外爾費米子的發現，對於量子計算機的發展有什麼意義？

12-27

中科院物理所戴希研究員在博客上表示，他的同事翁紅明等人年初找到了鉭砷晶體（TaAs）等四種非磁性的外爾半金屬材料，是取得進展的關鍵。翁紅明在接受採訪時說：「你可以將外爾費米子想像成一個極小的、只有一個磁極的磁棒。」
翁紅明說，在自然界中，無論你將磁鐵切割成多小，它始終都帶有南北兩個磁極，磁場在磁極之間流動。作為僅有一個磁極且沒有質量的粒子，外爾費米子能夠完成諸多當前科技不可企及的任務。
外爾費米子的發現將極大地推進未來技術的發展，據介紹，具有「手性」的外爾費米子的半金屬能實現低能耗的電子傳輸，有望解決當前電子器件小型化和多功能化所面臨的能耗問題。同時外爾費米子也受到對稱性的保護，可以用來實現高容錯的拓撲量子計算，製造比現在的超級計算機運行速度更快的量子計算機。
這種材料是不是作為未來量子計算機CPU核心的理想材料？

（更新完）首先，謝邀。最近一直在寫一篇論文，沒有時間答知乎，一上來一看，各種關於wely Fermion和topology quantum computation的邀請。謝謝大家的厚愛。今天就來問答一些關於topology quantum computation的問題。最近比較忙，各位的邀請，我得慢慢答了。

1. overview of topology quantum computation

2. mathematic model of topology quantum computation

3. implementation of topology quantum computation

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正文。

首先回答一下這個問題。wely fermion是可以用來實現topology quantum computation的材料之一。這個wely fermion從某些方面看上去，很像是拓撲絕緣體的性質。由於，拓撲絕緣體有quantum hall effect（量子霍爾效應）。而一般來說，實現topology quantum computation的才來就是用到了量子霍爾效應。

至於是不是量子計算的理想材料。可能是，也可能不是。這個只是一種可能的實現方法之一。目前為止沒有顯示出比其他的實現方法更好的地方。而且本人研究的是waveguide，所以，我更加看好waveguide（一家之言）。至於其他的量子計算的實現方法，詳情請看我以前的答案 http://www.zhihu.com/question/30545465/answer/48870497 。這裡不再重複，只注重拓撲量子計算和其實現。

那麼，什麼是topology quantum computation，topology quantum computation有啥優點，怎麼在現實中實現topology quantum computation呢。

今天先大概的總結一下拓撲量子計算的思想。

decoherence（退相干）對於量子計算來說是一個大問題，由於量子計算系統於環境不斷的interaction，這使得量子計算中的量子態退化成經典態或者產生error（錯誤）。如果量子計算機一個運算還沒有跑完就完全退相干了，那麼整個計算就失敗了。或者產生的error很大，計算不對。那麼如何預防或者控制退相干就是一個大問題（有些量子演算法，引入了退相干以達到計算效果，所以要有控制退相干）。

一般來說解決方案有兩個。一是減少量子計算機於外界的interaction（比如減少系統溫度）和引入error correction（錯誤修改機制），比如surface code。surface code是可以更正由於退相干所產生的錯誤，這跟經典中的「software」 error correction思想類似。但是surface code也是要用到硬體去搭建一個surface code，然後通過測量來檢查出錯誤。

另外一種方式就是拓撲量子計算模型。這也是拓撲量子計算模型最大的優勢（相比於其他的量子計算模型，quantum circuit，one-way quantum computation， adiabatic quantum computation, 這些都是等價的通用模型）。拓撲量子計算模型，這被稱為「hardware」 error correction。思想就是從根本上做到對於退相干的免疫。即退相干不會對拓撲量子態產生影響。

舉個比較容易類比的例子。在拓撲中，咖啡杯和甜甜圈沒有任何的區別。如圖，

（網上隨便找的圖，引用至http://cidocido.hubpages.com/hub/What-is-topology）

拓撲中的相等被摧毀只有劇烈的變化（比如撕碎或者粘合）。如果只要是不撕碎或者粘合，那麼我們可以認為這兩個物體拓撲上是一樣的。如果我們把一個咖啡杯看成是一個拓撲量子態，那麼只要不是撕碎或者粘合（對應於物理上的global perturbation），那麼我們的拓撲量子態量子態就是一樣的，對於local perturbation就可以免疫。在拓撲量子場論中，local perturbation對應的是electron-photon interaction，electron-nuclear interaction。而這兩個interactions就是造成退相干的主要原因（對於nontopology spin-based quantum computer, 非拓撲自旋固體量子計算機而言）。也就是說，我們的拓撲量子態就對退相干免疫。這個就是拓撲量子計算的基本思想。

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更新於7月30

繼續拓撲量子計算。拓撲量子計算的數學表達方式對於一般的量子計算模型不太一樣。拓撲量子計算用到的是braid operator（編織算符？）。就是一個個的線穿來穿去的樣子，以形成的計算邏輯。說到braid operator先介紹knot theory（結理論），如下圖所示,

（摘自wiki，Knot theory）
左邊第一個是一個圓（unknot），第二個只需要簡單的想像一下就知道其實也是一個圓（unknot）。那麼第三個圖靠想像就有點難度了，其實這還是一個unknot。那麼有沒有什麼辦法可以用公式的方法來表達呢。Jones polynomial就可以把knot的拓撲形狀映射成一個多項式。這裡介紹一個簡單版本的jones polynomial , Kauffman
invariant。

Kauffman invariant有3個規則來解開knot，規則如下，

我們只需要一個個結去解開即可。舉個例子，

所以，此knot的多項式可以表達為
$A^2d^2+d+d^3+frac{1}{A^2}d^2 =d$
所以這個也是一個unknot。

那麼我們可以繼續介紹braid operator了。 Braid operator可以看成是開放的結。首先要介紹的是2個基本的Braid operator的定義。

左邊第一圖記為 $sigma_i$ ，第二個圖為 $sigma_i^{-1}$ 。Braid operator 於knot之間的聯繫為只要把braid變成closed braid（閉合編織），即 i-1, i, i+1, i+2 收尾相連即可（但是兩者並不是等價的，數學上是Markov move）。有一種簡單的解釋方式，如圖所示，

在左邊，我們可以知道由於 $sigma_i eq pm 1$ ，所以左邊的圖不等價，而右邊的圖是等價的。也就是說用knot theory推導出的「braid operator」是一個permutation group，然後由上圖所示，braid operator並不是一個permutation group。除了這一點外，其他的與closed braid是一致的。這樣我們就可以很輕鬆的證明，兩個braid operator的基本性質了，

$sigma_i sigma_j = sigma_j sigma_i$ ( for $|i-j|geq 2$ )

$sigma_i sigma_{i+1} sigma_{i} = sigma_{i+1} sigma_{i} sigma_{i+1}$
用graph來表示如上的兩種性質是，

在物理上來說， $sigma_i eq pm 1$ ，說明拓撲量子計算的qubit，不會是費米子或者是波色子，而是一種叫任意子（anyons）來組成qubit的。任意子是連續介於費米子和波色子之間，任意子的定義不在這裡討論，性質如下
$psi_1 psi_2 = e^{i heta} psi_2 psi_1$

所以任意子的交換不會是1或者是-1，而是 $e^{i heta}$ 。

這些就是拓撲量子計算的表示方式，所以總的來說，

qubits 就是一系列的任意子來表示
quantum gate（量子門）就是用一個個的braid operator來表示。

比如一個Cnot gate在拓撲量子計算模型中就是這樣的，

（摘自文章http://www.nature.com/scientificamerican/journal/v294/n4/full/scientificamerican0406-56.html， Collins, Graham P. "Computing with quantum knots." Scientific American 294.4 (2006): 56-63.）

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更新於8月5

前面說到了，拓撲量子計算的性質和表達方式。那麼，拓撲量子計算到底是如何進行實現的呢。一種實現量子拓撲計算的方式是，v=5/2 的fractional quantum hall effect（分數量子霍爾效應）。當然還有不同的實現方法，比如Raul Peng提到的Majorana Bound States（拓撲量子計算的前景？ - Raul Peng 的回答）。

我們可以知道，量子霍爾效應可以用一個Fabry-Perot interferometer（干涉儀）來進行模擬和實現.如下圖的設計

（Ofek N, Bid A, Heiblum M, et al. Role of interactions in an electronic Fabry–Perot interferometer operating in the quantum Hall effect regime[J]. Proceedings of the National Academy of Sciences, 2010, 107(12): 5276-5281.）

電流會沿著器件的內壁運動，如圖紅色實線所示。也就是說這更霍爾效應就十分相像了。對於拓撲量子計算來說，這個就是一個準粒子。一般來說，由兩個准粒子形成一個qubit。所以也就是說，2N個上圖的器件，可以製造出N-1個qubit。下圖既是一個拓撲量子計算的qubit，

既是兩個Fabry–Perot interferometer連在一起就可以了，這樣就是一個拓撲量子計算的qubit。圖中所示的1和2是兩個anti-dots（排除電子在中間，是為了更好的形成量子霍爾效應）。N, M, B, A, Q, P 是6個電極。這個是控制qubit的最重要的手段。t1, t2, ts是電流的tunneling（隧穿）的幅度，這是有電極上的電壓所決定的。可以這麼近似的或者直觀的認為，用不同的電極和電壓組合，可以達到我們前面所說的braid operation（既是在各條線之間穿來穿去的那個）。可以看到，ts只作用在qubit內部，t1和t2（interaction）相互作用在其他的qubits上。比如, 一個簡單的例子，NOT門的實現就只需要A，B電極上的操作。當我們用適當的電壓施加到A，B電極上時，一部分電流會在從A隧穿到B。這樣就導致了qubit的翻轉。

最後說一點，對於不同的物理系統（拓撲量子計算的qubit實現方法），每一個braid operation所對應的實際上的量子門都是不一樣的。但是都可以一一對應的，這裡就不展開討論了。也就是說對於不同的拓撲量子計算的實現方法，對於同一個CNOT，都是不一樣的braid map。

完。
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還是那句話，有什麼可以在評論中討論。

一個是用於計算功能的量子態的持續時間延長，由粒子自身特性決定，二個是能耗將降低，因為用電子計算電路里能量損失大，在微觀尺度上電子比外爾費米子大各種阻力也大。第三個是通信錯誤的概率，量子層面上很多粒子無法完成計算就是因為很容易被環境干擾，比如我們的電子計算機放到宇宙里去就會出現更多錯誤，因為大氣層之外宇宙射線更強，能夠打亂電子的正常運行，但是人類的通信都是有錯誤率的，只不過數學理論內在地提供了糾正錯誤的功能，使得我們的電子計算機能夠正常的計算，即便微觀粒子行為難以控制，我們也並沒有看到電腦計算1+1時等於3。