下的證法。

$forall epsilon >0$ , 記 $S_N=left{ a|forall n>N, left| f(na)<br /> ight| leq epsilon<br /> ight}$ , 則 $S_N$ 滿足：
1. $left( 0, +infty ight) subseteq igcup_{N=1}^{infty} S_N$ , 這是由條件1得到的。
2. $S_N$ 是閉集，這是由 $f$ 的連續性得到的。
由貝爾綱定理(BCT3)：如果一個完備度量空間是可數個閉集的並，那麼其中一個閉集必然包含一個內點。
由此，存在 $N_0$ 使得區間 $left( s, t ight) subseteq S_{N_0}$ .
幾乎證畢。

我覺得可以貼這篇文章……如果你是數學系的請當我沒說……
https://www.math.wisc.edu/~robbin/521dir/cont.pdf

閉區間上的連續函數有界。
但是開區間上的連續函數可以無界。
關於連續但不一致連續的例子，基本都是構造在開區間的邊界附近發散的函數。

直觀上去理解所謂一致連續的概念。連續大致上是想描述一個函數的光滑性，不會在某些點斷掉。至於一致連續，大致上是想描述一個函數的平滑性，不會在某些地方出現劇烈的抖動（或者發散）行為。

所以說性質最好的函數是常函數吖。。

我的理解是這樣，首先對於第一個問題，連續是要求在一個點從兩邊取極限得到的數值相同，從圖像上看就是不能有斷點。對於一致連續，首先函數必須是連續的，其次這是一個區間上的概念，不是對於一個點來說的，他要求在一定小的區間上，函數值的變化是可衡量的，不能是無限大。
對於第二個問題，在閉區間中，如果函數是連續的，函數值總會有一個最大值和最小值，那麼他在這個區間上就一定會滿足 "函數值變化是有限的" 這個條件，那麼這個函數在這個區間上就一定也一致連續。
而在開區間中，由於在區間一端無法直接取到，那麼函數值就存在變為無窮的可能性，最簡單的例子就是1/x在(0,＋∞)中，當x趨近於0時，函數值是無窮，並且上升速度非常快，以至於我們無法找到一個足夠小的ε使得函數在(0,ε]中的變化幅度是有限的。

請記住，少年，這種時候，你需要en.維基百科Uniform continuity

一致連續可以保證閉區間任意兩點的函數值差值都足夠小連續只能保證區間上任意小的鄰域內函數值很小所以如果沒有端點值的話不能說一致連續因為端點值取不到不能保證一致連續的條件。數學的奇妙之處在於微妙。牽一髮而動全身。（數學分析這本書很棒如果你不是數學專業建議你去看看）（最高票那個大觸已經講的足夠明白我的答案好像有點low...）

原因很簡單，你沒有拓撲的感覺.
定理：定義在緊緻度量空間的函數，連續和一致連續是等價的.

題主首先要知道緊集的概念，因為一致連續這個概念是用於描述緊集上的函數連續性的更強的結論的。
就是說，緊集上的連續函數必然一致連續，一致連續的函數是顯然連續的。R1中的閉區間是有界閉集，因此是緊集，所以說在閉區間上的連續函數一致連續。

如果函數f（x）的導數f"(x)有界，則f(x)在定義域內一致連續

樓上大神已經解釋得很好了。

說一點簡單的道理，希望有幫助。就看F（x）=1/x。

1、其在（0,1】上連續。

2、在【0，1】上不連續。

3、在（0,1】上不一致連續。因為當x趨向0-，F（x）趨向無窮。也就是說，Б範圍存在但 ε範圍不存在。我們反觀康托爾定理：

當定義【a，d】上連續，則在【a，d】上一致連續。

我是這麼理解的，當定義【a，d】上連續，根據韋爾斯特斯拉第一定律，該區間內函數有界。

則可形成範圍，則可一致連續。

望批評指正。

其實就是說函數的一階導數是否有界，你看極限，閉區間我總能找到一個定點無論它再大再小，但開區間就不一定了

我的理解就是這樣的:
對於dx趨向0，就一定有dy趨向0，
當 dy＜任意ε.都能找到對應的dx＜δ。

不是一致連續的話，同濟六版73有個例子。
y=1/x。當dx無限小的時候，dy卻始終等於1。
(想像一個圖形，dx越來越小，dy卻沒有越來越小，dy,dx.不是一致變化的。。)

連續是函數在點上的性質，在區間E上連續指的是在區間E上的各點連續：在定點附近，函數值的變化量可以任意小。
而一致連續是函數在區間上的性質：在這個區域里，函數值的變化量在每一個地方都可以任意小（對於給定的，任意小的函數變化量ε，總可以找到一個自變數變化量δ，使得所有在這個變化量內的兩個x滿足函數差值小於ε，這個先給定ε，再遍歷整個區間的要求正是「一致」的來源）。
直觀來說，「連續」只要求如同字面上的「連續」即可，而「一致連續」還要求函數不會發生極端的變化，在區間內的變化速度（不是導數）是有限的。

如果開區間是有限的，那麼連續也一定一致連續，如果是有限開區間下，一端會趨於無窮，就是非一致連續了

讓我來簡單地告訴你，說白了表面看起來都是連續但是連與連的精確度不同，函數連續精確到了無窮小，但是有比無窮小還小的，就是高階無窮小，而一致連續精確到了最小，沒有更小的最小，他是怎麼做到的？利用了藝鋪戲龍的那種語言