數學上經常說「線性代數、線性空間、……」，到底何為線性？為什麼在諸多概念中反覆強調？
再次推薦這個系列視頻：【雙語字幕】「線性代數的本質」合集
非常的直觀、清晰，深入淺出，適合所有初學者。看完最後一講基本上就能知道為什麼要這樣定義「線性」，有什麼用處，能夠拓展到哪些領域，等等。
內容目錄：
第零講：序言
第一講：向量究竟是什麼
第二講：線性組合、張成的空間與基
第三講：矩陣與線性變換
第四講：矩陣乘法與線性變換的複合
第四講附註：三維空間中的線性變換
第五講：行列式的意義
第六講：逆矩陣、列空間與零空間
第六講附註：非方陣
第七講：點積與對偶性
第八講上：叉積的標準介紹
第八講下：以線性變換的眼光看叉積
第九講：基變換
第十講：特徵向量與特徵值
第十一講：抽象向量空間
視頻原作者：3Blue1Brown@Youtube，字幕中譯：Solara570@Bilibili
附帶說件事，對喜歡這系列視頻的知友應該是個絕好的消息：視頻原作者3Blue1Brown應B站幾位字幕譯者的聯合邀請，已同意在B站設立官方賬號：3Blue1Brown @ Bilibili，今後他在Youtube發布的精彩視頻都會在B站上持續發布中文字幕版，大家可以去B站關注和支持。中文字幕翻譯可能會慢一點，做不到跟Youtube同步發布，但翻譯質量絕對有保證。
3Blue1Brown接下來計劃要做的視頻系列包括「微積分的本質」「概率的本質」「實分析的本質」「複分析的本質」「常微分方程的本質」等等。目前他正在製作「微積分的本質」系列中，全系列製作完成後才會發布，預計4月底可以完成，值得期待一下。此外他還會經常製作像「最速降線問題」「希爾伯特曲線」「用莫比烏斯帶巧解內接矩形問題」之類的單個視頻，基本上每兩周發布一個。我來講講為什麼要強調線性。源頭上講，因為牛頓物理是一個對這個世界足夠好的近似和刻畫，其所在的空間就是一個線性空間。換句話說，不要誤會，我不是針對你，我是說在座的都是垃圾，包括我。我們只能感受到空間的線性性。所以線性代數有用，因為它是對物理世界一個很好的抽象。所以線性代數好學，因為你身上的基因已經花了幾十億年來熟悉線性這個概念（所以請堅信自己能學好線性代數）。
舉個例子，線性空間有一個投影算符的概念。投影算符P有一個性質，就是
設H是有限群G的子群，則H的階整除G的階。
對一般人而言就非常抽象（所以叫抽象代數了呀）。
謝邀。
我只是個普通的大學本科生，盡微薄之力嘗試回答一下這個問題。
「線性」即具有或保持(preserve)：
1）「+」群運算，
2）「·」域作用(有時線性一詞也被用作形容環作用，在討論模時，二者是類似的)
的性質。
例如線性空間，便是定義了這兩種性質的結構。線性變換即是保持這種結構的映射。
為什麼叫線性，直觀上講，「+」可以理解為元素的疊加，可以類比於圖形的平移；而「·」可以理解為元素的縮放(scaling)，類比圖形的等比例放大縮小。
至於為什麼線性這麼重要，我的想法是這樣的：
1）域(或環)是有用且重要的，因為它定義了兩種運算，並且對於域來說運算皆可逆；
相比之下，如果我們嘗試去在群上定義類似的結構，要麼會自相矛盾，要麼定義出來的只是另一個群。而如果不考慮第一條被作用集合自身的結構的話，那就得到了群作用(group action)，這也是很有用的。
2）僅僅一個域是不夠的，如同群有群作用，環作用於模一樣，域也需要作用在某個集合上才更加「有趣」。因此線性空間(矢量空間)就很自然地出現了：集合自身具有一個較為簡單的結構「+」，同時域中的元素作用其上，且這個作用與域自身的運算自洽。而線性變換也被很自然地定義了。
3）基本上所有基於矢量空間的性質都以線性為基礎，簡單的例子比如各種多項式，可以看作是二次型(quadratic form)，n次型，而它們與二重線性(bilinearity)，n重線性是等價的。
小裝一波吧。
先說線性的來源吧，即線性方程：
很容易知道，兩個這樣形式的方程疊加起來，依然是這樣的形式，體現在二維平面中依然是直線，那麼做一個流氓的推廣，給x及係數以序號，把y變數變成變數x的形式，並且增多一點變數，就成為了一般的線性方程：
雖然在幾何上不直觀，但它依然滿足線性條件，許多個這樣形式的方程疊加依舊是這樣的形式，你可能覺得這沒什麼稀奇的，但當次數是一次的時候，滿足一個很基本的線性等式：
這個等式意味著，我們可以把一個整體的結果分成若干個部分來研究，它們各自本身形式是相同的，兩個作用對系統作用的結果等於它們之和對系統作用的結果，舉一個很形象的例子就是，你我同時向一個杯子里倒水，兩注水一開始有一定距離，然後我們相互靠近，使得水在空中交匯成一道流往杯子里流，只要我們倒水流量之和不變，這兩者對系統而言是等價的。
事實上這是一個很苛刻的條件，強調線性，也是強調這個抽象的函數等式。因為實際生活中大部分系統是不滿足這個條件的，線性代數正是一個由簡單出發來研究複雜問題的思路。
一個非常重要的原因是，這一類的方程的解的形式是最簡單的，多元高次方程的解非常複雜甚至可能沒有解析解。而我們在初中就已經學習過二元方程的解法中的加減法和迭代法，對於多元一次方程，方法我們普通人也可以如法炮製，數學家們利用線性的特點，給出了這一類方程最簡便的解法，通俗點說，就是公式解，因此有了行列式和擴充矩陣等概念。這樣就不用我們手算加減，計算機可以直接給出大量變數的解。這對於經濟學和其他複雜多變數問題的研究是非常有利的近似方法。
看具體例子，一個是三維空間，裡面的向量是既有大小又有方向的量。所謂大小，直觀上看是長短，量化之後就是所說的模，伸縮變換，用數學語言來說就叫數乘；至於方向，這就把三維空間與一維的數軸徹底區分開了（其實一維也有方向，只不過體現的不明顯），三維空間按平行四邊形法則，定義了兩個不同方向的向量的「加法」，這裡說加法，只是借用數的加法這個名詞而已，其內涵大大不一樣了。這樣一來，三維空間里有了一個運算，名字叫做加法。實數有兩個運算運算，一個加法，一個乘法（減法和除法看做特殊的加法和乘法）。如果只是這樣，那不過是兩個無關的數學對象，各玩各的就行了，那也沒意思了。關鍵在於所謂的數乘，把實數和三維空間連接起來了，兩個數學對象分化結合，產生出來許許多多的有意思東西。
三維空間很直觀，但是太直觀，有時候反而是種束縛，就難以透過現象看本質了。
不妨再看一個例子，連續函數全體。兩個函數之間可以定義一個加法，f+g。這裡還是一樣，只是借用加法這個詞，其實f+g怎麼加的？細想挺奇妙的。直觀看在平面上就是把兩個函數圖像加一下，得一個新的曲線，就是加的結果。同樣，還可以把圖像伸縮一下（縱軸），就是所說的數乘。
對比一下這完全不同的兩個對象，發現唯一的共同點是都在裡面定義了所謂加法數乘。三維空間里的向量，函數，它們具體是什麼東西，不要再管他，只要抓住這個加法和數乘的特點，如此一來，直接在集合上定義加法數乘，豈不去掉了那些個枝節性的表象，把研究的對象直接抽象出來，注意，研究的對象是集合里的元素（所謂的向量）嗎？顯然不是，而是加法和數乘，正是加法與數乘才賦予了這個集合以意義，有了加法數乘，就把這個集合叫做線性空間，這個集合里的元素叫向量，至於這元素本身是螞蟻還是大樹，根本不重要了。集合只是作為運算的載體而已。
嚴格來講，線性空間有三個部分，一個是數域（重要的是加減乘除這個運算），一個是定義了加法運算的集合，以及連接這兩個部分的運算數乘。重要的是運算。所說的線性，本質是對這種運算而言的。
抓住運算才是本質，後面的概念也就好理解了，一個子空間，一個線性映射，都是幹嘛的，一句話，保持加法和數乘運算性質不變。如果變了，那線性空間的概念也就沒有意義，直接看成最樸素的集合好了。比如線性空間這個集合的子集，如果這個子集里兩個向量相加不在這個子集里，那考慮它有何意義？所以只考慮子空間這種特殊的子集，線性映射也是同樣的。
不要糾結線性這個詞，線性這個詞，是來描述這裡加法數乘運算以及保持運算的映射的特點的。線性代數，最核心的就是這個定義的加法數乘運算本身。
這種思想（在集合上定義運算，在此基礎上再定義保持運算的映射），在代數學習里尤其重要。近世代數基本都是這麼玩的。
不妨多扯兩句，我說加法數乘這個運算是核心，那矩陣在線性代數里是什麼地位？一方面，可以說是特殊的線性空間，也是特殊的線性映射，換句話說，沒有矩陣，不妨礙線性代數體系的構建。只不過從理解的角度從具體操作的角度，矩陣都提供了極好的幫助，以至於初學者以為沒有矩陣都不行；另一方面，也可以說矩陣就是線性代數的全部，這是從同構的角度來講的，也就是說，線性代數里所有的東西，幾乎都可以用矩陣來表達。但是，矩陣比較具體，過度地依賴它，至少對抽象思維的訓練是不利的。整個空間對於線性運算是封閉的。
我不是數學專業的，從我的專業（信號處理/自動控制）角度回答一下。
什麼是線性其實就是定義上看起來那樣，在我們信號處理和控制領域更多是強調運算的「齊次性」和「疊加性」。其他答主答得很仔細，也就不多說了。
有三點想說的。
1. 「線性就像一座動物園裡的大象。」這是L. Ljung還是誰在一篇論文里寫的。意思是什麼呢，線性情況是自然界中非常非常特殊的一種情況，特殊到我至今認為現實世界裡並不存在什麼線性的系統。這點要認識到。
2. 「為什麼我們執著於線性系統，因為我們能解出它！」這是一本非線性教材（忘了是Khalil還是Isidori那本）某一章前面的話。意思是什麼呢，目前對於線性系統，我們能得到解析解。解析解的意義非常大，可以直接得到這個系統的所有信息。這就是我們在處理線性系統的時候特別安心的原因。
3. 我覺得大家還是應該更注重空間的概念，挺有一些學生讀到了PhD可對空間的概念和應用還是很生疏的（在控制領域）。。。一次函數，用演算法複雜度來來說，是小於o（n平方）
以我現在不成熟的觀點來看，保持數乘和疊加不變，就是線性的本質了，線性代數看得還不是特別清楚，如果你學信號與系統就能明白這個性質是多麼重要。對線性系統可以用疊加原理去分析，就是只考慮一個個單獨的輸入而不用一開始就把它們加起來。另外疊加原理還能推出卷積定理，然後就可以用拉普拉斯變換把微分方程變成代數方程。
保加法保數乘
線性本意是指直線性。
我們都學過直線方程，y＝ax＋b，也可以寫成ax＋by＋c＝0的形式。
由於代數研究曾長期停留在n元m次方程的領域內，所以這種n元一次方程就習慣性地稱為(直)線性方程。
n元一次方程有一個性質：如果解無限，則其中一組解可以表示為另外n組解的和。
這個有點抽象，我們這樣說吧，
長布歐＝瘦布歐＋胖布歐，
悟天克斯布歐＝長布歐＋悟天克斯(常數)，
悟飯布歐＝斷角悟飯布歐＋斷角
我們把任意分出來的布歐體叫向量，把布歐的全部叫布歐空間。
在我們樸素的語義里，先有空間，後容納所有向量；數學上則認為先有向量再集合形成空間：也就是說，先有徐徐升起的布歐煙，再凝固成布歐。
這種「融合性」和「分解性」，就被習慣性地稱謂「線性」，就像蛋白質不一定來自蛋白，葡萄糖不一定來自葡萄一樣。
所以下次有人跟你說「線性」，你就知道，兩個該元素捏一起，會形成另一個該元素。就像兩個布歐捏一起是一個新布歐；把布歐劈開，會形成兩個新布歐。
而悟空和他的斷尾，悟飯和他的斷臂，就沒有這樣的性質了。說了那麼多，就兩個字，「簡單」
其實那麼多線性為定語的詞和線性空間有分不開的關係。
從定義上來看，線性空間（也稱向量空間vector space，也稱線性向量空間linear vector space，都是一個東西）是需要符合除了加法與數乘封閉性外+八條基本性質的空間（就是一個集合，既可以有有限的元素，也可以有無限個元素）。見https://zh.wikipedia.org/wiki/向量空間 。
1） 「線性」 空間的線性一詞，指的是加法和數乘（被稱作線性運算）的封閉性：
說人話：這個空間中的兩個元素（被叫做向量）相加後的結果還在這個空間（集合）中。這個空間中的元素乘上一個數還在這個空間（集合）中。我們非常希望我們討論的東西所在的集合擁有這兩條性質的，同時很多時候的確有這兩條性質存在。比如說我們關注的實數/複數/實向量/復向量/實函數所在的空間。
2）八條基本性質是關於其中空間中的元素（向量）在加法和數乘下滿足的基本規律，比如分配律等等。有了這些規律，才能更好的討論其他東西。雖然我們經常在用實數空間用這些這些性質，但是數學是一個抽象的過程，簡單點可以認為這是對實數空間的抽象。
3）值得注意的是線性空間中元素（向量），既可以是我們常見的實數組成的向量，也可以是其他，比如一個函數（即一個函數就是一個向量），只要它所在的集合滿足加法和數乘的封閉性和八條基本性質，即這個函數所在的集合是一個線性空間。
何為線性？首先明確的是加法和數乘是線性運算。線性這個定語大多數時候就是想說明我們接下來要討論的東西關於線性運算有一系列的性質。
1）比如說有個概念叫做線性子空間（linear subspace），就是想說這個子空間（上述定義的線性空間的子集）對加法和數乘封閉。
2）再比如說線性方程組，說這個方程組是只包含線性運算。
3）再比如說線性運算元（linear operator）。說明這個運算元L，有這樣的性質，L（ax+by）=a*L(x)+b*L(y)，其中a和b是數，x和y是向量。即說明這個運算元對於線性組合有如此可以拆解為L(x)和L(y)的線性組合的性質。
線性代數（linear algebra）是討論基本的線性運算的代數學。比如矩陣乘法就是一個線性運算元（便於理解可以認為線性運算元是矩陣乘法的抽象與推廣，事實上這句話很不嚴格）。很多情況下泛函分析 (functional analysis) 會涉及更多關於線性運算元的東西。
為什麼「線性」重要？
說白了還是因為線性簡單，易於建模與分析。而且單單線性的參與就可以導出很多理論。
1）比如矩陣論。說白了就是有關線性運算的東西的一系列性質。
2）張量分析。上述的推廣。
3）傅里葉變換。傅里葉變換的正弦函數（或者復正弦函數）乘以原函數積分，本質上是對原函數實施了一個線性運算元。
4）比如凸優化理論，其本質是建立在分離定律上的，即兩個不交叉的凸集是線性可分的。
線性空間，線性變換有兩個基本要素：
1. 變換後的空間的每個維度里，每條直線依然是直線，不轉彎，不打卷
2. 變換後的空間里原點位置不變
推薦你看：Videos （最近從Khan Academy移出，搬到了youtube上），這個視頻系列對初學者打基礎很有啟發意義。
嘛，要討論線性其實繞不開一個概念，就是線性相關，和線性無關。
從概念上來講，如果一個向量可以被有限個向量描述，那麼說明他們線性相關，否則，則線性無關，例如：
三維空間中有一個平面，平面上有三個向量兩兩相交；這時其中任何一個向量都可以被其他兩個向量通過縮放長度相加來描述，這時我們說其線性相關，但是注意，他們無法描述平面外的任何一個向量（與平面相交的向量）
如果，當三個向量線性無關時，你會發現任何兩個向量都無法描述第三個，但是通過這三個向量，我們卻可以描述空間中的任何一個向量！
很早我們就學過，三個不在一條直線上的點可以確定一個平面，為什麼要強調不在一條直線上？因為只有這樣才能構成兩個線性無關的向量用來描述一個平面。
所以在這裡（二維平面）你可以將「線性無關」粗略的描述為「所在直線不平行」，那麼「線性」就是「所在直線」
而三維空間及以上只不過是將二維平面中的性質擴展開來，因為其本身是相似的，只不過用更多的數來描述一條線，用更多的線來組成空間，描述性質。
所以結論出來啦：線性，就是一堆直線（在不同空間中）的各種（亂七八糟的）性質。
番外：當我們描述一個物體在三維空間中的狀態時，通常會使用至少三個矢量來描述，向上；向右；向前，這三個矢量方向兩兩垂直。但事實上，只要是不互相平行的三個矢量就可以在空間中描述物體的狀態，但凡缺少一個矢量，那麼這個物體就會在其餘兩個矢量構成的平面中存在兩個狀態（朝上，朝下），如果缺少兩個個，那麼就會有無數種狀態。所以我們說有限個線性無關矢量構成了一個歐哥空間。
線性在不同的地方含義有細微區別，如果要統一來講，不妨從線性組合這個概念開始。而所謂的線性組合就是形如a1x1+a2x2+a3x3…這樣的式子，可以看到這個式子里有加法和乘法兩種運算，所以要討論線性前，先要定義對象間的加法和乘法運算。
最先接觸到線性，應該是線性函數，也就是一次函數，用統一的語言，就是x和y的線性組合為常數的函數。這還不夠和諧，更和諧的說法是x和y和1的線性組合為0的函數。
再說說線性方程。線性方程就是一些未知量以及1的線性組合等於0的方程。線性微分方程就是未知函數及其各階導數還有1的線性組合等於0的方程，其中ai可以是某函數。
而線性相關性，指的就是一個向量可以表示為另外一些向量的線性組合，或者說，一組向量的線性組合可以等於0。
這時候再看看為什麼需要概括出「線性」這麼一種性質。好吧其實沒有什麼需要不需要的，有元素有乘法有加法後將a1x1+a2x2+a3x3…視為一個整體真的很自然很不做作好嗎！當然為了讓整體有意義，一般要求ai不同時為0。
在一個，嗯，怎麼說好呢，先叫它空間好了，意思是在其中可以考慮元素線性組合(至少要求任意元素的線性組合在其中吧)，空間里，上述概念是夠用的，但是如果研究對象是兩個空間，要考慮到兩個空間之間的聯繫以及元素和元素之間的關係時，還需要一些別的概念。
比如線性映射。如果兩個空間的映射f滿足f(ax)=af(x), f(x+y)=f(x)+f(y)，我們稱它線性映射，前者稱為其次性後者稱為可加性。或者合在一起:f(a1x1+a2x2+a3x3…)=a1f(x1)+a2f(x2)+a3f(x3)…，需要說明的是，左式的加法和乘法可以和右式的加法和乘法不同。單純得通過感受，我們就可以感覺到通過保持運算，線性映射使得兩個空間的元素間非常和諧，充滿美感。經驗告訴我們，充滿美感的對象是容易研究的(並不)，事實上，泛函中對線性映射的研究確實非常完整，更多的困難是研究非線性時帶來的。
再回過頭說說之前定義不明的空間，其實他們就是線性空間，也就是向量空間，從這裡可以看出「線性」和「向量」間有不可告人的關係，但是在這裡連同線性空間的具體定義一起先不說了。我們需要知道的是，之所以要定義線性空間，是為了讓「線性」這種性質在其上有意義。稱ai的集合為域，ai為域上的標量，稱xi為向量，考慮到最開始的概念線性組合，域上的向量空間(線性空間)需要定義標量和向量的乘法，向量的加法，使其到自身的映射f(x)=ax這種最簡單的映射滿足其次性和可加性(也就是滿足分配律)，任意向量組的任意線性組合仍在向量空間中(封閉性)，用數學語言寫出來，就是線性空間的定義。
從直觀的幾何意義及規範的代數意義兩個方面來理解線性空間的線性。
幾何意義：如果空間是通過遍歷一組直線形基的線性組合而生成的，就能用一組直線，以空間的一組基為單位均勻地劃分空間。由一組直線形基生成，能被一組直線均勻劃分，這一性質就是空間的線性，具有線性的空間稱為線性空間。以向量空間為例，對其做均勻劃分的結果，在一維空間表現為一組等長度的線段（類似刻度尺），在二維空間表現為一組等面積的平行四邊形（類似圍棋棋盤），在三維空間表現為一組等體積的平行六面體（類似魔方），在n維空間表現為一組等體積的n維圖形。非線性空間，如球面，顯然就不能用一組直線均勻劃分。抽象的線性空間不具有幾何直觀性，但其與向量空間同構，故可對其做抽象的均勻劃分。
代數意義：設V為一個非空集合，F為一個數域。給V中元素定義一種加法及一種數乘法，若上述兩種運算滿足以下兩點：
（1）在集合V上封閉（確保了空間V的任意一組基的任意線性組合結果都屬於V）。
（2）八個公理（規定了空間V的任意一組基的任意線性組合的實現方式）。
任意α、β、γ∈V，任意k，l∈F
①α+β=β+α；②(α+β)+γ=α+(β+γ)；③存在0∈V，使得α+0=α；
④存在(-α)∈V，使得α+(-α)=0；⑤1α=α；⑥k(lα)=(kl)α；
⑦(k+l)α=kα+lα；⑧k(α+β)=kα+kβ；
則稱以集合V、數域F、上述加法及數乘法三者構成的系統為線性空間。其中，滿足封閉性及八公理的空間元素的加法及數乘法就是空間的線性。
幾何意義為代數意義的直觀表現，代數意義為幾何意義的規範描述，兩者是同一事物的不同表現形式。空間若具有線性，就可在空間建立坐標系（若空間是抽象的，那就建立抽象的坐標系），進而把解析幾何的相關概念及性質推廣到空間中。比如，把解析幾何中的坐標運算推廣到線性空間，就產生了向量的線性運算；把直線的共線、共面性質推廣到線性空間，就產生了向量組的線性相關性；把幾何變換推廣到線性空間，就產生了線性變換；把幾何空間的度量性推廣到線性空間，就產生了歐氏空間等。把解析幾何的相關概念及性質推廣到線性空間的目的是為了實現幾何變換等幾何上的直觀操作與矩陣運算等代數上的數值操作間的相互轉化，從而讓人類以直觀的方式分析和處理問題，而把複雜的計算交給計算機。最後，再補充一點，若遇到的問題涉及非線性空間，則設法把其抽象為線性空間，之後就用線性空間的性質來處理。
本人才疏學淺，若回答中有錯漏之處，還請各位知友批評指正。
「如果進入科研領域，你就會發現，只要不是線性的東西，我們基本都不會！它是人類少數可以研究得非常透徹的數學基礎性框架。學好線性代數，你就掌握了絕大多數可解問題的鑰匙。有了這把鑰匙，再加上相應的知識補充，你就可以求解相應的問題。不學線性代數，你就漏過了 95% 的人類智慧！非線性的問題極為困難。如果能夠把非線性的問題化為線性的，這是我們一定要走的方向。」，萬門大學校長童哲如是說。
如果剛開始學線性代數，沒有必要搞的太複雜，只需要知道下面這句話就行了：
The central problem of linear algebra is to solve a system of equations.Those equations are linear,which means that the unknowns are only multiplied by numbers -we never see x times y.
翻譯：線性代數的核心問題是解一組等式（或方程）。這組等式是線性的，意味著未知數的係數只能是數字（我們永遠不會見到xy).
翻譯的不好，看英文更好理解。
來自《Introduction to Linear Algebra, 4th Edition by Gilbert Strang 》第二章，P31.
線性性，就是整體等於各部分之和，也就是整體可以通過分解來研究。
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