解微分方程為什麼會出現個e？

12-27

比如一解線性的情況今天突然想起是不是因為x加1分之一的極限是e 但為什麼是e呢。好突兀啊

你搞不懂的原因就是------你懂的太多了...

想像你生活在那個微積分初創的年代,你還不知道什麼通解公式之類的玩意兒,自然常數 $e$ 還未曾知曉...

你是一個站在時代前沿的數學家,你想知道微分方程: $yprime+py+q=0$ 的解.

你覺得可以有一個性質良好的函數作為解,比如在 $mathbb{C}$ 上解析...

於是你可以在原點將這個函數展開: $y(x)=sum_{n=0}^infty a_nx^n$

因為 $mathbb{C}$ 上解析嘛,所以 $mathbb{R}$ 上光滑,求導得: $y$

然後代入得:

$egin{aligned} sum_{n=0}^infty (n+1)a_{n+1}x^n+p sum_{n=0}^infty a_nx^n +q = 0\ q+sum_{n=0}^infty ((n+1)a_{n+1}+p a_n)x^n = 0\ (a_1+p a_0+ q)+sum_{n=1}^infty ((n+1)a_{n+1}+p a_n)x^n = 0\ end{aligned}$

要使得等式恆成立,所有項數都應該是 $0$

$left{egin{aligned} 0=(n+1)a_{n+1}+p a_n\ 0=a_1+p a_0+ q\ end{aligned} ight.$

上面一個遞推式直接迭代可以解得: $a_n=Cfrac{ p^{n-1}}{n!}$

也就是說解可以寫成: $y(x)=sum_{n=0}^infty Cfrac{ p^{n-1}}{n!}x^n=frac{C}{p}sum_{n=0}^infty p^nfrac{x^n}{n!}$ 的形式...

後來發現每次都要寫這麼一坨級數太煩了,經過研究發現定義 $mathrm{exp}(x):=sum_{n=0}^inftyfrac{x^n}{n!}$ 能減少很多麻煩.

然後進一步定義歐拉數 $e:=mathrm{exp}(1)=sum_{n=0}^inftyfrac{1}{n!}=1+1+frac{1}{2!}+frac{1}{3!}+cdots$

這個函數性質很好,可以把加法變乘法: $mathrm{exp}(x+y)=mathrm{exp}(x)mathrm{exp}(y)$

&>&>級數絕對收斂時算符可以交換

$egin{aligned} exp(x) cdot exp(y) =left(sum_{n=0}^infty frac{x^n}{n!} ight) cdot left(sum_{m=0}^infty frac{y^m}{m!} ight) \ =sum_{n=0}^infty sum_{m=0}^infty frac{x^n}{n!} cdot frac{y^m}{m!} \ =sum_{k = 0}^{infty} left(sum_{n+m=k} frac{x^n y^m}{m!n!} ight) \ =sum_{k=0}^{infty}frac{(x + y)^k}{k!} \ =mathrm{exp}(x+y) end{aligned}$

人們知道有這種性質的可以叫指數函數,於是,最後定義自然指數函數為 $exp(x) = exp(1)^x = e^x$ .

所以不是為什麼出現了個 $e$ ,出現的是 $e^x$

至於 $e^x$ 為什麼會出現,樓上說的很明白了.

因此指數函數是求導運算元的特徵函數------運算元作用於函數後的不變數, $e^x$ 求導仍是本身.

這個和線性代數里矩陣與特徵值是相似的...

特徵值是矩陣變換後的基,特徵函數也是運算元變換後的基...

至於基為什麼這樣...唉...捉雞啊...這可以另開一個問題了...

再舉一個例子,把傅里葉變換看成一個運算元,其特徵函數(之一)為 $displaystyle e^{-frac{1}{2}x^2}$

所以傅里葉變換里這個東西經常出現...

沒有也正常,因為傅里葉變換的特徵函數可以長得很不一樣,比如 $frac{1}{4} left(sqrt{2 pi } delta (x)+1 ight) ,frac{1}{sqrt{left| x ight| }}$ 這倆也是.

數字e只是表象，真正重要的是函數exp，也就是e的x次方，這個函數最優雅的定義就是用微分方程dy/dx=y去定義，採用這個定義，我們根本不需要預先定義一個常數e,e僅僅是函數exp在1的取值。

如果你用歐拉折線法解dy/dx=y就能得到 $y(x)=y(0)lim_{n oinfty}(1+x/n)^n$

@醬紫君大佬的答案對我很有啟發，我也試從另一個角度來解釋此題。

高考數學總有一道數列大題。舉個例子，我們有以下數列：

$a_{n+1}=0.5a_n+1 , a_0=0.$ 求通項公式。

當年我不懂解題技巧，於是用遞推公式先算幾項試試看。 $a_0=0, a_1=1, a_2=1.5, a_3=1.75, a_4=1.875...$ 這個naive的方法，也叫做迭代法。有經驗的同學已經可以據此猜出通項公式了。同時，我們也發現，數列中的項越來越接近2，卻又不超過2. 這並不是一個巧合。

有些同學可能學過一個叫做「不動點方法」的技巧，即令 $a_{n+1}=a_n=x,$ 然後遞推公式變為 $x=0.5x+1,$ 解之得 $x=2.$ 這個 $x=2$ 就是傳說中的「不動點」，其含義是如果 $a_m=2,$ 那麼 $a_{m+1}=0.5a_m+1=2,$ 也是2。據此不動點，對通項公式變形，得 $a_{n+1}-2=0.5(a_n-2).$ 換元，令 $b_n=a_n-2,$ 得到 $b_{n+1}=0.5b_n, b_0=-2.$ 即 $left{ b_n ight}$ 這個數列是等比數列。因此 $b_n=0.5^nb_0=-2^{1-n},$ 從而 $a_n=2+b_n=2-2^{1-n}.$

bingo, 我們求出了通項公式！而且我們發現， $lim_{n ightarrow infty}{a_n}=2$ , 即此數列確實最終收斂於不動點x=2.

中國古代，劉徽用割圓術逼近 $pi$ 值，也是類似的方法。

不動點的思想和方法，在解微分方程中也有應用。

考慮以下常微分方程初值問題：

$frac{dx}{dt}=x, x(0)=1.$

假設我們不知道什麼指數函數和它的導數，也不知道e是什麼。這題應該怎麼解？

我們將方程改寫為 $dx=xdt$ , 然後對等式兩邊同時取定積分，得到 $x(t)-x(0)=int_{0}^{t}{x(s)ds}$ .

化簡以後得 $x(t)=1+int_{0}^{t}{x(s)ds}$ . 令等式右邊等於 $F(x,t),$ 再隱去變數 $t$ , 這個等式變為 $x=F(x)$ .

在這裡暫停一下。回頭看上方，數列問題中求不動點的方程式 $x=0.5x+1,$ 是不是有相通之處？

如果我們有一個函數的「數列」， $phi_0(t), phi_1(t), phi_2(t),...,$ 滿足遞推公式 $phi_{n+1}(t)=F(phi_n(t),t)=1+int_{0}^{t}{phi_n(s)ds},$ 那麼 $x(t)=1+int_{0}^{t}{x(s)ds}$ 恰好是對應的「不動點方程」。想要求解 $x(t),$ 我們這裡也迭代求解 $phi_n(t),$ 期待它能逐漸逼近 $x(t)$ , 就像上面數列中0,1,1.5,1.75,1.875... 一樣，逐漸接近最終的不動點 x=2.

那麼，我們代入初始條件，將 $phi_0(s)equiv x(0)=1$ 代入等式右邊，得到 $phi_1(t)=1+int_{0}^{t}{1}ds =1+t$

然後 $phi_2(t)=1+int_{0}^{t}{phi_1(s)}ds =1+int_{0}^{t}{(1+s)}ds=1+t+frac{t^2}{2}$ . 同理， $phi_3(t)=1+t+frac{t^2}{2}+frac{t^3}{6}$ . 使用數學歸納法，可證 $phi_{n}=sum_{m=0}^{n}{frac{t^m}{m!}}$ . 到這裡，大家應該都知道了。

$lim_{n ightarrow infty}{phi_n(t)}=sum_{m=0}^{infty}{frac{t^m}{m!}}=exp(t)$ . 這個級數收斂，且極限被定義為指數函數 $e^t$ . 這個極限，也就是我們期待的不動點函數 $x(t)=e^t,$ 即原問題的解。

如果擔心此方法的嚴謹性，那你大可以放心。利普希茨（Rudolf Otto Sigismund Lipschitz）證明，對於形如 $x$ 的初值問題，若 $f(x,t)$ 關於 t 連續，且關於 x 在某個局部 $U$ 滿足Lipschitz條件，則此迭代方法在 $U$ 上成立。即 $phi_n$ 收斂，其極限就是初值問題的解。其中Lipschitz條件要求也不是很高，比如所有連續可微的函數都滿足Lipschitz條件。這個結論也被用來證明此類問題解的存在性和唯一性，是為柯西-利普希茨定理。

總結：我們用貌似naive的迭代法，推出了dx/dt=x這個微分方程的解。以無窮級數逼近得到的exp(t), 看上去就不那麼突兀了。

因為指數函數是求導算符的特徵函數

相比起這個，我感覺Gamma函數算著算著出來一個π更驚悚一點（逃

一階齊次線性常微分方程的解是指數函數，其中讓係數剛好為1的定義為自然指數，它的底數就是e。所有這一族函數都可以通過給自變數加係數來互相轉換，所以用最自然的那個是最方便的，求導數不用加上額外的係數。
反過來也可以用對數來定義，導數y"與自變數x成反比的是對數函數，其中兩者乘積恰好為1的是自然對數，它的底數是e，反函數是自然指數。

並不是突兀，你想想，
比如
y"+ky=0
y"/y=-k
積分變為
ln y=-kx+C
y=Ce^(-kx)
那麼e就出現了，按順序是先有1/y關於y積分變為lny，ln y出現就相當於e的出現了。
至於為什麼我們經常用的是e^x呢，而不是某個常數的x次方呢，因3^x=e^(xln3),為什麼習慣用e做底數則是因為e做底數e^x微分後還是他自己。
要說突兀，
1+1/4+1/9+....+1/n^2-----&>pi^2/6
這才是真.突兀。

e的起源主要是追溯到利息的結算，一個人借了1塊，一年利息是100%，所以到期要還2塊。但是如果說一年結算兩次，每次利息是上次的50%，那一年後就是(1+100%/2)2，如果是一年結算3次4次乃至無窮次呢，結果一年後就要返還(1+100%/n)^n=e，n＝∞。
同理細胞分裂也是一樣，假設一個細胞一天分裂一次，一天後就是兩個細胞，但是我們假設這個細胞在12小時的時候就具有分裂的能力，所以一天後細胞就不是2個，而是(1+1/2)2個，那假如這個細胞每時每刻都具有分裂新細胞的能力呢，答案是一天後就是(1+1/n)^n=e個。
所以e的真正含義是一個細胞自然增長時單位時間內的增長極限。
所以這個e到底是什麼意思呢，這個e其實代表了一種連續性，每時每刻，每一個瞬間的階段，每一個階段的瞬間。細胞分裂只能是一分為二，但是在分裂的過程中每時每刻，每一個階段細胞都在準備分裂下一個細胞。不僅代表連續性，也代表一種"存在"的意義。

所以微分方程y"=y的解是e^x，這個e就代表不僅y是連續的，而且y"也是連續的，不僅y"是連續的，而且y""甚至y的無窮階導數也是連續的，不僅是連續的，並且是存在的，還是其本身。

這就是e的獨特之處。
最後再談到歐拉公式的左邊e^(iθ)，i代表"不存在"，e代表"存在"，所以歐拉公式其實代表了一種"交替存在"的意義，也就是循環，波動，輪迴。

歪答一個：那為什麼很多積分會出現 $pi$ 呢？理由大概是，如果換到球坐標或極坐標時，沒有角度方面的關聯，則角度積分會出現一個 $pi$ 。那為啥角度就一定要跟 $pi$ 有關呢？那是因為，最開始的時候，我們定義了一個常數，用來描述圓周、圓面積等等。回到e這個問題上，會出現e，是因為我們定義了極限 $lim_{x ightarrow infty}{(1+1/x)^x}equiv e$ 等於的常數叫做e。

另外，如果解微分方程，有時候會選擇一組正交完備基，很多時候用sin、cos甚至各種特殊函數等等都可以，但不如用exp方便。

不過，Euler等式 $e^{ipi}+1=0$ 的確很有意思。

e是一種指數函數，它其實描述了一個反饋型的動力學系統的時間演化特徵，而很多微分方程都是反饋型的。
最典型的微分方程都可以寫成這樣的形式：
x"=f(x)
這裡x是一個向量。它表示的，是一個系統狀態的變化，取決於它狀態本身。也就是說，系統自己對自身的反饋。
對於不在奇異點的方程，它都可以局部線性化為一個一階線性微分方程組。它的解就是一組特徵值的指數演化。
對於正實數的特徵值，對應的是系統對自身的正反饋。也就是說對於系統狀態的一個偏差，它的響應總是放大這個偏差，表現為正向指數放大：系統的一個偏離使得它進一步強化這個偏離。總的來說就是系統以指數速度偏離。
對負反饋系統，系統的偏離使得系統變化抵消這個偏離，表現為指數收斂。
對含有虛部的特徵值，對應的是系統慣性對反饋的影響。比如負反饋系統，當系統的反饋把偏差「拉回來」的時候，由於慣性，系統會繼續向反方向「沖」出去，然後再被拉回來，再由於慣性「沖」出反方向，再拉回來……，這就是振蕩。而我們知道虛數指數是三角函數，它正是振動函數。
這就是它的普遍性所在。
請參照我的專欄

https://zhuanlan.zhihu.com/p/28573752

因為這是條件決定的。我們來回顧一下，一階線性微分方程是這樣的方程，它形如 $frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ ，或者說 $y$ 。也就是說，我們要找的這個 $y$ ，它是一個這樣的函數：

它的導數+它× $P(x)$ = $Q(x)$

這樣的函數並不容易直接看出來，所以我們退而求其次，看看該方程的齊次方程， $y$ 的解是什麼，這就容易多了。

我們稱它為齊次方程，是因為從左到右， $y$ 和 $y$ 的次數分別是1，1，所以是齊次的。

齊次方程所滿足的條件是：

它的導數+它× $P(x)$ =0

求出滿足這個條件的函數並不困難。很快就能得知，它就是 $e^{-int P(x)dx}$ ，代入原齊次方程： $-P(x)e^{-int P(x)dx}+P(x)e^{-int P(x)dx}=0$

回過頭來，現在看看原非齊次方程： $frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ ，它比剛才的條件要嚴苛，因為它要求滿足：它的導數+它× $P(x)$ = $Q(x)$ ，而如果僅僅是 $y=e^{-int P(x)dx}$ 只能滿足它的導數+它× $P(x)$ = $0$ ，為了盈餘出一個 $Q(x)$ ，必須在 $y$ 上做一些變化。

我們首先想到的是在 $y=e^{-int P(x)dx}$ 的基礎上乘以某些東西。由於兩函數相乘時的求導會產生兩函數分別與對方的導數相乘之後再相加的結果，所以如果僅僅是乘以 $Q(x)$ ，是不合理的，所以我們考慮乘以 $int Q(x)dx$ ，這樣在求導之後可以得到 $Q(x)$ 。得到 $Q(x)$ 之後，又會有 $e^{-int P(x)dx}$ ，所以考慮再乘以一個 $e^{int P(x)dx}$ ，即我們認為該函數為 $y=e^{-int P(x)dx}int Q(x)e^{int P(x)dx}dx$ ，帶入原方程得到：

$e^{ -int P(x)dx}[ Q(x)e^{int P(x)dx}]$

$-P(x)e^{-int P(x)dx}Q(x)e^{int P(x)dx}dx$

$+P(x)e^{-int P(x)dx}Q(x)e^{int P(x)dx}dx=Q(x)$

也就是說 $y=e^{-int P(x)dx}int Q(x)e^{int P(x)dx}dx$ 這個結果是正確的，它正好可以滿足 $frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ ，即它的導數+它× $P(x)$ = $Q(x)$ 。

最後根據通解加特解，得到非齊次的解為

$y=Ce^{-int P(x)dx}+e^{-int P(x)dx}int Q(x)e^{int P(x)dx}dx$

對於伯努利方程也是這樣。伯努利方程指的是 $frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$

設 $z=y^{1-n}$ ，則變為 $frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$ 。伯努利方程與上述一階方程的原理相同，其解為

$y=Ce^{-int (1-n)P(x)dx}+e^{-int (1-n)P(x)dx}int (1-n)Q(x)e^{int (1-n)P(x)dx}dx$

接下來就是大於一階的高階微分方程。

一、 $y^{(n)}=f(x)$ 型

這個只需連續積分即可，此處不表。

二、 $y$ 型

方程右端不顯含未知函數 $y$ ，如果我們設 $y$ ，那麼 $y$ ，方程變為 $p$ ，這是一個關於 $x$ 和 $p$ 的一階微分方程，設其通解為 $p=varphi(x,C_1)$ ，但是 $p=frac{dy}{dx}$ ，因此又得到一個一階微分方程： $frac{dy}{dx}=varphi(x,C_1)$ ，對它進行積分，得到原方程通解 $y=int varphi(x,C_1)dx+C_2$

三、 $y$

方程不明顯地含自變數 $x$ ，設 $y$ ，則 $y$

這樣，方程就變為 $pfrac{dp}{dy}=f(y,p)$ ，這是一個關於變數 $y$ 和 $p$ 的一階微分方程。設它的通解為 $y$ ，分離變數並積分，得到通解 $int frac{dy}{varphi(y,C_1)}=x+C_2$

高階線性微分方程

以非齊次方程 $frac{d^2y}{dx^2}+P(x)frac{dy}{dx}+Q(x)y=f(x)$ 為例，它的齊次方程是 $y$

若已知齊次方程通解為 $Y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$

齊次方程的通解滿足的條件是

它的二次導數+它的導數× $P(x)$ +它× $Q(x)$ = $0$

非齊次的解所要滿足的條件更為嚴苛。它的條件是

它的二次導數+它的導數× $P(x)$ +它× $Q(x)$ = $f(x)$

由過去的經驗知，這裡的通解不可能只是在齊次方程解的基礎上加上某些東西那麼簡單，至少是乘以某些東西。由於這裡出現了二次導數，所以解的形式中肯定有積分，但只能是一次積分，因為一次導數只能將其求導一次。

現在的情況是，對於已知的齊次方程通解

$Y(x)=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$ ，兩個 $y$ 滿足

$y_1$

$y_2$

把 $y=-y_1int frac{y_2f}{W}dx+y_2int frac{y_1f}{W}dx$ 帶入原非齊次方程，得

$-y_1$

$+P(x)[-y_1 frac{y_2f}{W}-y_1$

$+Q(x)[-y_1int frac{y_2f}{W}dx+y_2int frac{y_1f}{W}dx]$

$=intfrac{y_1f}{W}dx[y_2$

$+intfrac{y_2f}{W}dx[y_1$

$-y_1$

常係數齊次線性微分方程

討論二階常係數齊次線性微分方程 $y$

設 $y=e^{rx}$ ，代入得 $(r^2+pr+q)e^{rx}=0$

即 $r^2+pr+q=0$ ，稱為特徵方程。

（1）當 $p^2-4q>0$ 時， $r_1,r_2$ 是兩個不相等實根

$r_1=frac{-p+sqrt{p^2-4q}}{2},r_2=frac{-p-sqrt{p^2-4q}}{2}$

則齊次方程通解為 $y=C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$

（2）當 $p^2-4q=0$ 時， $r_1,r_2$ 是兩個相等實根 $-frac{p}{2}$

只得到一個能滿足 $y$ 的 $y_{1}=e^{r_{1}x}$

設 $y_{2} =xe^{r_1x}$ ，顯然

$r_1e^{r_1x}+r_1e^{r_1x}+xr_1^2e^{r_1x}$

$+p(e^{r_1x}+xr_1e^{r_1x})$

$+qxe^{r_1x}$

$=e^{r_1x}(2r_1+xr_1^2+p+xr_1+qx)=0$

所以齊次方程的通解為 $y=C_1e^{r_1x}+C_2xe^{r_1x}=(C_1+C_2x)e^{r_1x}$

（3）當 $p^2-4q<0$ 時， $r_1,r_2$ 是一對共軛復根

$r_1=alpha+eta i,r_2=alpha- eta i$

其中 $alpha =frac{p}{2}, eta=frac{sqrt{4q-p^2}}{2}$

即 $y_1=e^{(alpha+eta i)x},y_2=e^{(alpha - eta i)x}$ 是微分方程的兩個解，但它們是復值函數形式，為了得出實值形式，應用歐拉公式

$y_1=e^{(alpha+eta i)x}=e^{alpha x}cdot e^{eta xi}=e^{alpha x} (coseta x+i sineta x)$

$y_2=e^{(alpha-eta i)x}=e^{alpha x}cdot e^{-eta xi}=e^{alpha x} (coseta x-i sineta x)$

由於復值函數 $y_1,y_2$ 之間成共軛關係，因此取它們的和除以2就得到它們的實部，取它們的差除以2就得到它們的虛部，即其通解為

$y=e^{ax}(C_1coseta x+C_2sineta x)$

常係數非齊次線性微分方程

$y$

這裡只介紹 $f(x)$ 取兩種常見形式時的情形，特點是不用積分就可以求出特解 $y$ ，稱作待定係數法。

（1） $f(x)=e^{lambda x}P_m(x)$ ，其中 $lambda$ 是常數， $P_m(x)$ 是 $x$ 的一個 $m$ 次多項式：

$P_m(x)=a_0x^m+a_1x^{m-1}+...a_{m-1}x+a_m$

這時非齊次方程具有特解 $y*=x^kR_m(x)e^{lambda x}$

其中 $R_m(x)$ 是與 $P_m(x)$ 同次（ $m$ 次）的多項式，而 $k$ 按 $lambda$ 不是特徵方程的根、是特徵方程的單根或是特徵方程的重根依次取為 $0、1$ 或 $2$ ，即 $k$ 是特徵方程含根 $lambda$ 的重複次數。

（2） $f(x)=e^{lambda x}[P_l(x)cosomega x+Q_n(x)sinomega x]$

其中 $lambda 、omega$ 是常數， $omega e0$ ， $P_l(x)、Q_n(x)$ 分別是 $x$ 的 $l$ 次、 $n$ 次多項式，且僅有一個可為零。

一般的同階代數方程就是合併同類項但是微分方程有dx項沒法合併所以就找出一個東西加一個常數項就即可以代替y 又可以代替dy/dx 這樣結果不就和代數方程一樣啦？
什麼東西能有這種詭異的人設呢？只見遠處 exp(x)帶著一干c1,c2...等眾常數項叫到:微分符號，吾視汝若插標賣首耳。

(討論以簡單的一階線性微分方程為例)

張英鋒的這個答案真的震撼到我了。
https://www.zhihu.com/question/20296247/answer/29370489

因為求導運算元的特徵函數是e^x

你是不是沒學過數學分析……

e的物理或者實際意義非常重要:
變化率正比於存量的規律在自然界太多了，衰變，生物的種群變化等等等~~
數學表示就是dy/dx=Ay，A為比例係數，y為研究的變數，x可以是時間,空間等參數~
本著研究從簡單的開始，很明顯，A為1的時候是最基本的函數，也即y=exp（x）。
這麼一想，e的廣泛出現就很自然了~

通俗易懂地講，你的例子，因為對一個函數求導，能等於自己本身的線性組合，這種情況只能有e^x能滿足了。微分積分方程解是啥形式，經驗多了，一看就知道。

因為e求多少次導都有自己

我想題主的意思是，一階線性常微分方程的積分因子出現e吧。

因為積分因子的作用就是使得這個線性方程變為一個全微分方程，而對以e為底的指數函數來說，求導後是這個指數函數乘以它指數的導數形式，這樣當原方程兩邊同時乘以適當的這樣帶e的指數函數，可以將原方程化為一個全微分方程(也就是恰當方程)

但是最後的解不一定帶e，因為積分因子化簡後可能不帶e。

數學的角度來說dy/dx=y, for 的解是e^x。
e^x , 描述了一個系統的變化由他本身的狀態決定，這種現象在自然界十分常見。