割圓曲線是什麼樣的曲線？

中文wiki上面詞條【化圓為方】中有這一句：如果放寬尺規作圖的限制或允許使用其他工具，化圓為方的問題是可行的。如藉助西皮阿斯的割圓曲線，阿基米德的螺線等。 後者很有名，前者是什麼樣子的？

這是一個古老的話題，本文會介紹什麼是割圓曲線？割圓曲線是做什麼的？割圓曲線為什麼可以做到？

割圓曲線歷史非常悠久，可能是除了圓和直線外，人類畫出的第一個曲線（那種無規則的、無意義的曲線不算），也可能是第一個由兩種運動所決定的曲線(圓是由一種運動決定的曲線)。

1 割圓曲線的構造

首先，有一個正方形：

然後，以A為圓心，AD為半徑做勻速運動（第一種運動）：

然後，CD線段，平行往下做勻速運動（第二種運動）：

這兩種運動複合起來的交點的軌跡就是割圓曲線：

這貨得看動圖才更清楚，我們來看看兩種運動的合成吧：

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

要進一步了解割圓曲線的細節，可以參看 維基百科 ，裡面還有割圓曲線的代數方程、參數方程等。

2 有什麼用？

古希臘有三大著名的幾何問題（具體細節參考 維基百科 ):

• 倍立方問題

• 三等分角問題

• 化圓為方問題

割圓曲線可以解決三等分角和化圓為方這兩個問題（唯一的問題是，割圓曲線不能只有尺規畫出來）。

3 三等分角

為了證明我不是作弊，所以你自己動手玩一下：

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神奇吧，三等分角問題變成了三等分直線問題，這就簡單多了。

4 化圓為方

為什麼說做出 很困難呢？這個問題要細講真的說來話長，我簡單說一下。

根據古希臘尺規作圖的規則（參考 維基百科 ），它要求用一把沒有刻度的直尺和一把圓規，允許的操作如下：

• 通過兩個已知點可作一直線

• 已知圓心和半徑可作一個圓

• 若兩已知直線相交，可求其交點

• 若已知直線和一已知圓相交，可求其交點

• 若兩已知圓相交，可求其交點

根據這些規則，尺規作圖實際上可以完成：加、減、乘、除、開平方這五種運算，我給出一個開平方怎麼作圖的示意圖：

那麼問題就變成了，這五種運算是否可以通過組合生成所有的實數（即實數域是否對於這五種運算閉合）？

答案是不行的，這五種運算只能覆蓋實數很小的一部分（對的，確實是很小的一部分），其中 就是不能覆蓋到的（ 是超越數），所以化圓為方問題在尺規作圖的規則下無解。

那麼割圓曲線怎麼做到這一點的呢（注意割圓曲線本身是無法用尺規作圖作出的）？

有個 之後，問題就簡單了。根據之前的描述，我可以通過尺規作圖，把 取倒數（除法），得到 ，再 後開方就可以得到想要的 了。