為什麼許多物理、數學公式中會出現三角函數？

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指的是完全不涉及幾何中的角度的情況。其深層次的原因是什麼？
孿生問題：http://www.zhihu.com/question/21054944

自然規律基本都有某種反饋機制，某一個量的變化趨勢，由目前的情況來決定，換言之就是x"=f(x)或者x"=f(x,t)。這樣方程的解中很有可能（線性假設）含有e^kt這種指數項（作為解空間的基（的一部分））。k有可能是複數，所以就會出現三角函數和指數增長/衰減，或者它們的複合。
從概率觀點來看，能大量被觀察到的東西都是相對穩定的東西。收斂的東西比如吸引子、極限環就會比較常見，這或許就是三角函數會大量出現在公式中的原因。

大概因為在許多物理實例中，我們經常會遇到運算元 $A= -frac{d^2}{dx^2}$ 的本徵值問題。

比如：

1，一維弦波： $-frac{d^2}{dx^2}X=lambda X$ ； $X(0)=X(l)=0$

2，一維無線深方勢井： $-frac{d^2}{dx^2}psi =frac{2mE}{hbar^2} psi$ ； $psi (0)=psi(l) =0$

3，一維導熱： $-frac{d^2}{dx^2}X=lambda X$ ； $X(0)=X(l)=0$

相應本徵值對應的本徵元是三角函數
...........................

哦，對了，還有，在普物里我們還會經常遇到：
二階線性常係數(非)齊次常微分方程(組)。
比如：
1，線性單擺
2，簡諧振動
3，浮力
4，最優價格問題
5，RCL電路
6，線框進入均勻磁場

在其係數滿足一定條件下，方程的解是三角函數。
………………

先說兩句，有時間再擴充。

三角函數兩個來源，一個是線性坐標與極坐標的換算，一個是傅里葉基底。

第一個好理解，中學使用的三角函數都是第一類。但是物理中更重要的是第二類。

首先，傅里葉基底對於有限場是一套完全基底，所有場都可以寫成傅里葉展開的形式。其次，疊加原理告訴我們系統的整體改變可以分解成每一部分分別改變的和作用。所以我們可以分別研究傅里葉展開後每一項的影響。

但是傅里葉基底不是唯一的完全基底。我們使用傅里葉展開而非小波基底等是因為正弦餘弦函數(實際上是復指數函數，三角函數是一種特例)有一些特殊的性質。

1. 三角函數在任一空間點都是nontrivial，很好的體現了空間整體的性質
2. 無限可微，微分後形式不變，是微分方程良好的備選解。
3. 實空間與復空間轉化簡單。變化多樣可以簡化計算。
4. 容易分離變數

當然，如果題主只懂基礎物理的話你的疑問可能是針對第一類的三角函數的。但那方面講起來就麻煩了，有空再說

y""=-y的解

因為物理學家只會自由粒子和諧振子。

簡單來說，波動是物理里重要的研究對象，聲音、光、甚至到了波粒二象性萬物無所不波動。

然而波動函數直接研究都非常複雜，所以要用到傅里葉變換，把複雜的波函數拆分成若干正弦或餘弦函數，才能研究波形問題，甚至隨意載波。一般你見到有三角函數的公式，基本都和旋轉體（如交流電就是交流發電機轉子產生的，電流當然要隨三角函數變化）或者波形有關。

最後，細節最好由大神補充，我主要研究各種力學，對電磁學不算專業。

因為非常重要的兩個物理量，能量和動量，通過 $exp{(iomega t)}$ 和 $exp{(ikx)}$ 與時間和空間聯繫起來。

數學的很多部分是緊密相連的。
三角函數是指數函數也是複數。
e^iπ +1=0
這個完美的歐拉公式道出了三者間的和諧美，從更寬廣的角度給出了三角函數寬廣的生命力。
三角函數是周期函數，它與數學其它重要工具的緊密關係決定了其廣泛深刻的實際應用。

因為我們研究的許多都是線性系統，在頻域上看激發和響應的頻率是相同的，而描述單頻問題用的就是三角函數或者 $e^{iomega t} e^{ikx}$ 。

提這個問題的時候我的腦海里有一個答案，看了各位的答案感覺自己想得很膚淺啊。

我是這樣想的：

從本質來考慮，三角函數區別於其他函數的本質，是它的周期性。

就像從本質上來考慮，複數是一個攜帶兩個互不干涉的信息的量，等同於二維向量。

當我們需要描述一個有周期性的規律的時候，這個時候就應當也適於引入三角函數了，這個本質上並不是說我們要表示什麼正餘弦，而是我們需要周期性，三角函數提供了它的周期性。在複雜的情況下，我們有傅里葉變換，不是嗎？這對我們的應用提供了很大的保障。

歐拉公式
復空間
傅里葉基底

物理的話我覺得主要是傅里葉分析和y""+y=0的解。

瀉藥。
題主改題了，我懶得改答案了，就這吧。提供一個參考。
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只談高中物理。
有一部分是因為用的是模長形式啊。比如做功。本來公式是dW＝F dot dx（向量點乘）。但高中物理既不用微分也不用點乘，所以就把點乘的模長形式謝進來W＝Fx cos＜F，x＞。
再比如洛倫茲力。本來是F＝qv cross B（向量叉乘）既表方向又表大小。可是高中不學叉乘，用左手判斷方向，再用叉乘的模長形式F＝qvBsin＜v，B＞表大小。

學過複變函數後，你會發現實際上你學了這麼多年只學了一個函數---指數函數。全世界都在學自然常數e。

這個問題我在高中的時候也困擾過，學了微分方程就明白了。
對於最基本的二階微分方程如y『』+ay"+b=0,它的解和z^2+az+b=0這樣的一元二次方程有關，當這個一元二次方程出現複數解的時候，該二階微分方程就會出現三角函數解，即如果一元二次方程的解是z1,z2的話，那麼微分方程的解是y=C1e^z1x+C2e^z2x
根據著名的歐拉公式，我們知道指數函數中的指數是複數的話，會變成三角函數。

列舉幾個，物理學中最重要的公式：

牛頓第二定律：
$mathbf F =mathrm m mathbf a$

拉格朗日方程：
$frac {mathrm d}{mathrm dt}frac {partial L}{partial dot{q_i}}=frac {partial L}{partial q_i}$

麥克斯韋方程組：
$ablacdotmathbf E= ho / epsilon_0$
$abla cdotmathbf B=0$
$abla imes mathbf E=-frac {partial mathbf B}{partial t}$
$abla imes mathbf B=mu_0mathbf{j}+mu_0epsilon_0frac {partial mathbf E}{partial t}$

薛定諤方程：
$ihbarfrac {partial Psi}{partial t}=hat H Psi$

愛因斯坦方程：
$G_{mu u}+Lambda g_{mu u}=frac {8pi G}{c^4}T_{mu u}$

統統沒有三角函數～所以，樓主命題並不成立～
物理學的最基本的理論原理和三角函數關係不大，大概是在實際問題中具體計算，才會總用到三角函數。

【以上為原答案】
評論區里有很多人對我的答案很不滿，認為我偏題。我不想一一辯駁，只想說一點自己的看法。誠然，三角函數在物理課本中經常出現，也是學物理的必須熟練掌握的工具，但這並不代表物理學最基本的東西和三角函數關係很大。三角函數，無非就是一個導數積分正交性質的一個函數，所以能作為一些方程的解。但這些本質上都是數學求解的過程。實話實說，指數對數，甚至貝塞爾函數在物理學中出現的頻率也非常高，甚至有很多你不會求解的情況。那他們難道都和物理學緊密相關嗎？我承認導數偏導數是物理學理論中最基本的部分，變分臨界點也是最基本的部分，但我還是不認為三角函數和物理本質有什麼太大關係。

就醬。不喜輕噴，噴了不回。

因為不出現三角函數，就會出現冪函數，會出現指數函數，對數函數，厄米函數，勒讓德函數，高斯函數，zeta函數。。。。。。然後就會有問題問為什麼會出現xx函數

總得出現點吧

信號分析理論。
傅里葉變換的大概意思：幾乎所有的波形信號都可以分解為不同周期的正弦波的和。其中：
周期信號可以分解為有限個不同頻率的正弦波之和。
非周期信號（即無規律不重複信號）可以分解為無限個不同頻率的正弦波之和。

原來不同頻率正弦波兩兩之間具備正交性，就像兩維直角坐標系x軸和y軸完全正交。不同頻率的正弦波作為坐標軸可以組成無窮維空間，空間內任何信號可以做分解。

三角函數和複數還有密切聯繫。
歐拉公式：e^iΘ = cosΘ + i sinΘ
還有更神奇的e^iπ + 1 =0
一個公式集齊所有數學神跡

以上這些，我第一次看到都覺得很不可思議。

說下個人理解吧
從我自己學的專業角度來說吧
首先一個原因是歐拉公式

他表明任何一個能將複數表示成三角函數的實部虛部的想加的形式

再有一個就是傅里葉變換，傅里葉變換表示能將任何一個滿足狄利赫里條件的函數通過傅里葉變換表示成一個三角函數或他們的線性積分組合，實際意義通常是將信號函數的時域分析轉化為直觀的頻域分析，時域上的卷積運算也能通過傅里葉變換轉換為較為簡單的頻域相乘，更巧合的是三角函數的線性疊加可以得到一個矩形方波

這種矩形方波在應用中比如濾波器設計中應用的非常廣泛。

總而言之，數學就是人類自己設計自己規定規則的一種遊戲更是一種工具，我舉的這個例子的意思就是，在既定規則下，三角函數作為一種是工具他有著突出的優點，能將複雜的運算簡化，轉換成簡單的線性疊加等等，在有理論支持的情況下，轉換成三角函數運算能減少很多的工作量。

人類開啟觀察記錄之初，只要有確定性，就會產生１這個數字。這已經等價正弦餘弦了。　
另外　考察自然的複雜系統里，趨勢會顯示出彎曲路徑，對於曲線可以由弧逼近、曲線擬合等都會出現三角函數。。

三角函數有很多很好的性質，比如求兩次導以後變成自己的相反數（描述周期性運動的波動，振動方程就是根據這個列出來的，解出來就帶三角函數），而且所有周期性函數都可以用三角函數表示出來（其實非周期性函數也可以，就是分量有各種頻率成分），最後樓主可知arcsinx和arctanx的的導數是什麼嗎？是兩個完全和三角函數無關的式子，有的時候也是從那兩個式子積分求得的