拉格朗日中值定理的幾何意義中的條件能否擴大為區間內的每一點處都有切線呢？

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拉格朗日中值定理的幾何意義中要求，在區間內的每一點處都有不垂直於x軸的切線。
那麼，能否擴大為區間內的每一點處都有切線呢？比如 $y=sqrt[3]{x}$ ，好像就可以使用該結論。

題目即為如果函數 $f(x)$ 滿足：
（1）閉區間 $[a,b]$ 上連續；
（2）在開區間 $(a,b)$ 上可導或者導數為 $infty$ (對應切線垂直於x軸情況）；
那麼在
$(a,b)$ 內至少有一點 $xi (a<xi<b)$ ，能使等式 $f(b)-f(a)={f}$ 成立嗎？
答案是不成立，證明不成立很簡單，舉反例就好了。

等式 $f(b)-f(a)={f}$ 可以變成 $frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}$ ，所以研究切線斜率就行。
先用 $y=sqrt[3]{x}$ 試試：
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取一個包含原點（導數為 $infty$ ）的區間 $[a,b](0<-a<b)$ （函數關於原點對稱，所以證明區間右端點b的值大於等於a的絕對值的情況可以推至全情況）

${f}$ 是偶函數，且在 $(0,+infty )$ 區間上是減函數，所以對於確定的區間 $[a,b]$ ，切線斜率取值範圍就是 $(frac{1}{3}b^{- frac{2}{3}},+infty )$ 。
而兩端點連線的斜率 $frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ 如下圖所示

b"是b點關於原點對稱的點，所以a只能在 $[b$ 間取值。很容易看出a位於b"時斜率最小，即 $frac{f(b)-f(a)}{b-a}geqslant frac{2f(b)}{2b}=frac{sqrt[3]{b}}{b}=b^{- frac{2}{3}}$ ，這個最小斜率是包含在 $(frac{1}{3}b^{- frac{2}{3}},+infty )$ 內的（最大還用討論么？能大過 $+infty$ 么），所以肯定有一點 $xi (a<xi<b)$ ，能使等式 $f(b)-f(a)={f}$ 成立。

看到這，你會說不對啊，這不是說明可以么……不要著急，反例在下面
擺線！！ $egin{cases} x=r(t-sin t)\ y=r(1-cos t) end{cases}$

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如圖所示，函數符合條件（1）連續，也符合條件（2）可導或導數為 $infty$

根據切線定義可知，原點處切線為y軸（圖中綠色射線與擺線的交點m越靠近原點，斜率越大，極限時所在直線為y軸）
這時很明顯，
$[a,b]$ 取y=1的兩個點為端點， $frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$ ，而 ${f}$ ，切線斜率取值範圍就是 $(-infty ,-1)cup (1,+infty )$ ，沒有0。
所以，的確不成立。

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擴展：

為什麼都是具有垂直於x軸的切線，而一個能使用拉格朗日中值定理的結論，一個不能用？

通過求導，可以看出兩個函數的導函數在 $x ightarrow 0$ 時，函數值分別是都趨近於 $+infty$ （ $y=sqrt[3]{x}$ ）和左側趨近於 $-infty$ ，右側趨近於 $+infty$ （ $egin{cases} x=r(t-sin t)\ y=r(1-cos t) end{cases}$ ）。

所以，有以下猜想：

條件（2）可以改成在開區間 $(a,b)$ 上可導或者左右導數同為 $+infty$ 或同為 $-infty$ （也可以說導數為 $infty$ 的點的鄰域是單調的）

將其稱之為「拉格朗日中值定理·改」，要證明，就需要對應的羅爾定理·改：

即如果函數 $f(x)$ 滿足：
（1）閉區間 $[a,b]$ 上連續；
（2）在開區間 $(a,b)$ 上可導或者導數為 $infty$ 的點的鄰域是單調的；

（3）區間端點處的函數值相等，即 $f(a)=f(b)$
那麼在 $(a,b)$ 內至少有一點 $xi (a<xi<b)$ ，使得 ${f}$

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證明（參考高數課本）：

由於
函數 $f(x)$ 在閉區間 $[a,b]$ 上連續，根據閉區間上連續函數的最大值最小值定理， $f(x)$ 在閉區間 $[a,b]$ 上必定取得它的最大值M和最小值m，於是有兩種可能：

（1）M=m，區間內函數圖像都平行於x軸。沒改變，證略。

（2）M&>m，因為 $f(a)=f(b)$ ，所以M和m至少有一個不等於 $f(a)$ ，這裡設 $M eq f(a)$ （m證法類似），那麼必定存在一點 $xi (a<xi<b)$ ，使 $f(xi)=M$ 。下面就是改變了。

如果導數為 $infty$ 的點是M的話，根據條件，其在鄰域內單調，所以必有左 $delta$ 鄰域或者右 $delta$ 鄰域內的點大於該點，所以這與導數為 $infty$ 的點是最大值M點矛盾。

既然該點不是M點，那麼M點就可以使用費馬引理，得 ${f}$ 。

羅爾定理·改定理證畢。再根據高數課本的證明方法證明拉格朗日中值定理·改就好了。

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題外話：

關於擺線切線的問題：

幾何上的切線用的是「無限逼近」，所以切線存在。（同濟版高數上有）

不過要是按照一些說法，擺線在原點處的只有斜率為 $+infty$ 的右切線和斜率為 $-infty$ 的左切線，沒有切線。不過我覺得直線沒有方向，所以從左側逼近和右側逼近的結果有區別么？垂直於x軸還分為幾種情況啊！要是非要說斜率的話，那 $y=sqrt[3]{x}$ 在原點處也沒切線， $+infty$ 不能比較大小，不能說左切線和右切線相同。

求英語高手分析一下維基百科Tangent中How the method can fail一段的意思，切線到底是什麼，按照同濟版高數，擺線和 $y=sqrt[3]{x}$ 都在原點處有垂直於x軸的切線。到底聽誰的？