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數學矩陣線性代數高等數學

n階方陣中可逆矩陣和不可逆矩陣哪個多？

12-27

老師講「事實上無理數比有理數多得多」突然想到的問題。

從集合的勢的角度來說，一樣多。

從拓撲的角度說，可逆矩陣全體是n^2維線性空間中的稠密開集，不可逆矩陣全體則是無處稠密的閉集，所以前者「更大」。

從測度論的角度說，不可逆矩陣全體是n^2維Lebesgue測度下的零測集，所以也更小。

補充一下 Yuhang Liu 的回答，假設考慮的是 $n imes n$ 的實矩陣 $M_{n imes n}(mathbf{R})$ ，那麼

基數：可逆矩陣和不可逆矩陣的基數都是連續基數 $c$ ，這容易看出。
測度：矩陣 $Ain M_{n imes n}(mathbf{R})$ 不可逆當且僅當行列式 $det(A)= 0$ ，因此不可逆矩陣是一個非零多項式 $det$ 的零點集，而從 $mathbf{R}^n$ 到 $mathbf{R}$ 的非零多項式的零點集測度為零，這可以用歸納法證明。細節請見：http://www1.uwindsor.ca/math/sites/uwindsor.ca.math/files/05-03.pdf。因此在 $mathbf{R}^{n imes n}$ 中，不可逆矩陣集合的測度為零。
拓撲：由於函數 $det:mathbf{R}^{n imes n} omathbf{R}$ 是連續的，因此 $operatorname{det}^{-1}({0})$ 是閉的，因此不可逆矩陣集合是 $mathbf{R}^{n imes n}$ 中的閉集，我們還可以說它是無處稠密的。要證明這一點，只要說明可逆矩陣集合在 $mathbf{R}^{n imes n}$ 中是稠密的，對於每個矩陣 $Ain M_{n imes n}(mathbf{R})$ ，考慮矩陣 $A+tI_n$ ， $det(A+tI_n)$ 就是 $-A$ 的特徵多項式，它只有有限多個零點，因此對於每個 $varepsilon>0$ ，存在 $|t|leqvarepsilon$ 使得 $A+tI_n$ 可逆，於是 $A$ 是可逆矩陣序列的極限，這就說明可逆矩陣集合在 $mathbf{R}^{n imes n}$ 中是稠密的。

樓上已經說了無限域上矩陣的情況，我來說說有限域上矩陣的情況。（其實壓根對無限域上的不懂啊）

首先，題主說的n階矩陣中滿秩矩陣和降秩矩陣實質上就是可逆矩陣和不可逆矩陣。（降秩矩陣這個稱呼我幾乎沒見過啊）

有限域 $F_{q}$ 上的 $n$ 階矩陣的個數顯然是 $q^{n imes n}$ ，而有限域上 $n$ 階可逆矩陣的個數是 $q^{nleft( n-1 ight) /2} prod_{i=1}^{n} (q^{i} -1)$ 。所以有限域上 $n$ 階不可逆矩陣的個數就是 $q^{n imes n} -q^{nleft( n-1 ight) /2} prod_{i=1}^{n} (q^{i} -1)$ 。

至於比較這兩個的大小，估計就是分類討論了。在下無能為力了。。。攤手

不嚴格地說，「奇異」二字本身就暗示著此類矩陣很特殊，即相對少唄。

這種問題我一般都這樣不嚴格地考慮：假設一個n階矩陣A的除了 $A_{11}$ 之外的所有元素都固定。那麼考慮 $A_{11}$ 從負無窮連續變化到正無窮的過程中，A的行列式也會相應變化，什麼時候行列式變成0了？注意行列式是個關於 $A_{11}$ 的1次多項式，有1個根。也就是說， $A_{11}$ 從負無窮變到正無窮這無限多個取值中，只有1個取值能夠讓A是奇異陣，剩下無窮多個取值都會導致A非奇異。所以非奇異陣要遠多於奇異陣。

不可逆矩陣又叫奇異矩陣，既然奇異了都，那就是少的

其實這個問題我粗淺的理解可以這麼想，比如先考慮n=1，不可逆就是0，n=2，不可逆等價於行列式等於0，這樣想會不會簡單一些…

大概給一個想法。
如果一個n*n的矩陣行列式等於0。那麼我們把右下角的元素作為一個變數，那麼其它的元素隨意給出，這個變數至多只有一個解。所以矩陣不可逆的維數應該是小於n*n-1的。

可逆矩陣的行列式不為0，不可逆矩陣的行列式為0(直觀上講，應該是可逆矩陣多吧)

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